微透鏡陣列的慢刀伺服加工表面粗糙度預測模型

林澤欽 陳新度 顏志濤 孫豪

摘?要：建立了超精密加工微透鏡陣列的表面形貌預測模型?；谇邢鲄?、刀具幾何參數、微透鏡陣列的幾何結構，分析了加工的軌跡規劃;模型中考慮了刀具與工件之間三維方向相對振動的影響，仿真出加工的表面形貌和粗糙度。通過仿真模型的計算，分析了切削參數、透鏡幾何參數對微透鏡陣列表面形貌及粗糙度的影響。

關鍵詞：微透鏡陣列;慢伺服加工;軌跡生成;振動;表面預測

DOI：10.15938/j.jhust.2020.03.013

中圖分類號：?TH161.1

文獻標志碼：?A

文章編號：?1007-2683（2020）03-0083-05

Abstract：A?prediction?model?for?the?surface?topography?generation?in?the?ultra-precision?machining?of?microlens?arrays?is?established.?The?tool?path?generation?is?analyzed?based?on?the?cutting?parameters，?tool?geometry?parameters?and?geometry?of?microlens?array.?The?tool-work?vibrations?in?three?dimensional?directions?are?considered?in?the?model?to?simulate?the?surface?topography?and?predict?the?roughness.?The?influence?of?cutting?parameters?and?lens?geometric?parameters?on?the?surface?topography?and?roughness?of?microlens?array?is?studied?through?the?simulation?model.

Keywords：microlens?array;?slow?tool?servo?cutting;?tool?path?generation;?vibration;?surface?prediction

0?引?言

在現代光學系統中，微結構陣列表面得到廣泛應用，包括微透鏡陣列、微棱鏡陣列、微柱面槽、正弦波微槽、微?V?形槽等在內的微結構光學元件具有體積小、質量輕、集成度高、造價低等優點，能實現特定的光學功能，提高光學系統的性能，精簡系統的結構[1-3]。其中，微透鏡陣列光學元件廣泛應用在均勻照明、光束聚能及整形、光學波前檢測、光場相機等光學系統中。

針對微透鏡陣列元件的生產制造，精密加工技術提供了整體一次加工的實現方法[4]，不需要拋光等后續加工就可以使加工精度達到亞微米級的形狀精度和納米級的表面光潔度。其中，超精密車削加工有快刀伺服（fast?tool?servo，?FTS）車削和慢刀伺服（slow?tool?servo，?STS）車削技術?？斓端欧囅骷夹g中使用了由壓電陶瓷、音圈電機等元件驅動的輔助刀架，進行高頻的快速精密進刀運動，實現復雜面形的加工，但大多數快刀裝置行程有限，一般小于1mm，且驅動元件的滯后問題會造成跟蹤性能下降，主軸位置估計誤差會引起加工輪廓混淆[5]。慢刀伺服車削技術是在超精密加工機床上使用主軸的精密位置伺服控制模式（C軸模式），采用C、X、Z三軸聯動方式進行加工，不需要額外的刀具驅動裝置，廣泛應用于復雜曲面的加工。使用慢刀伺服技術車削微透鏡陣列，其加工的表面形貌和粗糙度與加工過程中的多個因素相關，比如刀具幾何尺寸、加工參數、加工面幾何參數、刀具路徑規劃、主軸回轉誤差、材料特性、刀具與工件之間的振動、刀具磨損等等。國內外有多個團隊對上述因素進行了研究，并提出相關預測模型[6-8]。

本文研究了慢刀伺服加工微透鏡陣列的刀具切削軌跡規劃過程，考慮加工參數、刀具幾何參數、透鏡陣列幾何參數，以及刀具與工件在三維方向的振動等因素的影響，提出微透鏡陣列慢刀伺服加工的表面預測模型。

1?微透鏡陣列超精密加工的軌跡規劃

利用超精密加工機床CXZ軸的精密位置聯動控制功能，慢刀伺服車削可實現微透鏡陣列的加工。在加工過程中，刀具相對于工件的加工軌跡在XY平面的投影是螺旋線（圖2），機床的Z軸則根據微透鏡陣列的幾何面形以及C軸反饋的位置信號，帶動刀具進行進刀切削運動。在進行加工前，需要根據微透鏡陣列的幾何面形、刀具幾何尺寸、加工參數等規劃加工切削的軌跡，生成CXZ三軸的聯動加工代碼。

