談Dandelin雙球模型的構建及其教學價值①

王海青

(惠州學院數學與大數據學院 516007)

1 問題提出的背景

解析幾何以歐幾里得的論證幾何為基礎，通過坐標系以“幾何問題→代數問題→求解→反演”的方式將幾何代數化，把代數方程與曲線曲面等聯系起來，實現了“數與形”的靈活轉換．解析的方法更具一般性而不過多地依賴幾何圖形，它改變了歐幾里得幾何的論證方法，使幾何研究變為代數計算，能由已知的代數結果發現新的幾何性質．圓錐曲線作為高中解析幾何的核心內容在現實中有非常廣泛而重要的應用，一直以來人們致力于尋求其在天文學、軍事領域、建筑設計等方面有用的性質．因此，圓錐曲線相關內容的教學對學生數學思維能力和應用意識的培養具有毋庸置疑的重要性．

圖2

文[1]以圓錐面Dandelin雙球模型(圖1)和修正后的圓柱面Dandelin雙球模型(圖2)為介質，強調解析幾何教學回歸“幾何性”的重要性，并指出了“解析性”與“幾何性”并重的教育價值．[1]解析幾何是連接代數與幾何的重要橋梁，在教學中過于偏重幾何的“解析性”或代數的“幾何性”都是不可取的，而是要兩者并重強調“數與形”的密切結合．正如文[1]的觀點，在圓錐曲線的教學中Dandelin雙球模型有助于將代數化的性質直觀化，反映其原有的幾何特征．

但Dandelin雙球模型還承載著更為重要的教學價值，即其能揭示圓錐曲線中不同曲線的定義、同一曲線的不同定義之間的密切聯系，以及三種曲線的特性及其統一性的內在關系．它能實現從“用平面截圓錐所得截線”的原始定義向“到兩定點距離之和為一定值”的平面軌跡定義的自然過渡，由三維空間轉化為二維平面來探究圓錐曲線的性質．為進一步闡明這個觀點，需簡要剖析圓錐曲線的教材知識結構與梳理其歷史發展脈絡．

2 圓錐曲線的教材知識結構

高中數學人教A版選修2-1教科書[2]“圓錐曲線與方程”單元的知識結構如圖3，分別介紹了光學性質、原始定義、第一定義、第二定義以及在直角坐標系下的標準方程和統一方程，其中第一定義、標準方程、幾何性質及應用是主要內容．原始定義出現在前言部分；橢圓和雙曲線的第一定義通過“拉線作圖”引出；拋物線的定義利用其切線的性質借助幾何畫板引出；利用Dandelin球說明橢圓的第一定義與原始定義的等價性放在“探究與發現”部分．教材的編排體現了類比、數形結合和分類討論的數學思想，極力突出原始定義、第一定義和統一定義三者之間的聯系，既強調各類圓錐曲線的特性也關注其統一性．

圖3

圓錐曲線可看作是球在光照射下的不同投影，也可看作是平面截圓錐所成的交線，兩種方式都是在空間中對圓錐曲線的直觀定性描述．但教材在介紹圓錐曲線的原始定義后，直接過渡到平面用“拉線作圖法”引出橢圓第一定義推導標準方程與討論相應的性質特征．從空間到平面的直接跨越不免有些突兀,學生難以理解為什么可以這樣定義．圓錐的截線與平面上定義的曲線是同一個軌跡嗎？雖然教材在之后的“探究與發現”中進行了說明，卻難以消除學生在學習新概念時造成理解上的極大困擾．

有研究[3-5]證實了這些疑慮，并對橢圓概念的教學提出了改正意見，根據太陽光的投影逐步構建出圓柱面的Dandelin雙球模型推導出橢圓的焦半徑性質并引出橢圓的第一定義，將之與原始定義聯系在一起．圓柱面的Dandelin雙球模型可以降低學生處理模型的難度，但修正后的模型無法導出雙曲線和拋物線的情形．教學上雖然沒有必要用Dandelin球模型引出雙曲線和拋物線的定義，但圓柱面的Dandelin雙球模型不足以說服學生消除“如何類似地得到雙曲線和拋物線的定義”的疑問．教師應對教材內容的深廣度有恰當的把握，考慮到不同學生的需要使教學設計具有一定的彈性．

