水平運動模擬器復演隨機海浪譜實驗*

薛米安， 邢建建， 苑曉麗， 陳奕超， 羅鉚鈞

(1.河海大學海岸災害及防護教育部重點實驗室 南京,210098) (2.河海大學港口海岸與近海工程學院 南京,210098) (3.河海大學理學院 南京,210098)

引 言

海洋工程結構物如浮式生產儲卸油系統(floating production storage and offloading，簡稱FPSO)、半潛式平臺、大型液貨船等主力海洋工程裝備，長期遭受著風浪流等復雜動載荷的作用，尤其是在波浪作用下常常會引起上述結構物的劇烈運動。海洋波浪引發海洋結構物產生的運動屬于隨機運動。受造波港池模擬隨機波浪能力的限制，實驗中難以準確描述浮式結構物在復雜波浪場中的動態響應，給研究帶來了諸多不便。由于海洋波浪的準確復演是海洋工程模型實驗保證試驗結果可靠性的重要因素，因此除建造精準的大型波浪水池外，隨機運動模擬器成為復演極端波浪、地震等各種海洋環境的重要途徑。

皮陽軍等[1]認為隨機運動模擬器在裝備研發和可靠性驗證中具有舉足輕重的作用，因此科研人員對各種類型的模擬器性能開展了卓有成效的研究。武偉等[2]設計了一套能夠提供典型海浪運動模擬的電液式振動臺。于大泳等[3]運用蒙特卡洛研究了對接機構運動模擬器并對其位姿精度進行了概率分析。張元等[4]設計并測試了一種新型的六自由度運動模擬器。梁凱等[5]基于動態性能仿真測試分析了六自由度運動模擬器的各項性能指標。吳博等[6]研究了液控運動模擬控制系統并分析了六自由度運動模擬器的靜態及動態性能。凌明祥等[7]研究了液壓振動臺的非線性摩擦力與參數辨識技術，為振動臺加速度波形失真補償提供了參考。Airouche等[8]研究了六自由度振動臺諧波信號再生的高保真問題。然而上述研究鮮有提及運動模擬器對隨機海浪譜的復演精度問題，同時海浪譜類型及主要參數對精度的影響也較少報道。但是這些因素對運動模擬器在海洋工程模型試驗中的應用極其重要，直接關系著實驗結論的精度，尤其是對于隨機波浪激勵下的液體晃蕩問題[9-10]，因此亟需開展各種海浪譜生成隨機運動位移的試驗。

實際海域中的海浪變化十分復雜，對于充分成長的海浪，可以被認為是一個平穩的隨機過程。隨機海浪也被稱為不規則波。對不規則波的產生方法，Ketabdari等[11]認為可以通過有限數量正弦單色波的疊加、風生波時間序列的原型觀測等方法獲得。盡管不規則波是由具有不同頻率和相位余弦或正弦函數疊加而成，但是不同海域的波浪特性不同，因此每種譜生成的不規則波仍具有自己的特性。在該研究中以JONSWAP譜(簡稱J譜)和Bretschneider譜(簡稱B譜)分別作為輸入設計譜驅動平臺按照指定的隨機波譜作不規則運動，通過改變譜峰周期和有效波高分析不同參數下該模擬平臺實際運動位移的能譜曲線與理論譜的差異性，并討論兩種設計譜所產生隨機運動位移的主要統計特征。

1 海浪譜及其生成的隨機運動位移

1.1 兩種海浪譜表達式

J譜的表達式[12]為

其中：Hs和Ts分別為有效波高和周期；Tp和fp分別為譜峰周期和頻率；γ=3.3為譜峰增強因子。

B譜的表達式為

(5)

其中：Hs為有效波高；ωp為譜峰頻率。

該譜由Bretschneider在1959年通過無因次波高和無因次波長的聯合分布函數導出的二參數譜，它適用于成長階段或充分成長的風浪。該譜是以外部觀測的各種頻率的波浪所貢獻的能量代替各組成波提供的能量，所給出的譜實質上是波能在各種外觀波長之間的分布。公式中的頻率有的使用圓頻率ω(rad/s)表示，有的使用頻率f(Hz)表示，為了使得譜密度函數S(ω)與S(f)之間能夠相互轉換，給出了如下的轉換關系

