一類耦合半線性擴散方程組的Fujita臨界曲線

周 倩, 那 楊, 高 冬

(1. 吉林大學 數學學院, 長春 130012; 2. 長春工業大學 數學與統計學院, 長春 130012;3. 吉林大學 計算機科學與技術學院, 長春 130012)

0 引 言

考慮如下耦合半線性擴散方程組Cauchy問題解的整體存在與爆破性質:

(4)

(5)

且當-n<κ1,κ2≤+∞時,b1,b2滿足

κ0=inf{s(s+1)b1(s),s(s+1)b2(s):s>0}>-n.

(6)

本文給出問題(1)-(3)的Fujita臨界曲線, 并建立Fujita型定理.

Fujita[1]研究了如下半線性熱傳導方程的Cauchy問題:

結果表明, 反應項指數p對上述問題解的性質會產生直接影響: 當1pc=1+2/n時, 上述問題既存在非負非平凡整體解又存在非負爆破解.pc稱為Fujita臨界指標, 上述結論稱為Fujita型定理, Fujita型定理可以刻畫解的整體存在與爆破性質. 目前, 關于Fujita型定理的研究已取得了許多成果[2-25], 對于許多不同區域上、 不同類型的發展方程(組)都得到了Fujita臨界指標(曲線), 并建立了Fujita型定理. 研究表明, Fujita臨界指標(曲線)不僅受反應項指數的影響, 對流項、 擴散項、 邊界項、 空間維數、 區域形狀等因素都對Fujita臨界指標(曲線)產生影響. 文獻[20]研究了問題(1)-(3)當λ2=λ1,b2=b1時的特殊情形, 證明了問題的Fujita臨界曲線為

易見Fujita臨界曲線關于λ1是單調遞增的, 關于κ1是單調遞減的, 并在κ1=+∞處退化為1. 表明反應項和一階項對解的長時間行為均會產生直接影響. 本文研究更一般的問題(1)-(3), 證明問題(1)-(3)的Fujita臨界曲線與空間維數κ1,κ2,λ1,λ2有關, 表達式為

(7)

這里并未給出min{κ1,κ2}≤-n

本文用加權能量積分比較方法證明問題(1)-(3)解的爆破性質, 通過構造恰當的自相似上解, 再結合比較原理證明解的整體存在性. 與文獻[20]相比, 本文的難點在于方程組(1)-(2)中一階項系數和反應項系數都是不一致的. 因此, 不能像文獻[20]一樣選擇相差常數的同類型權函數, 而需要根據不同的系數尋找不同類型的權函數, 再通過適當地伸縮使兩個解的能量積分處于同一增長階, 并且本文需要比文獻[20]中更細致的積分估計來計算擴散項、 一階項和反應項之間的能量關系. 此外, 方程組(1)-(2)的兩個對流項系數和反應項系數各不相同, 使得問題(1)-(3)的自相似上解具有更復雜的結構和更細致的運算.

1 輔助引理

引理1設p,q>1,λ1,λ2≥0,b1,b2∈C1([0,+∞))滿足式(4),(5), -n<κ1,κ2<+∞或-∞≤κ1,κ2≤-n, (u,v)是問題(1)-(3)的一個整體解. 則存在僅依賴于n,b1,b2的常數R0>0,δ>0,M0>0, 使得對任意的R>R0, 都有

這里

證明： 易驗證φR,ψR∈C1([0,+∞))∩C2((0,R)∪(R,δR)∪(δR,+∞)). 在式(1),(2)兩端分別乘以φR,ψR, 然后在n上分部積分得

直接計算可知, 當0<|x|

當R<|x|<δR時, 有

下面假設-n<κ1,κ2<+∞. 由式(4)及-n<κ1<+∞可知, 存在R1>0, 使得

0R1.

(16)

其中M1=(δ1-1)-2π2. 同理由式(5)和-n<κ2<+∞可知, 存在R2>0, 使得

0R2.

(18)

其中M2=(δ2-1)-2π2. 令M0=max{M1,M2},R0=max{R1,R2}, 則將式(12),(17)代入式(10), 即可得式(8), 而將式(13),(19)代入式(11)即證明了式(9). 對于-∞≤κ1,κ2≤-n的情形可類似證明. 證畢.

