深刻經歷過程 真正悟得思想

宋建琴 吳培鋼

【摘 要】“數與形”的教學，可以用更具挑戰性的教學情境，用更扎實到位的教學步點，引導學生深刻感受數與形之間的聯系，真正掌握“以形解數”的竅門，深刻悟得“數形結合”的思想。

【關鍵詞】教學情境；以形解數；數與形

這兩道例題都旨在引導學生初步感受數與形之間可存在聯系，利用圖形直觀形象的特點，可表示出數的規律，或解決一些復雜的、抽象的、不好解釋的關于數的問題。

解讀教材之后，我們覺得，倘若簡單地按照教材呈現的方式展開教學，那么這道例題的教學價值似乎挖掘得不夠充分，學生恐怕也難以真正獲得對數形結合思想（尤其是其優越性）的感悟。原因有二。

一是學習材料的直接呈現，學生只需簡單地數方格、填空、觀察，就可得出規律。這樣的形式，不能讓學生感受到數形結合思想解決問題的一個重要步驟——數至形的轉化。

二是計算數據的過于簡單，如加數個數直接可數，算式之間前后相接，學生很容易“推導”得出結果，這同樣無法讓學生感受到數形結合思想解決問題的另一個重要之處——抓兩者關鍵聯系，巧妙解決問題。

基于以上分析，我們認為，把例1單獨做成一節課，以更具挑戰性的教學情境，以更扎實到位的教學步點，去引導學生深刻經歷問題解決的探究過程，真正悟得數形結合的思想方法，也許是一個值得嘗試的做法。效果如何，需要課堂來檢驗。

【課堂實錄】

課前談話，整理學具，學生統計學具袋里不同顏色的正方形紙片，得出數量分別為1，3，5，7，9個，教師板書數據。

一、提出問題，暴露學情，激發興趣

1.引導學生發現數據特征。

根據學生發現的數據特征，板書“從1開始的連續奇數”。

教師將數據轉化成算式1+3+5+7+9，學生口算答案。變化算式，加至79，再求答案。

2.學生展現已有經驗。

生（很多學生舉手示意會做）：這是等差數列，可以用“（首項+末項）×項數÷2”來計算。

生：就是（1+79）×40÷2，答案是1600。

教師根據學生回答，引導全班學生理解算式中每個數的含義，再用遞等式計算，確認結果是1600。

3.教師展示計算“竅門”，激發學生探究興趣。

師：同學們，你們的公式是對的，答案也是正確的。但老師計算這道題目，根本就不需要用這個公式，我只要眼睛瞄一下算式，就能馬上想到答案。你們信不信？

教師將算式繼續加至119，學生又想用公式嘗試計算，教師已報出答案3600，學生確認。

再次續加，加至179，教師又快速得出答案，學生很驚訝！

師：同學們，老師算這樣的題目速度特別快，那是因為我有竅門。你們想知道我的竅門是什么嗎？（學生都很想知道）

師：這是一道關于數的計算問題（板書“數”），而老師的竅門就是借助幾何圖形來解決它（板書“形”）。

學生充滿了興趣，教師引領學生走進新知探究的環節。

【設計說明】直接出示數的計算問題，有利于凸顯數形結合解決問題的真實來源（現實需求）。計算至79，雖增加計算的難度，但通過后續學習以數形結合解決問題后，就能襯托出數形結合解題的優越性。不遮掩學生的已有經驗，但快速轉至教師有“竅門”，既照顧了學生，又吸引了學生。

二、新知探究，逐步深入，自主建構

1.初步感知——“數”可以轉化成“形”。

（1）教師試擺，引導學生發現常規擺法無助于問題解決。

師：這個算式1+3+5+7+9+……我用一個小正方形，就代表1（貼在黑板上），接下去+3呢？（在1個后面繼續擺上3個） 再+5呢？（在3個后面又擺上5個）然后呢？（示意后面可繼續擺7個、9個……）

