探究還是接受①
——從“勾股定理”的教學設計說起

顧繼玲

(南京師范大學教師教育學院 210097)

數學探究學習是當前數學課程標準倡導的學習方式之一，在數學教學實踐中得到了高度關注.但何時探究，何時接受？探究和接受的關系如何處理？對此相關文獻討論較少，基于數學學科的討論更少，本文擬以“勾股定理”的教學設計為例，對這些問題談談自己的看法.

1 問題提出：基于“勾股定理”的兩種典型教學設計

勾股定理，是平面幾何有關度量的最基本定理，它從邊的角度進一步刻畫了直角三角形的特征；勾股定理的發現導致無理數的產生，引發數學史上的第一次數學危機；勾股定理可以看做第一個不定方程，為不定方程的求解提供了范式.如此等等，確定了勾股定理的重要價值.但勾股定理的教學設計始終是一個難點，即如何讓學生比較自然地想到用面積的方法探索勾股定理，用拼圖的方法驗證勾股定理或用演繹的方法證明勾股定理，探究還是接受，是教材和教學的面臨的選擇.

設計方案一：

(1) 介紹關于勾股定理的數學史：《周髀算經》中出現的“勾廣三，股修四，徑隅五”.

(2) 給出勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和，等于斜邊c的平方，即a2+b2=c2.

(3) 用拼圖法推證勾股定理.

(4) 勾股定理的應用.

設計方案二：

(1)創設情境引出研究勾股定理的必要性.

(2)在方格紙上通過計算面積的方法探索勾股定理，圖1，圖2.

圖1

圖2

(3) 由學生通過觀察、歸納、猜想、確認勾股定理.

(4) 介紹勾股定理的悠久歷史、重大意義.

(5) 利用拼圖法驗證勾股定理.

(6) 勾股定理的應用.

兩種設計的區別是明顯的，設計方案一從史料的介紹開始，直接告訴學生勾股定理，然后對其進行驗證，不難看出對勾股定理的學習重心更多的是對定理的應用；設計方案二則從學生的活動開始，讓學生經歷勾股定理的獲得過程，從特殊到一般，從數到形，培養學生的合情推理能力，體會數形結合的思想.

從學習方式或教學方式角度來說，一般我們會將方案一歸為接受學習，方案二歸為探究學習，探究學習的方案有它的優勢所在：在探究活動中，學生通過多種活動，去探究和獲取勾股定理，可以達到對知識的深層理解；學生學會研究問題的方法，將直角三角形的邊長關系轉化為正方形的面積關系，從等腰直角三角形到非等腰三角形，從直角邊的長是整數到不是整數，獲得了勾股定理，更主要的是獲得了解決問題的方法和策略——轉化、猜想和操作驗證，所有這些活動都是解決問題的有效手段；學生形成良好的數學認識，在探究過程中學生形成科學態度和習慣，形成實事求是、精益求精、謙虛謹慎、客觀公正、敢于創新的精神.知識技能、過程方法和情感態度價值觀的目標均蘊含其中，這正是數學探究學習的目標多元的一種體現.因此，在當前的初中數學教材中都不約而同地選擇了設計方案二.

但仔細分析設計方案二，我們不難看出其缺憾之處，即從探究的對象到探究方法的過渡問題：要探尋直角三角形三邊之間的關系，采用什么樣的方法呢？即使確定三邊是平方關系，怎么就想到把直角三角形的邊的平方轉化成方格紙中的正方形面積進行探究了呢？這里，事實上還是老師的啟發引導或人為的告訴.或許有人可能會提出其他的探究方法，如：

給一些勾股數，讓學生計算、猜想吧.

(1)3,4,5；(2)5,12,13；(3)…

還沒有得到勾股定理，何來勾股數；怎么就想到平方關系呢；結果容易出現偏差，如32=4+5,52=12+13.

畫一些直角三角形，測量，形成猜想吧.

思路是比較自然了，但測量一定有誤差，且同樣平方關系不容易想到.

看來都不行，我們看到有的教材或教學設計中會直接告知學生：古人發現，直角三角形的三條邊長度的平方存在一種特殊的關系.讓我們一起去探索吧！然后就給出了方格紙的圖形.但勾股定理探索的難點就在于方格紙的引入，怎么想到將直角三角形放到方格紙中，將直角三角形邊的關系轉化為正方形的面積關系.

查閱和收集勾股定理的教學設計，我們發現還沒有哪個設計能真正突破這個難點.曾在一次公開課中聽過一節勾股定理的課，其教學設計不同于教材或常規的教學設計，課下與授課老師交流，他設計的初衷就是想突破上述難點，不妨一看.

