談談混沌

劉玉穎 金仲輝 李順燁

(中國農業大學理學院，北京 100083)

20世紀中葉，物理學從研究簡單的線性系統走向復雜的非線性系統。復雜性科學作為一門新興的學科已經涉足宇宙天體物理、地球科學、生命科學、人類社會等自然界出現的種種復雜現象?；煦缯摬粌H適用于大到宇宙天體，小到微觀粒子，而且適用于我們看得見、摸得著的世界，適用于與人本身同一尺度的研究對象，因而是應用范圍更廣的理論。自20世紀60年代洛倫茲(E．N．Lorenz)首先采用計算機數值法研究氣象學的混沌(chaos)問題以來，對混沌的研究不斷深入，混沌在學科上屬于非線性動力學，是指在決定性動力學系統中出現的一種對初始條件極其敏感的隨機性運動[1]。這種對初值的極端敏感性又稱為“蝴蝶效應”。大學基礎物理教學內容不包括“混沌”的內容，但是，如今“混沌”的研究已完全超出數學和物理學的范圍，它在自然科學中的應用越來越廣泛，甚至應用于許多社會學科。自然界有3種基本運動狀態，混沌是其中之一，其余兩種是大家熟悉的，即確定性運動狀態和隨機性運動狀態。本文結合“相圖”這一非線性動力學最基本的方法和洛倫茲方程組，簡單地介紹混沌這一重要概念和運動狀態，以豐富讀者對“混沌”的理解和認識。

1 牛頓力學與決定論

在長達兩千多年的科學史詩中，最華麗的篇章是牛頓力學的降臨，他的《自然哲學的數學原理》的主體就是討論萬有引力定律，這是牛頓一生在物理學上最大的貢獻。通過萬有引力的發現，同一個規律決定了整個宇宙的運行，后可預測未來，前可反演過去[2]。在牛頓力學中，如果已知初始條件，對于有序系統我們可以預測其未來的運動狀態。牛頓力學在天文學上的處理是最成功的，科學家可以準確預測宇宙飛船的著陸、行星運行的位置、日食月食何時發生等。牛頓力學的方法導致17、18世紀的科學家和哲學家采用決定論觀點：認為宇宙是一個巨大的時鐘，由初始的位置和動量可準確預測宏觀物體和微觀物體的將來。類似的，在量子的微觀世界，我們可以預測電子在原子中某位置出現的概率以及放射性元素的半衰期。在有序系統中，不管是牛頓力學的宏觀世界還是微觀的量子世界，可預測性取決于初始條件[3]。

2 預測性的局限性

20世紀科學和技術的發展，人們看到盡管牛頓的方法可以預測簡單系統的長期行為和復雜系統的短期行為，但在一些系統中仍存在著理論和實際的預測局限性。例如：人們不能準確預測簡單系統的長期行為，其實際的局限性表現為人們不能準確確定初始條件，經過很長的時間，初始條件的微小誤差也會引起計算結果的顯著變化[4]。另外，宇宙中的每一個物體都與其他所有物體存在相互作用。人們在分析問題時，經常采用理想化模型，忽略非常微弱的作用力。但是，經過一段時間，非常微小的作用力也會產生顯著的影響。例如太陽光的長時間累積效果會對小行星的運動產生影響。

另一種預測的局限性表現為對初始條件的極端敏感性，初始條件的微小差異導致物體運動行為結果的巨大變化，近些年科學家們發現，當初始條件發生極其微小的變化時，導致結果失去可預測性。系統內對兩種可能出現的結果，它們之間的差異隨著時間的增大呈指數變化，具有固有的不可預知性，這樣的系統被稱為“混沌系統”(chaotic system)。

3 混沌

“混沌”一詞在中外文化中有著淵源悠久的歷史。在古希臘，它的原意是事物生成前宇宙的原始空虛狀態，在有序宇宙之前曾存在過的無序無形物質，即首先是混沌，然后才有大地和欲念；在我國，古人想象中的世界生成前的狀態，“夫太極之初，混沌未分”。如今，“混沌”有了科學的定義，“混沌”是確定論系統所表現的隨機行為的總稱，它的根源在于系統內非線性相互作用。系統的運動敏感地依賴于初始條件，從而系統的長期行為具有不可預測性，即有“蝴蝶效應”。