S(f)=2πS(2πf)=2πS(ω)

(6)

1.2 隨機運動位移生成原理

不規則波由有限數個不同波幅、頻率和相位的正弦波線性疊加而成，其波面表達式為

(7)

其中：ωi為第i個線性波的頻率；N為線性波的個數；ai和φi為每個線性波的波幅和相位。

相位φi為0～2π范圍內的隨機變量，波幅的表達式為

(8)

其中：Δω為頻率間隔。

根據線性造波理論，運動模擬器的水平運動速度可以表示為

(9)

其中：Ki為轉換函數。

其表達式為

(10)

和不規則譜波面的表達式類似，由海浪譜生成的隨機運動方程可寫為

(11)

其中：x(t)代表可產生一個隨機的水平運動；ai和ωi分別為每一個簡諧波的振幅和頻率；φi為0～2π范圍內的隨機變量。

在試驗中，當需要產生一個隨機位移時，首先根據海浪理論譜，利用傅里葉變換將其展開成一個電壓時間序列值控制信號，此信號經運動控制卡轉換成運動方向和速度兩路數字控制信號送給伺服控制驅動器，驅動伺服電機做往復運動，從而帶動水平模擬器做相應的隨機運動。

1.3 測量儀器及試驗工況

平臺運動的實際位移由位移傳感器實時測量。如圖1所示，位移傳感器一端固定在試驗平臺上，另一端與固定在地基上的結構物相連。試驗中采用的位移傳感器量程為0～50 cm，精度為±0.5%F·S，采樣頻率為100 Hz，通訊接口為USB型，可以直接連接在計算機上并通過基于Visual Studio軟件平臺開發的SDA1000型數據采集軟件實時顯示并保存位移數據。

圖1 運動模擬裝置中的位移傳感器布置示意圖Fig.1 Layout of displacement sensor in movement simulator

表1列出了兩種設計譜的9組有效波高和譜峰周期， 用于研究不同參數條件下海浪譜生成的隨機位移的統計特征。由譜密度函數可知，波浪譜的有效波高和周期給定后即可確定譜形。通過改變有效波高和周期，可改變譜形進而通過運動模擬器生成不同的隨機運動位移。

表1 B譜和J譜的9組有效波高H及周期T

2 隨機運動位移及相應的頻譜密度

圖2為不同譜峰周期和有效波高條件下兩種海

浪譜B譜和J譜分別生成的實際水平隨機運動位移。由圖2可知，在相同的有效波高和譜峰周期條件下兩種海浪譜所產生的隨機運動位移沒有顯著的差別，并發現由兩種能譜產生的不規則運動位移的極值也沒有顯著的變化。當有效波高固定不變時，由圖2(a)～(c)及圖2(A)～(C)可知兩種實測海浪譜所生成的不規則運動位移的極值并不隨著譜峰周期的增大而顯著的增大或減小。當譜峰周期保持不變時，由圖2(c)～(e)和圖2(C)～(E)可知兩種實測海浪譜所生成的不規則運動位移的極值均隨著有效波高的增加而顯著增大。

圖2 不同譜峰周期和有效波高條件下海浪譜生成的實際平臺運動位移Fig.2 The movement displacement generated by B-spectrum and J-spectrum with different period and significant wave height

為了進一步分析隨機位移的頻譜變化，圖3給出了與圖2相應的不同譜峰周期和有效波高條件下海浪譜生成的實際平臺運動位移的實測頻譜密度與理論頻譜密度的比較關系。從圖3中可以看出，當兩種海浪譜具有相同的有效波高和譜峰周期時，其譜形存在較大的差異，B譜較平緩屬于寬帶頻譜，J譜較尖銳屬于窄帶頻譜。因此J譜的波浪能量在頻域上的分布也較B譜集中。當有效波高固定不變時，由圖3(a) ～ (c)及圖3(A)～(C)可知隨著譜峰周期的增大兩種海浪譜的譜峰頻率均由高頻向低頻推移，實測頻譜密度的最大值也隨著譜峰周期的增大而緩慢增加。當譜峰周期保持不變時，由圖3(c)～(e)和圖3(C)～(E)也可知兩種實測海浪譜的頻譜密度最大值隨著有效波高的增加而顯著增大。此外，從圖3中還可以看出隨著譜峰周期的增加實測頻譜密度越來越偏離理論值，也就是低頻運動越來越難被精確模擬，尤其是對于能量在頻域上相對集中的J譜。