……

師：是啊，如果把這些正方形只是這樣簡單擺一下，最后求和還是很麻煩。那么，到底怎么擺才好，才能讓我們比較容易地求出算式的和呢？

師：請你以1+3+5為例，用桌上的小正方形，自己擺一擺，研究其中的竅門。

（2）學生自己擺，發現“數”轉化成合適的“形”，有利于計算。

學生分小組合作試擺，教師巡視，請學生上黑板擺出兩種典型方法（圖1、圖2）。

教師引導學生發現，兩幅圖都擺出了1+3+5，而且各有特點——一個擺成了三角形，一個擺成了正方形。

師：你們更喜歡哪一種擺法？為什么？

生：我認為擺出正方形好，因為這樣可以只看邊長，用邊長×邊長，三三得九，總數就一下子算出來了。（其他同學復述，大家紛紛認可）

師：那么擺成三角形的樣子，有什么不好呢？

生：擺成三角形，最后還是要一層一層個數相加的。（這樣擺也可用三角形面積公式求和，但若加數多了，層數是幾還是要算，所以此法無益——筆者注）

師：我同意大家的觀點，把算式擺成一個正方形，只要看邊長就可快速計算出總數，這樣的方法非常簡單，是好方法。同學們已經觸摸到這個“竅門”啦！

【設計說明】遇到“數”的問題，卻要用“形”來解決，這之間的轉化（這種意識及行為），是數形結合的關鍵步驟。教師先自己擺正方形，讓學生發現擺法無助于問題的解決，再引導學生探究“好的擺法”。學生經歷了嘗試，也看到了不同的擺法，在對比分析之后，感受到擺成正方形的好處。如此過程，有效地引領學生走上“數”至“形”的轉化之路。

2.再次感知——“數”與“形”之間有聯系。

（1）擺1+3+5+7和1+3+5+7+9。

師：那接下去是+7，你們能再擺一擺嗎，看看能擺出什么圖形？

學生再次動手操作，組織反饋，發現能擺出一個正方形——每條邊上有4個小正方形，得數是4×4=16。（圖略）

師：接下去是+9，同學們覺得還能擺成正方形嗎？是怎樣的正方形呢？

學生都說是邊長為5的正方形，教師組織學生再次操作，驗證猜想。（圖略）

師：看來加到9，的確能擺成邊長為5的正方形，答案一看就知道是25。

（2）引導學生感受“數”與“形”之間的聯系。

師：同學們，我們剛才幾次都將算式轉化成了正方形，請你來觀察對比一下，這樣的轉化究竟好處是什么呢？

生：這樣一轉化，算式的和就是正方形最邊上一列小正方形個數的平方。

師：你們講得完全正確，恭喜你們，老師的竅門正在被你們慢慢破解！

3.深入理解——找到“數”與“形”的關鍵聯系。

（1）探究1+3+5+7+9+……+79。

師：那么1+3+5+7+9+……+79，會得到怎樣一個圖形？和又是幾呢？

組織學生討論，教師巡視，理解學生想法，適時參與討論，然后組織反饋。

生：加到79，會得到一個邊長為40的正方形，和是40×40=1600。（學生紛紛贊同）

師：憑什么說加到79，會得到正方形，而且它的邊長就是40 呢？

生：我們可以借助圖形來解釋。

一組學生主動要求上黑板，利用之前黑板上的正方形進行解釋（如圖3）。

生：我們之前加到5的時候，5+1再除以2，就是邊長為3的正方形；加到7的時候，7+1再除以2，就是邊長為4的正方形；加到9的時候，就是9+1再除以2，所以邊長是5。