3 圓錐曲線的歷史發展簡介[6]

圓錐曲線可能是古人在制作日晷(如圖4)的過程中觀察到其在太陽光下的陰影偶然發現的．[7]39-40阿波羅尼斯(約公元前262-公元前190)是第一個依據同一個圓錐截面來研究圓錐曲線理論也是首先發現雙曲線有兩支的人．其所著的《圓錐曲線論》[8]幾乎網羅了圓錐曲線的性質，成為數學史上的一座豐碑．阿波羅尼斯從幾何直觀上給出了圓錐曲線靜態的原始定義：用一個平面去截一個圓錐面，得到的交線就稱為圓錐曲線(如圖5)．他利用繁雜的論證幾何方法推導出圓錐曲線的重要性質．如：圓錐線上一點P與焦點相連的兩線PF及PF′與P處的切線交于等角；焦距PF與PF′之和(對橢圓的情形)等于AA′，焦距之差(對雙曲線的情形)等于AA′(如圖6-7)．前一個是橢圓和雙曲線的光學性質，后一個是它們的焦半徑性質，也就是現在教材中的第一定義．圓錐曲線的焦點-準線性質則是由古希臘后期的數學家帕普斯(公元3世紀末)給予了證明[9]172．教材將之稱為圓錐曲線的第二定義或統一定義．

圖4

圖5

圖6

圖7

直到16世紀，人們才發現圓錐曲線也是自然界物體運動的普遍形式．為便于研究，1579年意大利數學家蒙特(1545-1607)將橢圓定義為：到兩個焦點距離之和為定長的動點的軌跡，并利用定義討論了他制造的橢圓規，如圖8．[10]230解析幾何的出現大大促進了圓錐曲線理論的發展，此后論證幾何的研究方法被逐漸擯棄，人們朝著解析法的方向發展．沃利斯(1616-1703)第一次用方程分別定義了橢圓、拋物線和雙曲線．[7]264歐拉(1707-1783)給出了統一的代數方程定義：在笛卡爾平面上，二元二次方程ax2+2bxy+cy2+dx+ey+f=0的圖像是圓錐曲線．[11]36-41射影幾何與解析幾何幾乎在同一時期產生，它主要研究幾何圖形在投影變換下保持不變的性質．德薩格(1593-1662)首先將射影幾何思想用于研究圓錐曲線考察它的射影性質，他將圓錐曲線直觀定義為：圓在平面上的投影(如圖9)．[10]158德薩格通過投影和截景提供了統一處理圓錐曲線的簡便方法，將圓的性質推到任一類圓錐曲線上．

圖8

圖9

用綜合法證明圓的截景是圓錐曲線的一個直觀簡潔的初等方法是由比利時數學家G. F. Dandelin 1822年給出的．[1]以橢圓為例，如圖1，在截面的上、下方各作一個與圓錐內切的球，同時和截面相切于E,F．在截面的交線上任取一點A，過點A引圓錐的母線交兩球的切圓于點B,C．由球的切線性質得到：AE=AC,AF=AB,則AF+AE=AB+AC=BC,而線段BC的長為定值，B,C為定點，得證．利用同一個模型可以證明原始定義與焦點-準線定義的等價性．

可見，圓錐曲線的定義和研究方法的改變反映了幾何學的發展變化過程．從歐氏幾何到射影幾何再到解析幾何，圓錐曲線的定義經歷了原始定義、平面上動點的軌跡定義、射影定義、標準方程定義、焦點-準線定義、代數方程的統一定義的變化過程．而研究方法從歐氏幾何的純幾何綜合法到射影幾何的方法，再到以坐標為媒介的解析法，經歷了由繁到簡、定性研究到定量研究的變化過程．圖10[6]反映了在歐氏幾何和解析幾何的框架下圓錐曲線定義的變化及相互關系．