圖3 不同譜峰周期和有效波高條件下海浪譜生成的實際平臺運動位移的實測頻譜密度與理論頻譜密度的比較Fig.3 Comparison of theoretical spectrum and measured spectrum of displacement generated by B-spectrum and J-spectrum with different period and significant wave height

3 隨機運動位移及其快速傅里葉變換結果的統計特征分析

通過對水平隨機運動位移極值的統計分析可以確定譜峰周期T及有效波高H對水平運動模擬器沖程d的影響規律。圖4給出了兩種海浪譜所生成隨機運動位移的最大值dmax、最小值dmin隨譜峰周期T及有效波高H的變化關系。從圖4(a)中可以看出當有效波高H為0.015 m保持不變時，除由B譜生成水平隨機運動位移的最大值隨著譜峰周期的增加而減小外，B譜所生成水平隨機運動位移的最小值和J譜生成的水平隨機運動位移的最大值及最小值均不隨譜峰周期的增加而單調增加或減小。同時從圖4(a)中可以觀測到，除圖2(B)(工況2)中出現的由J譜所生成的一個較大的隨機運動位移外，由兩種海浪譜所生成水平隨機運動位移的最大值與最小值之間并沒有顯著的差異。當譜峰周期為2.4 s保持不變時，從圖2(f)～(i)和(F)～(I)以及圖4(b)中可以看出兩種海浪譜生成的隨機運動位移的最大值隨著有效波高的增加而增加；同一有效波高時兩種海浪譜所生成隨機運動位移的最大值與最小值沒有顯著差異。

圖4 兩種海浪譜所生成隨機運動位移的最大值、最小值隨譜峰周期T及有效波高H的變化Fig.4 The maximum/minimum value of displacement generated by B-spectrum and J-spectrum with different period T and significant wave height H

標準差也被稱為標準偏差，反映了一組數據的離散程度。從圖5(a)中可以看出隨著譜峰周期T的增加，J譜所生成水平隨機運動位移的標準差σJ均大于由B譜生成水平隨機運動位移的標準差σB，表明J譜生成的隨機位移數據集具有較大的離散度，主要原因是J譜比B譜的能量在頻域上的分布較集中。此外，從圖5(a)中也可以發現兩種海浪譜所生成隨機運動位移數據的標準差并不隨譜峰周期的增加而單調的增加或減小。當周期等于1.5 s時兩種海浪譜生成的隨機運動位移都具有最大的標準差，即位移數據具有較高的離散度。從圖5(b)中可以看出，兩種海浪譜所生成隨機運動位移的標準差也隨著有效波高的增大而增大；同時由J譜生成的隨機運動位移的標準差均大于由B譜所生成隨機運動位移的標準差，表明兩種海浪譜生成的隨機運動位移數據的離散程度也隨著有效波高的增大而增大，且J譜所生成隨機運動位移數據的離散程度大于B譜所生成隨機運動位移數據的離散程度。

圖5 兩種海浪譜所生成隨機運動位移的標準差隨譜峰周期T及有效波高H的變化關系Fig.5 The standard deviation of displacement generated by B-spectrum and J-spectrum with different period T and significant wave height H

