一類二階非線性周期邊值問題正解集的全局結構

賈 凱 軍

(西北師范大學 數學與統計學院, 蘭州 730070)

0 引 言

周期邊值問題是常微分方程的經典問題之一, 關于其正解的存在性研究已引起廣泛關注. 近年來, 運用錐上的不動點定理、 不動點指數理論和臨界點理論等工具研究二階微分方程周期邊值問題, 已獲得了很多結果[1-11]. 特別地, Graef等[5]用Krasnoselskii’s不動點定理獲得了二階周期邊值問題:

(1)

文獻[5]在勢函數為常函數的情形下, 用錐上的不動點定理獲得了問題(1)正解的存在性結果, 但未得到關于其正解集全局結構的任何信息, 因此即使知道了多個解的存在性, 也無法說明這些解是否在一個連通分支上; 文獻[6]在勢函數為常函數的情形下用點分歧理論得到了問題(1)正解集的分歧行為, 而當勢函數進一步推廣為q(t)且變系數時, 能否建立類似于文獻[6]的結果未知. 事實上, 這會給證明帶來新的困難, 目前對此類問題的研究尚未見文獻報道. 基于此, 本文用區間分歧理論與拓撲度理論研究二階周期邊值問題：

(2)

正解集的全局結構, 其中λ是一個正參數.

本文總假設:

(H1)q∈C([0,2π],[0,∞))且q(t)不恒為0, 存在兩個正常數q1,q2, 使得對任意的t∈[0,2π], 有q1≤q(t)≤q2;

(H2)g∈C([0,2π],[0,∞))且存在t0∈[0,2π], 使得g(t0)>0;

(H3)f∈C([0,∞),[0,∞))且當s>0時,f(s)>0;

參照文獻[6], 記λ1(q1)是線性特征值問題:

(3)

的主特征值,φ∞是λ1(q1)對應的非負特征函數. 記λ1(q2)是線性特征值問題:

(4)

的主特征值,φ∞是λ1(q2)對應的非負特征函數.

1 預備知識

注1特別地, 當勢函數q(t)=ρ2(ρ>0)時, 問題(2)將退化為文獻[5-6]中的問題, 且格林函數退化為

令Σ?+×X為問題(2)正解集的閉包. 對于λ≥0, 問題(2)等價于算子方程u=Pu, 其中P:X→X定義為

根據λ,G,g,f的正性可知, 對于任意的t∈[0,2π],u(t)>0, 問題(2)非平凡解(λ,u)的閉包在+×X上恰是Σ. 由條件(H4), 令ξ,ζ∈C(,), 且使得f(u)=f0u+ξ(u),f(u)=f∞u+ζ(u). 顯然有

定義算子L:D(L)?X→X為Lu=-u″+qu,u∈D(L), 其中

D(L)={u∈C2[0,2π]|u(0)=u(2π),u′(0)=u′(2π)},

則L-1是緊算子. 令關于f的Nemytskii算子N:X→X為N(u)(t)=g(t)f(u(t)),u∈X, 則問題(2)等價于算子方程

u=λL-1N(u),u∈X.

(5)

定義映射Φλ:X→X為Φλ(u)=u-λL-1N(u). 對于任意的R>0, 令BR={u∈X: ‖u‖

引理1[12]設V是一個實的自反Banach空間,F:×V→V是全連續的, 使得F(λ,0)=0, ?λ∈. 設a,b∈(a

u-F(λ,u)=0,u∈V

(6)

的孤立解, 其中(a,0),(b,0)不是方程(6)的分歧點. 進一步, 假設

deg(I-F(a,·),Br(0),0)≠deg(I-F(b,·),Br(0),0),

其中Br(0)是平凡解的孤立鄰域. 設

引理2[13]設V是一個實的自反Banach空間, 令F:×V→V是全連續的. 設a,b∈(a0, 使得對任意的u且‖u‖≥R, 有F(a,u)≠u≠F(b,u). 進一步, 假設當R(R>0)充分大時, 有

deg(I-F(a,·),BR(0),0)≠deg(I-F(b,·),BR(0),0),

則存在方程(6)的一個閉的連通分支C在[a,b]×V中無界, 并且下列條件之一成立:

1) C在λ方向是無界的;

2) 存在區間[c,d], 使得(a,b)∩(c,d)=?, 且C在[c,d]×V中從無窮遠處產生分歧.

引理3假設條件(H1),(H2)成立, 則λ1(q1)≤λ1(q2).

(7)

(8)

將式(7),(8)相減后再對t從0到2π積分, 并結合邊界條件可得

因為u1,u2均大于零,g非負且q2-q1≥0, 所以λ1(q2)≥λ1(q1).

2 主要結果

定理1假設(H1)～(H4)成立, 則:

3) 存在λ*>0, 使得當λ>λ*時, 問題(2)沒有正解, 此時Σ∞=Σ0.