為了對非線性運動的特征做出定性描述，法國數學家、物理學家龐加萊提出“相圖法”，相圖的描述方法是非線性力學中最基本的方法。相圖法可表述如下：將質點的位置(或角位置)作為橫坐標軸，將速度(或角速度)作為縱坐標軸，橫縱坐標軸構成的平面為相平面。質點的運動狀態對應相平面上的一個點，為相點。相點在相平面內的運動，稱為相圖[5]。區別于位移-時間、速度-時間曲線來描述運動，在相圖里失去位移、速度隨時間變化的信息，但是可以得到動力學系統運動的全局信息，給出其軌線形態類型及其穩定性問題。相圖自19世紀龐加萊提出以來，至今有著深遠的影響[1]。

對于非線性振動系統，系統的穩態反應與驅動力間不再有線性關系。例如對于單擺和倒擺，在給定能量時運動都是確定的，但都存在不穩定的平衡點，對應著相圖中的(雙曲點或鞍點，圖中曲線相交的點)(圖1)。假定存在阻尼或驅動力，擺做受迫振動，圖1中雙曲點的存在，預示著混沌運動的可能[1]。在一定的參數下，在單擺和倒擺的受迫振動中，會出現混沌運動?；煦邕\動的相軌則趨于非常復雜的吸引子，叫奇怪吸引子或混沌吸引子。

圖1 單擺的相圖，雙曲點的存在，預示著混沌運動的可能

1903年法國數學家龐加萊從動力學系統和拓撲學出發，指出可能存在混沌特性，從而成為世界上最先了解存在混沌可能性的人。隨后有不少數學家開始研究混沌理論?；煦缢猿蔀榇蟊娭獣缘拿~，這與美國氣象學家洛倫茲(E.N.Loreng)的工作有很大的關系；靜止的黏性流體，當溫度不均勻時它將如何運動？20世紀60年代洛倫茲研究的兩無限平面間流體的運動，提出一個簡化到只有3個變量的描述大氣對流的非線性微分方程組上述方程組中不包含任何外加的隨機變量，其中，x變量與對流強弱有關；y變量與水平方向溫差有關；z變量與垂直方向溫差有關；σ、γ、b為3個參數，σ=10，b=-8/3，γ取值可變化。方程可具體表示為[6]

(1)

(2)

圖2 洛倫茲奇怪吸引子[7]

上述方程組沒有解析解，洛倫茲利用計算機計算氣候的演變情況。他用兩組差別極小的初始值(第二組采用的初值僅比第一組少最后一位有效數字)，進行兩次重復計算，發現隨著計算的時間進程的推進，兩次計算結果的差別越來越大，最后導致完全沒有相似之處，洛倫茲用計算機求解這組方程算了3000步，在開始的1000 步，有點像周期解，隨后卻越來越看不出規律，在2000步以后，變為毫無規律的混沌。計算結果在相空間表現為圍繞兩個環來回轉圈。這種現象被后人稱為奇怪吸引子(圖2)。在洛倫茲之前，人們由于只了解平面上的運動，對吸引子的了解僅限于平衡點、極限環等少數類型。由于洛倫茲方程的引進，使人們看到了以前沒有見過的吸引子，所以稱為奇怪吸引子[6]。這樣的結果大大出乎人們的預料，比想象的復雜得多。這個方程也由此而出名，被稱為洛倫茲方程。

洛倫茲奇怪吸引子是最早發現的一類向混沌轉化的例子。這種對初始條件的靈敏現象被形象地稱為“蝴蝶效應”，它來自洛倫茲的一次演講，“在巴西熱帶雨林中的一只蝴蝶扇動了一下翅膀，可能會在德克薩斯引起一場龍卷風”。反過來理解這句話，就是蝴蝶不扇動翅膀就不會引起龍卷風。蝴蝶扇不扇翅膀對大氣對流來說顯然是一個差別極小的初始條件，但導致的結果卻有著巨大的差別，正所謂“差之毫厘，失之千里”。今天人們談到“蝴蝶效應”時通常指非常微小的條件差異會產生巨大的影響效果?！昂?，這個名詞的起源可能與下面的故事不無關系。在洛倫茲即將成為一名氣象專業學生的那年圣誕節，他的姐姐送給他一本名為《風暴》的書，書中敘述了一位在中國的老人打了一個噴嚏，在美國紐約就引發了一場大雪。