下面構造方程組(1)-(2)具有如下形式的自相似上解:

u(x,t)=(t+τ)-αU[(t+τ)-1/2(|x|+1)],x∈n,t≥0,

(20)

v(x,t)=(t+τ)-βV[(t+τ)-1/2(|x|+1)],x∈n,t≥0,

(21)

則由式(20)和式(21)定義的(u,v)是方程組(1)-(2)的一個上解.

引理2設p,q>1,λ1,λ2>0,b1,b2∈C1([0,+∞))滿足式(4)～(6), -n<κ1,κ2≤+∞. 令

U(r)=εe-A(r),V(r)=εe-B(r),r≥0,

(24)

其中:ε>0,A,B∈C1([0,+∞))滿足A(0)=B(0)=0, 并且

這里0

并且-n<κ3<κ4<κ1, -n<κ5<κ6<κ2滿足κ3,κ5<κ0,

(n+κ4)[pq+(pq)c-2]>2(p+1)+λ1+λ2p,

(n+κ6)[pq+(pq)c-2]>2(q+1)+λ2+λ1q.

則當pq>(pq)c時, 存在00,ε>0, 使得由式(20),(21),(24)定義的(u,v)是方程組(1)-(2)的一個上解.

證明： 易驗證U,V∈C1,1([0,+∞)). 對于00, 有

因此, 存在0

由A的定義可知,

由B的定義可知,

因此, 存在0

當r>l時, 通過計算可知,

同理, 當r>l時, 有

對固定的00, 使得對于r>l2,t>0, 都有

由式(26)～(32)可知, 對于r∈(0,l2)∪(l2,l)∪(l,+∞),t>0, 有

由A,B的定義得

選取充分小的ε1,ε2>0, 使得

于是, 根據式(33),(34)可知, 對于r∈(0,l2)∪(l2,l)∪(l,+∞),t>0, 式(22),(33)成立. 因此, 由式(20),(21),(24)定義的(u,v)是方程組(1)-(2)的一個上解. 證畢.

2 Fujita型定理

由拋物型方程組的經典理論可知, 問題(1)-(3)存在唯一的局部解且比較原理成立. 下面建立問題(1)-(3)的Fujita型定理.

定理1設p,q>1,λ1,λ2≥0,b1,b2∈C1([0,+∞))滿足式(4)～(6), -n<κ1,κ2<+∞或-∞≤κ1,κ2≤-n, 且當-n<κ1,κ2<+∞時,

證明： 只證明-n<κ1,κ2<+∞的情形, 當-∞≤κ1,κ2≤-n時可類似證明. 設(u,v)是問題(1)-(3)的一個整體解. 根據-n<κ1,κ2<+∞和pq<(pq)c可知,

(35)

(36)

其中:χ[0,δR]是區間[0,δR]上的示性函數;M3,M4>0是不依賴R的常數.

本文只給出[(2+λ1)+p(2+λ2)]/(n+κ1)>[(2+λ2)+q(2+λ1)](n+κ2)的證明, 其他情形的證明類似. 定義

其中

根據引理1可知, 對于任意R>max{R0,R5}, 有

利用H?lder不等式和式(37)可得,

其中M1>0是不依賴R的常數. 即

(40)

同理, 利用H?lder不等式和式(38)可得

(41)

將式(40),(41)代入式(39)得

由θ的定義可知

將式(43)代入式(42)可得

(45)

則根據式(44),(45)可知, 對于任意的R>max{R0,R5,R6}, 有

由于p,q>1, 故存在T*>0, 使得

因此, (u,v)一定在有限時刻爆破. 證畢.

定理2設p,q>1,λ1,λ2≥0,b1,b2∈C1([0,+∞))滿足式(4)～(6), -n<κ1,κ2≤+∞. 則當pq>(pq)c時, 問題(1)-(3)既存在爆破解也存在非平凡整體解.

證明： 由引理2和比較原理可直接得問題(1)-(3)在小初值時存在非平凡整體解. 下面討論問題(1)-(3)解的爆破性質.

對于固定的R>R0, 定義

其中(u,v)是問題(1)-(3)的解. 利用引理1和H?lder不等式可知,

其中

是僅依賴于n,δ,p,q,R的正常數. 當(u0,v0)足夠大時,

則由式(46)可知

再根據定理1最后的證明可知, (u,v)一定在有限時刻爆破. 證畢.