球外部區域上含梯度項橢圓邊值問題的徑向解

伏彤彤, 李永祥

(西北師范大學 數學與統計學院, 蘭州 730070)

0 引 言

考慮如下非線性項中含梯度項的橢圓邊值問題:

(1)

徑向解的存在性與唯一性, 其中:Ω={x∈N: |x|>R0},N≥3,R0>0;n為?Ω上的單位外法向量;α,β是常數;J=[R0,∞);+=[0,+∞);K:J→+為系數函數;f:J××+→為非線性函數. 本文假設:

(H1)α,β≥0, 且α+β>0;

(H2)K∈C(J,+), 且當r→+∞時,K(r)=O(1/r2(N-1)), 即?K0, 使得

(H3)f∈C(J××+,), 且對?M>0,f(r,u,η)在J×[-M,M]×[0,M]上一致連續; 對?(u,η)∈×+,f(·,u,η)在J上有界.

目前, 對非線性項f不含梯度項的橢圓邊值問題正徑向解存在性的研究已有許多結果: 文獻[1-5]討論了Dirichlet邊界條件的特殊情形; 文獻[6]在允許非線性項超線性或次線性增長的條件下, 用錐上的不動點指數理論獲得了方程

(2)

正徑向解的存在性結果, 其中f:+→+為連續函數,f(0)=0; 文獻[7-9]討論了含線性梯度項的橢圓型方程

-Δu=f(x,u)+g(|x|)x·u,x∈Ω

(3)

正徑向解的存在性; 對于含非線性梯度項的橢圓邊值問題, 文獻[10]在允許非線性項f(r,u,η)非負且關于u,η超線性增長或次線性增長的情形下, 運用錐上的不動點指數理論獲得了方程(1)正徑向解的存在性結果, 其中f: [R0,∞)××+→+為連續函數.

本文在不假設非線性項f非負的一般情形下, 討論方程(1)徑向解的存在性. 在允許非線性項f(r,u,η)關于u,η超線性增長的情形下, 用Leray-Schauder不動點定理, 給出方程(1)徑向解的存在性結果, 在此基礎上加強條件, 進一步給出該問題徑向解的唯一性結果. 假設非線性項f(r,u,η)關于η滿足Nagumo型增長條件:

(H4) 對?M>0, 存在單調遞增的連續函數GM:+→(0,+∞), 滿足

(4)

使得

|f(r,u,η)|≤GM(η), (r,u,η)∈J×[-M,M]×+.

(5)

1 預備知識

對橢圓邊值問題(1)的徑向對稱解u=u(|x|), 令r=|x|, 則其可轉化為區間J上的常微分邊值問題(BVP):

(6)

(7)

則方程(6)轉化為(0,1]上的奇異常微分邊值問題(BVP):

(8)

其中:

(9)

(10)

(11)

(12)

設h∈CB(0,1]. 為了討論BVP(8), 先考慮BVP(8)相應的奇異線性邊值問題(LBVP):

(13)

引理1對?h∈CB(0,1], 線性邊值問題(13)有唯一解v∶=Sh∈C1(I)∩C2(0,1], 且解算子S:CB(0,1]→C1(I)為線性全連續算子.

引理2對?h∈CB(0,1], 線性邊值問題(13)的解v=Sh滿足下列條件:

2)v′(1)v(1)≤0.

證明： 1) 對?h∈CB(0,1],v=Sh為LBVP(13)的解, 由引理1,v∈C1(I)∩C2(0,1]. 由H?lder不等式有

即結論1)成立.

2) 由邊界條件α1v(1)+β1v′(1)=0知,

(14)

將式(14)中兩式相加, 有

(α1+β1)v′(1)v(1)=-(α1v2(1)+β1v′2(1)).

(15)

因為α1≥0,β1≥0,α1+β1>0, 故由式(15)知,v′(1)v(1)≤0. 即結論2)成立.

證明： 對M>0, 由條件(H4)知, 存在單調遞增的連續函數GM:+→(0,+∞)滿足式(4), 使得f滿足式(5). 由式(4)知, 存在M0>0, 使得

(16)

不妨設v′(t)不恒為0, 則由連續函數的最值定理, ?t1,t2∈I, 使得

由邊界條件v(0)=0,α1v(1)+β1v′(1)=0, 易證v′(t1)≤0,v′(t2)≥0. 因此

t3=sup{t′∈[t1,t2)|v′(t′)=0},

由上確界的定義及連續函數v′(t)的介值性,t3∈[t1,t2), 且

v′(t3)=0;v′(t)>0,t∈(t3,t2].