自然界有3種基本運動狀態，混沌是其中之一，其余兩種是確定性運動狀態和隨機性運動狀態。自從牛頓以來，科學界形成一種任何復雜的自然現象都可以用一組確定的方程來描述，物體的運動完全包含在這組方程和初始條件中，只要知道初始條件，就可確定地預言物體的未來和追溯它的過去。法國數學家拉普拉斯是牛頓的崇拜者，是“決定論”思想的代表者，他曾宣稱：只要知道初始條件我就可以決定未來的一切，確定性運動狀態的特點就是對初始條件不是很敏感的。自然界也存在著各種各樣的隨機性運動狀態，例如骰子的滾動、氣體分子的運動、山溪的奔流等。在山溪的奔流中，不管我們已知水面上漂浮的小物塊的初始條件多么精確，我們不能預測其運動到下游的準確位置；這種不可預測的性質表明不存在確定的因果關系，即具有隨機性的因素。19世紀玻爾茲曼奠定了氣體動理論基礎，闡明了大量分子組成的體系行為的隨機性質，顯然個別分子的行為難以預測，但大量分子組成的氣體行為在統計上是可以預測的。在20世紀初量子力學產生后，人們認為在微觀世界里，確定論不適用，但是在宏觀力學中，確定論還是絕對正確的?；煦缦到y的特征在于初始條件的微小差別導致結果的巨大變化。由以上敘述可知，混沌打破了確定論和隨機論這兩套描述體系之間的鴻溝，在這兩套描述體系之間架起了一座橋梁?，F在人們開始認識到在經典力學的范圍內也可以出現隨機現象?；煦绗F象的存在，意味著精確預測能力受到一種新的根本性限制，它徹底破除了拉普拉斯式的決定論觀念。所以人們把混沌的發現認為是科學在20世紀的重大進展[6]。

4 結語

本文結合相圖和洛倫茲方程組簡要介紹了混沌運動特點，混沌與確定性運動狀態隨機性運動狀態的區別?；煦绗F象的隨機性不是來源于系統中包含大量分子的那種隨機性，而是來源于非線性系統中微小差異的增長量是按指數增加的方式進行的，從而具有對初始值敏感的行為?；煦缪芯勘砻?，現實世界更多的是一個有序與無序相伴、確定性與隨機性統一、簡單與復雜一致的世界。由于混沌的發現，使人類對客觀規律認識有了一個飛躍。新的觀念正在把科學家的熱情引導到探索復雜的非線性領域，大大豐富了人們對于事物演化的認識?；煦绗F象研究建立起來的新概念正在進入物理學、天文學、生物、地學、醫學等自然科學和一些社會科學的領域。目前生命科學和醫學中已經有很多方面應用混沌理論進行研究，例如，生態學中的混沌、神經系統中的混沌、心臟節律的混沌、腦電信號混沌控制、激光誘導的DNA分子混沌態的量子模型簡介、蛋白質的混沌態等?；煦缋碚搼冒l展最快的領域還應屬生物醫學領域[8]。

有趣的是，混沌不是毫無預測的，在混沌系統中，也具有規律性的模式。也就是說，混沌不是純粹的無序，而是不具備周期性變化和其他明顯對稱特征的有序態[8]；在混沌中具有有序性?？茖W家們已經能夠從數學上處理混沌系統并且發現其有序的部分?；煦绗F象和許多物理現象一樣，既存在有害的一面又存在有利的一面。所以如何避免混沌的弊端而利用它有益的一面，需要進一步研究混沌理論，從而達到控制混沌的目的?？傊?，混沌為我們展示了廣闊的應用前景。