學生邊說邊示意，教師適時引導其他學生看圖理解，并得出以下板書：

5→3 7→4 9→5

（5+1）÷2=3 （7+1）÷2=4 （9+1）÷2=5

師：老師有一點不明白，為什么都要先加1呢？

生：因為如果兩條邊上的個數加起來，角上的正方形就多算了一次。所以如果先加1，再除以2，兩條邊上的正方形個數就一樣多了。

教師引導學生觀察圖，理解算式的道理。（若有另外算法的，同樣予以引導理解）

生：現在加到79，如果79加1，就是80，80分到兩條邊上，每條邊就是40，所以肯定是邊長為40的正方形。

其他學生報以熱烈的掌聲，教師板書跟進（79+1）÷2=40，并組織學生再次同桌互說，理解其中的道理。

師：同學們太厲害了，利用之前的學習，推導發現出了數與形之間的聯系，找到了規律，解決了問題。這個想法和答案完全正確！老師的竅門馬上要被你們破解了。

【設計說明】“數”能夠轉化成“形”，還不足以解決問題，發現兩者之間的聯系，找到關鍵處（突破點），需要通過對比、分析、推理等一系列思維的過程。這個過程不是一蹴而就的，拉長這個探究的過程本來就是有意義的學習目標——學生思維的提升。因此，教師分解步驟，+7和+9，確認能轉化，并感知這個加數與邊長的關系；+79，沒法運用材料擺放，逼迫學生通過想象和思考，找尋加數與邊長的關系；回到+7和+9，深入研究，確認聯系，得出算式（模型）……以上過程，雖曲折，但學生由此卻深刻地感受到了如何“由形解數”。

（2）運用規律，抽象概括。

師：那么加到119呢？

生：（119+1）÷2=60，60×60=3600。

師：加到179呢？

生：（179+1）÷2=90，90×90=8100。

師：看來同學們已經知道其中的竅門了，誰能來說一說？

多位學生介紹經驗：只要看最后一個加數，把這個加數加1，再除以2，就是正方形的邊長。再邊長乘邊長，就可計算出總數。

師：同學們，這正是老師之前計算這些題目用到的方法。祝賀大家，現在我的竅門已經被你們真正掌握了！

教師組織回顧所學，歸納小結從1開始的連續奇數求和問題的解決方法。（板書：見數思形，以形解數。揭題：數與形）

三、學生提問，再次解答，鞏固所學

1.鼓勵學生提出類似的數的計算問題。

師：同學們，剛才我們研究的問題是“從1開始的連續奇數求和問題”，現在你們能不能也來提一個類似的問題，讓我們繼續研究？

學生提出的問題如下：

◆2+4+6+8+……+100（從2開始的連續偶數求和）

◆3+5+7+9+11+……（從3開始的連續奇數求和）

◆2+3+5+7+11+13……（從2開始的連續質數求和）

……

2.選一個問題進行研究，再次體驗以形解數。

師：同學們提出的問題都是好問題。我們選一個試著來研究一下吧。比如說選從2開始的連續偶數求和這道題。這樣的算式，不知道能不能也像剛才那樣轉化成一個形，然后用形的特征來解決問題？你可以擺一擺，想一想。

學生小組合作，用小正方形擺圖，探究。

教師組織反饋，學生展示將算式轉化成長方形，并借助圖形介紹解決的竅門：最后一個加數除以2，得到的數就是長方形的寬，再加1就是長方形的長，長乘寬就可計算出總數（如圖4）。

最后一個加數100，就應該是100÷2=50，50+1=51，51×50=2550。

【設計說明】讓學生提出問題，本就是一種能力的培養。學生自己提出類似的問題，并再次經歷“見數思形，以形解數”的過程，這既讓“數形結合”的思想再次強化，又讓學生有學以致用的收獲。

3.正確引導，延伸興趣。

師：同學們真厲害，再次“見數思形，以形解數”。那么黑板上另外幾個計算問題，能不能也借助形來解決呢？

學生都認為行，教師告知學生并不是所有的計算問題都能這樣解決，有興趣的同學可以在課外再去研究另兩個算式。如果都研究出來了，那將是數學上的一個偉大發現。

（浙江省海鹽縣天寧小學 314300）