考慮下列周期邊值問題：

顯然, 存在兩個正常數q1=1,q2=2且q(t)滿足條件(H1),g(t)滿足條件(H2), 易知f0=1/2,f∞=2, 則f(u)滿足條件(H3),(H4). 通過計算可求出線性特征值問題(3),(4)的主特征值分別為λ1(q1)=1,λ1(q2)=2, 由定理1可知, [1/2,1]和[2,4]分別是該問題的正解從無窮遠處與平凡解線上產生的分歧區間, 即1)～3)成立.

下面證明定理1.

1) 證明從無窮遠處產生的分歧.

引理4如果Λ是+上的一個緊子區間, 并且則存在R1>0, 使得對任意λ∈Λ有Φλ(u)≠0, ?u∈X, ‖u‖≥R1.

(9)

Lun=μng(t)f(un),

(10)

(11)

由φ∞,φ∞分別是問題(3),(4)對應于λ1(q1),λ1(q2)的非負特征函數, 并且通過分部積分可得

(12)

即

證明: 由引理4, 對于區間Λ=[0,μ], 存在R1>0, 使得當R≥R1時, 有u-τμL-1N(u)≠0,u∈X, ‖u‖≥R,τ∈[0,1]. 從而對任意的R≥R1, deg(Φμ,BR,0)=deg(I,BR,0)=1.

證明: 反設存在序列{un}?X, 使得‖un‖→∞(n→∞), 且當τn≥0時, 有Φλ(un)=τnφ∞, ?n∈, 則

Lun=λN(un)+τnL(φ∞).

(13)

因為在[0,2π]上τnL(φ∞)≥0, 所以對任意的t∈[0,2π]有un>0. 注意到un∈D(L)存在唯一的分解

un=ωn+snφ∞,

(14)

其中sn∈且〈ωn,g(t)φ∞〉=0. 又由于在[0,2π]上un>0, 結合式(14)可得sn>0, 所以

證明: 由引理5可知, 存在R2>0使得Φλ(u)≠τφ∞, ?u∈X, ‖u‖≥R2,τ∈[0,1]. 因此, 對任意的R≥R2, 有deg(Φλ,BR,0)=deg(Φλ-φ∞,BR,0)=0.

證明: 對給定的n∈且令取其中R1,R2分別由推論1和推論2定義. 易驗證對任意的引理2的所有條件均滿足, 因此存在一個閉的連通分支Cn, 并且或者Cn在λ軸的方向上是無界的, 或者存在[c,d]使得(an,bn)∩(c,d)=?, 且Cn在[c,d]×X中是從[c,d]×{∞}處分歧出的. 由引理4可知, 后一種情形不會發生. 因此Cn是從[c,d]×{∞}分歧出的, 且Cn在λ軸的方向上無界. 進一步, 由引理4知, 對任意閉子集集合{u∈X|(λ,u)∈Σ,λ∈I}在X中有界, 所以Cn必為從處分歧出的, 并且Cn在λ軸的方向上無界.

由命題1可知, 定理1中結論1)成立.

2) 證明在平凡解線上產生的分歧.

引理6如果Λ是+上的一個緊子區間, 并且則存在δ1>0, 使得對任意λ∈Λ有Φλ(u)≠0, ?u∈X， 0<‖u‖≤δ1.

(15)

由φ∞,φ∞分別是問題(3),(4)對應于λ1(q1),λ1(q2)的非負特征函數及式(12)可得

證明: 由引理6知, 對于區間Λ=[0,μ], 存在δ1>0使得當0<‖u‖≤δ1時, 有u-τμL-1N(u)≠0,u∈X, 0<‖u‖≤δ1,τ∈[0,1]. 從而對任意的δ∈(0,δ1), deg(Φμ,Bδ,0)=deg(I,Bδ,0)=1.

證明: 反設存在序列{un}?X, 使得‖un‖→0(n→∞), 且當τn≥0時, 有Φλ(un)=τnφ∞, ?n∈, 則式(13)成立. 顯然un>0且un∈D(L)存在唯一的分解式(14), 其中sn∈且〈ωn,g(t)φ∞〉=0. 由于在[0,2π]上un>0, 結合式(14)可得sn>0, 所以

證明: 類似于命題1, 由引理6易證.

由命題2可知, 定理1中的結論2)成立.

3) 證明正解集的全局結構.

引理8如果條件(H1)成立, 則存在λ*>0, 當λ>λ*時, 不存在正解(λ,u)使得Φλ(u)=0.

證明: 假設(λ,u)是Φλ(u)=0的正解, 則問題(2)成立. 由φ∞是問題(4)對應于λ1(q2)的非負特征函數, 并且通過分部積分〈Lu,φ∞〉=〈Lφ∞,u〉可得