深度追問，凸顯知識價值

○趙紅婷

教學“平面圖形的周長和面積”一課時，教材上有這樣一道練習題：

有兩個邊長都是6厘米的正方形，在其中一個正方形里畫一個最大的圓，另一個正方形里畫4個相等的盡量大的圓。（1）圓的半徑是多少厘米？（2）兩個正方形里圓的面積各是多少？各占正方形面積的百分之幾？

教學時，我依次出示圖形，引導學生嘗試計算圓面積和正方形面積，并分別計算出圓占正方形的百分率。學生很容易得出：大圓的面積是3.14×3×3=28.26（平方厘米），正方形的面積是6×6=36（平方厘米），所占百分比為28.26÷36=78.5%。4個小圓的面積是3.14×1.5×1.5×4=28.26（平方厘米），所占百分比是28.26÷36=78.5%。

求出答案后，我并未就此罷手，而是引導學生提問題。有的學生問：“為什么結果都是78.5%？”這正是我想追問的。面對這樣的問題，學生都陷入了沉思。思考過后大家進行了討論，有學生這樣解釋：假設大圓的半徑是x厘米，它的面積就是π×x2，而小圓的半徑是厘米，它的面積是，4個小圓的面積就是π×x2。另一學生這樣解釋：大圓的面積是9π，4個小圓的面積也是9π。他們都通過計算發現，一個大圓的面積正好等于四個小圓的面積，所以它們占正方形的百分比是相同的。學生用具體數據進行解釋，無疑是合理的。

接著，我繼續追問：“如果正方形里面畫滿9個同樣大的小圓時，九個小圓所占的百分比又是多少呢？”學生脫口而出：“百分率還是78.5%?！彼麄冞€進行了驗證，得出了具體算式：9個小圓的面積是3.14×1×1×9=28.26（平方厘米），所占百分比為28.26÷36=78.5%。我繼續追問：“通過這樣的計算，你有什么發現？”學生都一致認為，如果里面畫16個小圓、甚至是25個小圓……圓所占正方形的百分率還是78.5%。對這些結論，他們都能用計算進行驗證。

研究至此，大家仍然意猶未盡，我再次拋出問題：“為什么圓的個數變了，但所占的百分率卻不變呢？”學生能從計算角度分析了，但從圖形上是否能解釋呢？我繼續引導學生畫圖探索。最后，有學生發現，不管是幾個圓，都可以看成是相應正方形的內切圓。在正方形里畫同樣大的四個小圓，每個小圓就是它所在的小正方形的內切圓，而所有正方形的內切圓所占比率都是相同的。當學生從另一角度發現這一規律存在原因時，他們都欣喜不已。

數學家波利亞說過：“抽象的道理是重要的，但要用一切辦法使它們看得見、摸得著?！睂W習抽象的數學知識，必然包含著“具體化”的過程。針對知識的存在特質，教師應適時進行深度追問，啟發學生思考數學規律或現象的存在原因，便能凸顯數學知識的價值。經歷了這樣的數學思考，學生才可能感受到數學的神奇和美妙，同時，他們的思維也將走向更深處。