利用多種方法證明三角形的內角和是180°

孫靜芝

摘要：<正>邏輯推理作為數學核心素養之一，在數學教學中一直受到關注和重視.相比較其他數學內容，幾何證明在這方面有獨特的教育價值。

關鍵詞：證明 數學教學

我們學習了三角形的內角和定理，知道了三角形的內角和為180°。對于這個定理，我們可以利用多種方法進行證明，以下是我從幾個不同的方面總結的幾種證明方法，現拿來分享，以拓寬學生的思維：

三角形內角和定理 三角形三個內角的和等干180°

已知：如圖1，∠A、∠B、∠C分別為三角形ABC的三個內角，

求證：∠A+∠B+∠C=180°

思路：1.用輔助線構造出一個平角，再用平行線“移動”內角，將其集中起來。

2.想辦法將三角形的三個內角放在兩條平行線的兩同旁內角的位置上。

利用第一種思路得到下列幾種證明方法：

證法一 ：如圖2，延長邊BC到D，并過頂點C作CE∥BA；

∵CE∥BA（作圖）

∴∠1=∠A（兩直線平行，內錯角相等），

∠2=∠B（兩直線平行，同位角相等）.

又∵∠1+∠2+∠ACB=180° （平角的定義），

∴∠A+∠B+∠ACB=180°.

證法二： 如圖3，過頂點C作DE∥AB；

∵DE∥AB（作圖）

∴∠1=∠A，∠2=∠B（兩直線平行，內錯角相等）.

又∵∠1+∠ACB+∠2=180°（平角的定義），

∴∠A+∠ACB+∠B=180°

證法三：如圖4，在BC邊上任取一點D，作DE∥BA，DF∥CA，分別交AC于E，交AB于F；

則∠2=∠B，∠3=∠C（兩直線平行，同位角相等），

∠1=∠4（兩直線平行，內錯角相等），

∠4=∠A（兩直線平行，同位角相等），

∴∠1=∠A（等量代換）.

又∵∠1+∠2+∠3=180°（平角的定義），

∴∠A+∠B+∠C=180°.

證法四： 如圖5， 作BC的延長線CD，在△ABC的外部以CA為一邊，CE為另一邊畫∠1=∠A；

于是CE∥BA（內錯角相等，兩直線平行）.

∴∠B=∠2（兩直線平行，同位角相等）.

又∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定義），

∴∠A+∠B+∠ACB=180°.

證法五：如圖6，在△ABC的內部任取一點D，連結AD、BD，并延長分別交邊BC、AC于點E、F，再連結CD；

則∠7=∠1+∠2，∠8=∠3+∠4，∠9=∠5+∠6（三角形的任何一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）.

又∵∠7+∠8+∠9=180° （平角的定義），

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°.

即∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°.

利用第二種思路，也可以設計出幾種證法，證法如下：

證法六：如圖7，過頂點C作CD∥BA；

則∠1=∠A（兩直線平行，內錯角相等）.

∵CD∥BA.

∴∠1+∠ACB+∠B=180°（兩直線平行，同旁內角互補）.

∴∠A+∠ACB+∠B=180°.

證法七 ：如圖8 ，任意作線段AD交BC于D，分別過點B、C作BE∥DA，CF∥DA；

則∠1=∠3，∠2=∠4（兩直線平行，內錯角相等）.

∵BE∥DA，CF∥DA，

∴BE∥CF.

∴∠3+∠ABC+∠ACB+∠4=180°（兩直線平行，同旁內角互補）.

∴∠1+∠ABC+∠ACB+∠2=180°.

∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°.

上面用到的七種證明方法，都是將新問題通過各種方法轉化為已經學過的問題進行證明，這樣的方法在初中的幾何學中經常會用到，有些書上將這種思路叫做化歸思想。這種思想是一種重要的解題方法，它在我們做題時可以幫助我們確定思考的方向，因此，有必要讓學生掌握。