一類四階低曲率方程弱解的存在唯一性

靳曼莉, 郭 麗

(北華大學 數學與統計學院, 吉林 吉林 132013)

0 引 言

四階拋物型偏微分方程在材料科學、 工程學、 生物數學、 圖像處理等領域應用廣泛. 由于四階線性擴散中的高頻振蕩通常比二階擴散中的震蕩衰減速度快, 且四階方程還可以考慮曲率的作用, 因此在圖像處理方面, 四階偏微分方程比二階方程的模擬效果更優.

Cahn-Hilliard方程[1]

通常被用來描述相分離過程中守恒濃度場的演化. You等[2]利用四階方程

ut+2[g(2u)2u]=0

代替文獻[3]中的二階Perona-Malik型方程, 數值模擬結果表明, 該方程能更好地去除圖像噪聲, 保留邊界, 使處理后的圖像更自然. Lysaker等[4]在處理醫學核磁共振圖像時提出了如下四階拋物型方程:

為提高圖像的邊緣檢測并消除噪聲, Wei[5]將邊界提升控制泛函和超擴散算子引入Perona-Malik方程中, 得到了如下模型：

ut=div(d1(u,|u|)u)+div(d2(u,|u|,Δu)Δu)+e(u,|u|).

Bertozzi等[6]考慮四階擴散方程ut+Δ(arctan Δu)=λ(f-u)的Neumann問題, 給出了該方程經典解存在唯一性的充分條件. Wang等[7]討論了二維低曲率方程ut+Δ(arctan Δu)=0弱解的存在唯一性.

本文考慮如下四階拋物型方程的初邊值問題:

(1)

其中:Ω?2是具有光滑邊界?Ω的有界開區域;T是一個正數;p>2. 利用差分和變分的方法, 首先將發展型方程(1)利用差分的形式化為橢圓方程, 證明該橢圓問題解的存在唯一性, 然后證明差分后所得橢圓問題解序列的極限即為原問題的解, 最后應用文獻[8-9]的正則性、 差分和變分法給出問題(1)弱解的存在唯一性證明.

1 主要結果

成立, 則稱函數u(x,t)為問題(1)的弱解.

2 解的存在唯一性

令n為正整數,ε是一個小的正數,h=T/n. 首先考慮如下橢圓問題弱解的存在唯一性:

(3)

首先證明J(v)在V中有極小元u1(x). 因為0∈V, 所以

(4)

又因為

則

于是

對于函數fε(t)=εt+arctant, 有

故

選取φ=u1-v1, 有

由于arctant為上的遞增函數, 則式(5)等號左端的各項均非負, 因此u1=v1在Ω上幾乎處處成立, 從而證明了問題(3)弱解的存在唯一性.

考慮如下拋物型方程的初邊值問題:

(6)

其中ε是固定正數.

(7)

(9)

取φ=Δuk, 則有

于是有

對于h=T/n, 定義如下函數:

(11)

結合式(10)知, 對任意的t∈[0,T], 有

‖uh(x,t)≤‖u0,

故

‖uh(x,t)‖L∞(0,T;L2(Ω))≤‖u0.

(12)

將式(10)中的n個不等式相加, 可得

(13)

(14)

從而

于是

結合式(13)有

(15)

根據式(12)～(15)及Δuh|?Ω=0, 可得

因此可抽取子序列(仍用uh表示), 使得下列結論成立：

于是

(16)

將式(17)對k=1,2,…,n求和, 由uh(x,t)的定義及條件φ(·,T)=φ(·,nh)=0可得

令h→0, 結合上述結論1)～3)及式(16)得

(18)

(19)

因為uε滿足式(18), 所以為了證明uε為式(6)的弱解, 只需證明在ΩT上幾乎處處有ξε=arctan Δuε. 取uε為式(18)的檢驗函數可得

(20)

取uk作為式(9)的檢驗函數可得

(21)

將式(21)對k=1,2,…,n求和, 可得

(22)

由于對任意的ξ,η∈, 有

(arctanξ-arctanη)(ξ-η)≥0,

因此對任意的v∈L2(0,T;H2(Ω)), 有

(23)

于是由式(22)可得

令h→0, 則有

由式(20),(24)知, 對任意的v∈L2(0,T;H2(Ω)), 有

即

故在ΩT上幾乎處處有ξε=arctan Δuε, 從而uε即為問題(6)的弱解, 因此完成了弱解存在性的證明, 且由式(22)可得式(7), 由式(10)可得式(8).

(25)

下面證明定理1. 由定理3知

令ε→0, 根據文獻[10]得

(27)

在式(18)中令ε→0, 可得

(28)

(29)

(30)

令ωε=Δuε, 由||ωε||≤|ωε|, 得

(31)

此外, 對任意的δ>0有不等式

(32)

在不等式(32)中取t=vε和δ=C1‖vε‖L2(ΩT), 可得

又因為

故有

(33)

由u滿足式(28)知, 要證明u為問題(1)的弱解, 只需證明在ΩT上幾乎處處有ξ=arctan Δu. 取u作為式(28)的檢驗函數且令h→0, 可得

(34)

令ε→0且注意到

可得

結合式(34)知

故在ΩT上幾乎處處有ξ=arctan Δu. 從而證明了u為問題(1)的弱解.

(35)