圖10

4 Dandelin雙球模型的教學價值以及模型重構

4.1 Dandelin雙球模型的教學價值

教學不能脫離知識產生的源頭，否則就成了“無源之水、無本之木”．用平面截圓錐所成的截線或球在光源下的投影是圓錐曲線的初始定義，然后才從三維空間的原始定義過渡到二維平面的軌跡定義及方程定義．因此，教學的起點應該從原始定義展開探究．但數學發展到今天，已經沒有必要讓學生去經歷阿波羅尼斯繁雜的論證幾何方法，而且“圓錐曲線與方程”單元的重心是用解析法而不是幾何的綜合法處理圓錐曲線的相關性質．

如何將圓錐曲線中不同曲線的定義、同一曲線的不同定義有機聯系起來形成一個緊密的知識結構？Dandelin雙球模型是很好的媒介．教師可以選擇學生熟悉的直觀形象的“球在光源下的投影”來抽象出Dandelin雙球模型．進而在處理模型的過程中引出平面的軌跡定義，實現從三維空間向二維平面的轉化與過渡，這也正是Dandelin雙球模型的重要教學價值．由于教材內容的編排順序及其知識結構，決定了橢圓概念是實現圓錐曲線定義從空間向平面自然過渡的重要支點．

4.2 Dandelin雙球模型的重構與橢圓概念的引出

如果直接呈現Dandelin雙球模型推導橢圓的焦半徑性質從而引出第一定義，學生的最大困惑在于：這么巧妙的模型是怎么想到的？教學上的困難是：如何降低對立體模型的理解和證明難度？

結合學生的生活實際，可以先介紹日常聲學現象，如在某些建筑內部的某個位置能聽到遠處的竊竊私語，對著山谷大喊緊接著也能聽到同樣的回聲(如圖11)．由此激發學生的興趣并抽象出相應的幾何圖形(如圖12)引出一個重要概念——橢圓的焦點，進而提出問題：橢圓上的點與這兩個焦點有什么聯系？

圖11

圖12

帶著問題通過動手實驗讓學生感受球在燈光下的投影，其中一種情形如圖13，投影為橢圓，球與桌面相切于一點．由光源電燈發出的光束與球相切成圓錐狀，并使球內切于圓錐．將實際情形抽象轉化為幾何圖形如圖14，點F1為球與桌面即橢圓的切點．球內切于圓錐，球與圓錐相切的所有點構成一個如圖14所示的切圓．因為光線是可逆的，從點光源發出的光束也可以看作是一束光聚焦到點光源A上．所以橢圓的投影也可以看作是由桌面下方與桌面相切于點F2的另一個球的投影，從而構造出Dandelin雙球模型，如圖15．

圖13

圖14

圖15

橢圓上的任一點P與兩個切點滿足怎樣的數量關系？如對前圖1的分析，容易得到橢圓的焦半徑性質：橢圓上的點P到兩個定點F1、F2的距離之和為定值(如圖16)．原始定義是在空間中對圓錐曲線直觀的定性描述，不利于性質的探討和推演．橢圓的焦半徑性質是在平面上的一個定量化結果，與平面直角坐標系有著天然的聯系．因此，可以考慮運用橢圓的焦半徑性質來定義橢圓，從而引領學生經歷概念的獲得、深化、固化與應用過程．

以學生熟悉的生活場景構建出Dandelin雙球模型，從生活世界向符號世界過渡，實現“橫向數學化”．然后在剖析Dandelin雙球模型的過程中獲得橢圓的焦半徑性質進而引出第一定義，從三維空間轉化為二維平面并從符號世界過渡到數學世界，實現“縱向數學化”．Dandelin雙球模型的構建與橢圓概念的引出使圓錐曲線的不同定義有機聯系在一起，也充分體現了弗賴登塔爾的數學教育觀——用“數學化”[12]的方式組織教學．教學設計過程重視數學建模思想的滲透及強調直觀想象與數學抽象的結合，這有助于發展學生的數學核心素養．