等高線模式下的一類幾何最值問題的再探究①

鄧 清 夏小剛

(1.貴陽市烏當中學 550018;2.貴州師范大學數學科學學院 550025)

數學是模式的科學，數學的本質特征就是在模式化的個體抽象中對模式進行研究.[1]波利亞認為，在解決一個自己感興趣的問題后，要善于去總結一個模式，并把他儲存起來，以后才可以隨時用它去解決類似的問題，進而提高自己的解題能力.波利亞在他的著作中概括了幾個數學模式，其中，“相切的等高線模式”是探究極值點的一種方法.筆者閱讀思考后發現，運用該方法探究幾何中的一類最值問題時，會有一種全新的體驗，特與大家分享.

1 “相切的等高線模式”解讀

如果問題中能找到一系列等高線，穿過給定路徑(或與給定路徑有多于一個交點)的等高線上不可能達到極值點，只有與給定路徑相切的等高線，其切點處才有可能達到極值點.[2]這就是“相切的等高線模式”.該模式中，“等高線”原本指的是地形圖上高程相等的相鄰各點所連成的閉合曲線，在這里指的是使得問題中所求變量f的值相等的所有點組成的曲線，因此也可以稱作“等值線”.為了弄清楚該模式的意義，我們先來看這樣一個例子：

圖1

如圖1，在已知直線l上求一點P，使得它與已知點A有最小距離.問題中要求的變量f是到點A距離問題，那么等高線就是到點A距離相等的點的集合，也就是以A為圓心的一組同心圓.點P既要在等高線上，又要在給定路徑——直線l上，根據“相切的等高線模式”的概念，當且僅當等高線與直線相切時，切點P即為所求.連接AP，根據圓的切線性質，則有AP⊥l，根據垂線段最短定理，該結論顯然是正確的.

根據以上解讀，運用等高線模式解決問題時，可按如下思路或步驟進行思考：

(1)找準變量f，根據變量構造出一系列等高線——暫且稱之為“等高線族”；

(2)理解問題中的給定路徑的曲線l；

(3)找到“等高線族”與給定路徑曲線的切點，切點即為所求.

2 運用等高線模式探究幾何最值問題

中學數學中的幾何變量中的最值問題，根據變量的幾何名稱，可以大致分為線段長度最值問題，圖形面積與體積最值問題，角度的最值問題.研究以上最值問題的文獻不在少數，例如文章[3]主要以函數的方法探究了幾何圖形中的面積、體積、角度等最值問題，文章[4]主要以三角換元的方法解決了一類幾何最值問題，但鮮有文章從等高線模式的視角探究以上中學數學中的幾何最值問題.下面，文章將先采用常規方法，在從等高線的視角解決一些典型的幾何最值問題，獲取不同的體驗.

問題1 最短路徑問題

如圖2，直線l的解析式為y=x+4，A(-2,0)，B(2,0)為x軸上兩定點，點P為直線l上一動點，求當AP+BP的值最小時，點P的坐標.

圖2

圖3

問題2 最小周長問題

已知矩形的面積為k,求該矩形的最小周長.

圖4

問題3 最大張角問題

如圖5，墻上豎直貼有一條標語，標語高度AB=a，標語底端離地面高度為b，若有一身高為c的人要看墻上的標語，那么他離墻多遠時看標語上A、B的視角最大？并求出此時最大張角的正切值.

圖5

解法二(等高線模式)：如圖6，假設人的視點為C，那么點C的給定路徑為平行于地面，離地面高度為c的一條直線上，張角∠ACB的等高線為以AB為弦的一系列圓上，當且僅當以AB為弦的圓與給定路徑相切時，切點C即為最大視角點.

圖6

圖7

3 結束語

以上探究中先用常規方法分別研究幾何背景中的最短路徑、最小周長和最大張角問題，再從波利亞“相切的等高線模式”的視角進行探究.

一方面說明探究結論的可靠性，另一方面，也呈現了解決此類最值問題的又一方法，體現數學問題解決方法的多樣性，更以多元視角展現了數學方法的豐富性和趣味性，體現數學和諧之美.