提出問題

Rt△ABC中,∠C=90°,邊a,b,c之間有何關系？

如何解決

1.從簡單的特殊的入手

問題1:已知Rt△ABC，∠C=90°,

(1)若a=b=1,你能寫出含c的等式嗎？(c2=2)(注：所使用教材勾股定理在實數內容之前)

(2)若a=b=2,你能寫出含c的等式嗎？(c2=8)

(3)若a=1,b=2呢？

思考:

(1)(2)的條件有什么共同點？(3)的條件與(1)(2)有什么區別？

(1)(2)的結果有什么共同點？c2=2，c2=8能讓我們想起什么？

2.分析方法

問題: 如何驗證問題1(1)中以c為邊長的正方形的面積是否為2 ？

用網格1幫助

你能用上述方法驗證問題1(2)的結論嗎？

思考:你有哪些方法知道正方形的面積為8？

問題：你能用上述方法幫助解決問題1(3)嗎？

思考：你有哪些方法知道正方形的面積為5？

(4)若a=2,b=3.你能求c2嗎？

思考：你有哪些方法知道正方形的面積為13？

3.觀察歸納

問題2:(1)梳理上述四個問題的邊長，并思考a,b,c之間有什么聯系？

(2)我們有哪些方法知道正方形的面積？

……

在此設計中，首先提出本節課的學習任務：探討直角三角形三邊之間的關系，但問題很大，對學生來說有困難，無從下手，如何解決？將問題退回到最簡單最特殊的情形，這是我們解決問題的常用策略，很好！但求出等腰直角三角形斜邊的平方后，對于非等腰直角三角形斜邊的平方采用同樣方法無法奏效了，教師只能引導學生去構造以斜邊為邊長的正方形，這其實還是回到了方格紙的設計難點問題，沒有真正突破，且在過程中似乎聚焦的是單個的斜邊上的正方形面積，而忽略了最初始的問題.

在歷史上勾股定理究竟是怎么發現的，是經驗的產物還是偶然所得，不得而知.分析比較種種設計我們發現，對于“勾股定理”的探究，要讓學生在設置的情境下自然經歷勾股定理再發現的過程，或者自己想到利用方格紙轉化為正方形的面積看來是不可能的，因此現有的教學設計并不是完全意義上的探究，也不可能實現完全意義上的探究，還是包含了一定成分的接受.

2 探究還是接受

在“勾股定理”教材或教學設計中我們看到了探究學習的力不能及，也看到了接受學習的無可替代，那么在教學中我們該如何對待探究和接受，怎樣處理好兩者之間的關系？

2.1 對探究本身的認識

首先我們要對探究學習有正確的認識，不要將其與接受學習、發現學習截然分開.什么是探究學習？查閱相關文獻，國內外學者對探究學習的解釋有很多種.有的將探究學習作為一種學習活動，如施瓦布認為 “探究學習是指這樣一種學習活動：兒童通過自主地參與知識的獲得過程，掌握研究自然所必需的探究能力；同時，形成認識自然的基礎——科學概念；進而培養探索世界的積極態度.”[1]有的將探究學習作為一種學習方法，如人民教育出版社課程教材研究所研究員柴西琴認為，“探究教學實質上是將科學領域的探究引入課堂，使學生通過類似科學家的探究過程理解科學概念和科學探究的本質，并培養科學探究能力的一種特殊的教學方法”.[2]有的將探究學習作為一種模擬性的科學研究活動，如西南師范大學教授宋乃慶認為， “探究學習在本質上是一種模擬性的科學研究活動.”[3]……表述不盡相同但又有共同之處，如關注問題性，探究學習要使學生產生問題意識，提出對學生具有挑戰性和吸引力的問題；體現主動性，探究學習強調學生的主動性，學生在探究中始終處于主動狀態，從問題的提出、制定問題探究計劃，到收集材料處理信息和得出結果驗證結論都貫穿了學生的積極思考；凸顯過程性，強調學生探索新知識的經歷和獲得新知的體驗等等.

筆者認為，探究學習本質上不是某種新的學習方式.理由有二：

一是，探究學習、自主學習以及合作學習等都是新課程下涌現出來的提法，從課程標準的論述和標準解讀來看，這些提法主要是針對傳統教學過于強調接受學習、死記硬背、機械訓練的現狀，而并不是否定傳統的學習方式.傳統學習方式也有接受學習和發現學習之分，課程標準提倡在傳統學習方式的基礎上添加一些積極的元素或手段，接受學習也可以含有探究、自主和合作的成分，發現學習亦然，只不過是程度或方式不同而已，因此“探究學習”、“自主學習”、“合作學習”這樣的說法只是我們討論的需要或強調的側重.

二是，數學學習本身就是一個探究的過程，在數學學習過程中學生要有積極思維的參與，觀察、歸納、類比、聯想、演繹等等，探究學習必定包含這些數學活動形式，探究學習只是具有問題性、主動性、過程性等一些特征的學習方式，它仍從屬于接受學習或發現學習.