實測頻譜密度與理論譜之間的擬合優度R2反映了模擬器復演隨機運動的精度。圖6(a) 顯示除工況2外B 譜實測譜與理論譜之間的擬合優度均大于J譜實測譜與理論譜間的擬合優度并且隨著譜峰周期的增加J譜實測譜與理論譜間的擬合優度逐漸減小，這是由于隨著譜峰周期的增加J譜的譜型越來越尖銳， 能量也越來越集中在峰值頻率上。上述分析表明，該水平運動模擬器能夠較精確地復演寬頻帶的B譜，擬合優度R2可以達到0.99以上，而對具有較大譜峰周期的窄頻帶J譜所生成的隨機運動位移并不能較精確地復演且R2隨著譜峰周期的增大而減小，表明譜峰周期是影響窄頻帶J譜復演精度的主要因素。當譜峰周期不變時，隨著有效波高的增大，圖6(b)顯示B譜的擬合優度均大于J譜的擬合優度，主要原因如圖3所示。和J譜相比，B譜是一種寬頻帶譜，能量在頻率上的分布相對分散，所生成隨機運動位移的離散程度較小，數據較穩定，因此水平模擬器能夠較準確地復演由B譜生成的隨機運動。此外，由圖6(b)也可發現隨著有效波高的增加，兩種海浪譜實測譜與理論譜的擬合優度基本上保持不變，J譜型的擬合優度在0.975左右，B譜型的擬合優度約為0.995。

圖6 兩種海浪譜的實測頻譜與理論譜的擬合優度R2隨譜峰周期T及有效波高H的變化關系Fig.6 The determinate coefficient R2 between theoretical spectrum and measured spectrum of displacement generated by B-spectrum and J-spectrum with different period T and significant wave height H

頻譜密度對頻率的積分可以給出信號的方差，同時也反映了信號能量的大小。對圖3中9組實測頻譜密度曲線在頻域上進行積分可獲得頻譜密度的方差，即實測頻譜密度曲線與頻率軸之間的面積δS，該值不僅反映了實測譜數據的離散程度也一定程度上反映了能量的大小。從圖7 (a) 中可以看出J譜實測頻譜密度對頻率的積分δSJ在有效波高為0.015 m、譜峰周期0.8～2.4 s范圍內均大于B譜實測頻譜密度對頻率的積分δSB，表明J譜頻譜密度的離散程度及在頻域上的總能量均大于B譜頻譜密度的離散程度和在頻域上的總能量。從圖7(b)中可以觀測到，頻譜密度函數對頻率的積分面積即實測譜型的方差也隨著有效波高的增加而增加且J譜實測譜的方差大于B譜實測譜的方差，和圖5(b)得出的結論一致，表明J譜相對B譜而言是一種高離散度的譜型，同時離散程度隨著有效波高的增加而增加。

圖7 兩種海浪譜的實測頻譜密度對頻率的積分面積即方差δS隨譜峰周期T及有效波高H的變化Fig.7 The variance of measured spectrum of displacement generated by Bretschneider spectrum and JONSWAP spectrum with different period T and significant wave height H

4 結束語

選擇典型的寬頻帶B譜和窄頻帶J譜，通過實驗研究了水平運動模擬器模擬這兩種海浪譜型所生成隨機運動位移的主要統計特征、復演精度以及譜峰周期和有效波高對生成的隨機運動位移的主要統計參數的影響規律。得出如下結論：a.B譜相比J譜是一種具有較高離散程度的譜型；b.水平運動模擬器對B譜的復演精度大于對J譜的復演精度，且譜峰周期是影響J譜復演精度的主要因素；c.有效波高保持不變時，兩種海浪譜生成的隨機運動位移的統計值并不隨著譜峰周期的增加而單調的增加或減少；d.譜峰周期保持不變時，兩種海浪譜生成的隨機運動位移的最大值、標準差及實測頻譜密度函數的方差均隨著有效波高的增大而單調的增大。

本研究一方面直接給出了該類型運動模擬器精確模擬不同類型譜的能力；另一方面也為在實驗室內界定該類型隨機運動模擬器精確模擬窄頻帶J譜的周期范圍提供了方法借鑒，最終為合理利用該實驗裝置準確模擬不同的運動環境提供了科學參考依據。該實驗裝置可被廣泛應用于簡諧或隨機波浪激勵下液艙或儲液罐內的液體晃蕩問題研究，獲取液艙或儲液罐內的壓力分布規律，為優化設計液貨艙結構提供科學實驗數據[13-14]。