由方程(8)及式(5), 當t∈[t3,t2]時, 有

因此, 有

(18)

將式(18)兩邊在[t3,t2]上積分, 再對左端做變量替換ρ=g(1)v′(t), 有

(19)

由此及式(16)知,g(1)v′(t2)

證畢.

2 主要結果

假設：

f(r,u,η)u≤cu2+dη2+C0, (r,u,η)∈J××+.

定理1假設條件(H1)～(H3)成立. 若f滿足(H4),(H5), 則橢圓方程(1)有徑向解.

證明： 先證明BVP(8)有解. 對?v∈C1(I)∩C2(0,1], 令

F(v)(t)∶=f(r(t),v(t),g(t)|v′(t)|),t∈I,

則由假設條件(H3),F:C1(I)→CB(0,1]連續, 且把有界集映為有界集. 定義映射A=S°F, 則由引理1,S:CB(0,1]→C1(I)為線性全連續算子, 因此算子A:C1(I)→C1(I)為線性全連續算子. 再由S的定義, BVP(8)的解等價于算子A的不動點. 考慮同倫簇方程

v=λAv, 0<λ<1.

(20)

下面證明方程簇(20)的解集在C1(I)中有界. 設v∈C1(I)∩C2(0,1]為方程簇(20)中某λ∈(0,1)對應的方程的解, 則v=S(λF(v)). 令h=λF(v), 則由S的定義,v=Sh為LBVP(13)的解. 因此,v∈C1(I)∩C2(0,1]滿足方程

(21)

將式(21)兩邊同乘以v(t), 并在I上積分, 由條件(H5)、 式(12)及引理2中1), 有

對式(22)左邊分部積分, 并由引理2中2), 有

于是由式(22), 有

從而

因此, 對?t∈I, 有

故有估計:

(23)

即方程簇的解集在C1(I)中有界. 由Leray-Schauder不動點定理[14]知,A在C1(I)中有不動點, 該不動點為BVP(8)的解. 因此橢圓邊值問題(1)有徑向解. 證畢.

在定理1中, 條件(H5)允許f(r,u,η)關于u,η超線性增長, Nagumo型增長條件(H4)限制f(r,u,η)關于η至多二次增長.

(f(r,u2,η2)-f(r,u1,η1))(u2-u1)≤c(u2-u1)2+d(η2-η1)2.

定理2假設條件(H1)～(H3)成立. 若f滿足(H4),(H6), 則橢圓方程(1)有唯一徑向解.

證明： 對?r∈J, 令u1=η1=0,u2=u,η2=η,C=max{|f(r,0,0)|}+1, 易證(H6) ? (H5). 因此, 由定理1知, BVP(1)至少存在一個徑向解, 從而BVP(8)有解.

設v1,v2∈C1(I)∩C2(0,1]是BVP(8)的兩個解, 令v=v2-v1,h=F(v2)-F(v1), 則

v=v2-v1=Av2-Av1=S(F(v2)-F(v1))=Sh.

因此v∈C1(I)∩C2(0,1]是LBVP(13)的解, 且滿足方程

-v″(t)=a(t)(F(v2)-F(v1)),t∈(0,1],

(24)

將式(24)兩邊同乘以v(t)=v2(t)-v1(t), 由條件(H6), 有

將式(25)兩邊同時在I上積分, 由式(12)及引理2中1), 有

由引理2中2)知,v′(1)v(1)≤0, 因此由式(26), 有

例1設N≥3, 考慮球外部區域Ω={x∈N: |x|>1}上含梯度項的橢圓邊值問題:

(27)

對應于BVP(1),R0=1,α=β=1, 相應的系數函數

(28)

易見f(r,u,η)關于η二次增長, 滿足條件(H4). 下面驗證f(r,u,η)滿足條件(H5).

對?(r,u,η)∈[1,∞)××+, 由式(28), 有

即f(r,u,η)滿足條件(H5). 因此, 由定理1知, 方程(27)有徑向解.