2.2 探究或接受的選擇

從客觀意義上來說，每一種教學方法或教學方式有其相應特點和適用范圍，沒有一種絕對的或萬能的教學方法.在“勾股定理”教學中，“探究”教會學生解決問題的策略，積累數學活動經驗，“接受”化解思維難點，節省教學時間，提高了課堂效率.一般來說，選擇探究還是接受或以哪種教學方式為主，主要從如下兩方面去考慮：

2.2.1知識內容角度

一方面，從知識的不同表征方式和作用來看，心理學上將知識劃分為陳述性知識、程序性知識和策略性知識.[4]陳述性知識也叫描述性知識，主要說明事物是什么、為什么、怎么樣，主要用于區別和辨別事物；程序性知識，即操作性知識，是指做什么、怎么做，以及解決問題的思維操作過程的知識，主要表現為技能；策略性知識是關于“如何學習、如何思維”的知識，是關于如何使用陳述性知識和程序性知識去學習、記憶、解決問題的一般方法和技巧.如：學習中如何有效記憶，解題時如何找破題點，如何總結解題規律，解決問題時如何明確思維方向等.讓學生“學會學習、學會創造”的核心就是策略性知識.

陳述性知識和程序性知識是可以被“告知”的，即可以通過明確表述的程序語言加以外顯化，而策略性知識是內隱的、個人化的知識，它不能以文字的方式直接由一個人傳遞給另一個人，它只能通過學習者親身的參與、行動或實踐，才能逐漸被意會到或被體驗到.因此，從理論上來說，陳述性知識和程序性知識是可以講授的，而策略性知識是學生在“做”的過程中被“悟”出來的. 當然，囿于學生的自我感悟能力，有時需要將一些策略性的方法適當地加以外顯并通過語言表述，如通過一定的問題思考再加以點撥.

如果過于重視陳述性知識和程序性知識的記憶和操作，則會忽視對它們的理解和策略性知識的領悟.“勾股定理”從其結論來說屬于陳述性知識，是可以直接“告知”學生的，但設計相應的數學活動可以增進學生對知識的理解和方法的領悟，其中蘊含著豐富的策略性知識，但這些策略性知識學生又難以自發產生，需要老師通過適當的問題啟發引導，因此教材或教學設計中采用以“探究為主，接受為輔”是一種最優的選擇.

另一方面，從知識本身的特征來看，有些數學知識來源于數學現實，具有經驗性，有些數學知識則是純粹數學思維的產物，具有超驗性，如負數具有經驗性，而復數則是超驗性的，對前者學生是可以自己探究的，后者學生則不可能探究，只能接受；有些數學知識具有演繹性，可以通過邏輯推理加以證明，有些數學知識只是在數學體系中的一種合乎情理的規定，[5]如三角形內角和定理具有演繹性，有理數的混合運算法則具有合情性，同樣前者可以設計活動讓學生自己探究，后者則只能接受了.“勾股定理”具有經驗性和演繹性，因此以探究學習為主去設計活動是比較恰當的，只是其中仍包含了一定成分的“接受學習”.

2.2.2學情狀況角度

選擇什么樣的教學方式還要考慮學生的學情.如前文所述，探究學習是具有問題性、主動性、過程性等一些特征的學習方式，對學生的認知水平和學習習慣有較高的要求.從班級整體狀況來看，如果班級整體學力水平比較高，且思維比較活躍，建議以探究為主，接受為輔，即在“探究中接受”，如按照這樣的過程設計“勾股定理”：“直角三角形三邊之間存在平方關系→畫直角三角形測量三邊，猜測→方格紙計算正方形面積→形成猜想”，探究中包含了接受；如果班級整體學力水平不高，或思維不夠活躍，建議以接受為主，探究為輔，即在“接受中探究”，如按照這樣的過程設計“勾股定理”：“直角三角形三邊之間存在平方關系→畫直角三角形測量三邊，猜測→技術手段準確測量→形成猜想”，至于直角三角形三邊的關系和正方形的面積關系則可以在結論得到之后，在例題或習題中體現形的一面，接受中也滲透了一定的探究的思想.

從不同年齡段來看，對學生的探究水平也應有不同的要求，即探究的問題、探究的方法應考慮到不同年齡段的學生在思維水平、活動經驗等方面的差異.以初中階段的“綜合與實踐”活動為例，可以區分為以下三種探究水平：

水平/內容研究課題活動方式活動要求案例水平一(七年級)明確、具體以操作性數學活動為主,要求判斷、提出猜想并進行說理獨立思考、合作交流;注重探究、逐步積累經驗幻方[6]水平二(八年級)主題明確,但具體的研究問題由學生經小組討論后形成以抽象、建立數學模型,推理和判斷,回顧與反思為主獨立與合作結合、注重探究與推理、積累活動經驗一次函數模型[7]水平三(九年級)僅給出現象,明確的主題和需要解決的具體問題由學生經小組討論后形成以抽象、推理、判斷和設計,回顧與反思為主獨立思考、合作交流、注重推理、積累活動經驗猜想、證明與拓廣[8]

考慮到受傳統教學模式的影響，教師教學方式的單一，學生在數學思考和問題解決方面的欠缺，目前我們適當向探究學習傾斜是需要的.當然除了知識內容和學情狀況影響之外，采用探究還是接受還取決于多種因素，如具體的教學目標和任務、教學設備、學習環境、教師的能力、風格等.立足教材，關注學生永遠是正確的！