1.1?切削軌跡生成

以主軸的換轉中心點為原點構建極坐標系，在極坐標系下的慢刀伺服切削的軌跡可用下式表達：

式中：n為主軸轉速（r/min）;Rw為加工工件尺寸（mm）;F為X軸的進給速度（mm/min）;t為加工時間（s）;q和r分別是刀心位置點在極坐標系下的極角和極半徑;h為對應點的Z向高度。在極坐標系下對切削軌跡進行等角度的離散化劃分，劃分后的離散點（圖2）坐標為（θ，r，h），分別對應機床的CXZ軸位置坐標，可用于生成加工代碼。通過求解方程組（1）可以計算每個徑向截面上的離散點的坐標值，其中，式h=f（θ，r）由微透鏡陣列的面形決定，也和刀具圓弧半徑的補償相關。

1.2?刀尖半徑補償

在時刻t=tP時，刀具對應工件表面的加工點為P（θ（tP），r（tP），h（tP）），結合刀尖圓弧半徑Rt進行刀尖圓弧半徑補償，可計算出刀具的刀心位置tP（θ（tP），r（tP），hT（tP））。

刀尖圓弧半徑補償的方法有2種，一種是沿輪廓法線方向的補償，另一種是沿Z軸方向的補償。法線方向的補償即刀具沿著當前工件加工點所在曲線的法線方向偏置距離Rt，這在實際加工中需要機床的X軸和Z軸聯動以實現這個補償偏置量。因此，X軸除了完成進給運動外，需要有額外的微小移動，而由于一般機床X軸上安裝有主軸、Y軸結構，負載重量大，動態性能差，采用這種補償方式會限制加工的速度。本研究采用了Z軸方向的補償方法，在加工過程中X軸保持固定的進給速度，刀具通過Z軸方向的偏置使得刀尖圓弧與工件表面相切（圖3），Z軸偏置量與輪廓上該點的曲率半徑有關，刀尖觸點Pcut的連線在XY平面的投影則不是標準的螺旋線。采用這種補償方式，偏置補償運動由Z軸實現，而Z軸負載較小、動態響應能力相對較高，加工的穩定性更高。設工件截面輪廓為LP，補償后的刀路軌跡Lt可表示如下：

式中：nP為與曲線各點曲率半徑相關的偏置系數。

以各單元形狀為球面的微透鏡陣列為例，刀尖圓弧半徑補償如圖3所示。假設微透鏡陣列的球面單元的球半徑為RQ，單元深度為hQ，刀尖圓弧半徑為R。以微透鏡陣列的基面為參考面（基面處h=0），進行Z軸方向的刀尖半徑補償后，微透鏡陣列表面上任意點P對應的刀心位置表示為PT（θ（tP），r（tP），hT（tP）），可由式（3）計算刀路軌跡（圖4）。

2?振動對切削軌跡的影響

在超精密加工中，刀尖與工件存在著小幅值的低頻振動，是影響加工形貌和粗糙度的重要因素。刀尖與工件之間的振動是由機床振動、主軸跳動等因素綜合影響的結果，可以分解到機床的XYZ三個方向上，而每個方向的振動分量可近似為簡諧振動[6]，如式（4）所示，其中ax，ay，az分別表示3個振動分量的振幅，fx，fy，fz表示振動的頻率，φx，φy，φz表示振動的初始相位，為了便于計算說明，本文假定初始相位均為0。

XYZ方向的振動不僅會造成實際切削點的偏移，也會改變切削深度，最終影響工件表面的形貌和粗糙度。不少學者對振動的影響進行了影響[6-7，10]，然而其研究并沒有綜合分析3個方向的振動分量對陣列表面影響。

圖5描述了XY方向振動分量對切削軌跡（在XY平面的投影）的影響。在極坐標系中，X方向的振動改變了軌跡上的點的極半徑值，在振動影響下，理想的軌跡點A偏移到了A'處;而Y方向的振動造成軌跡上點的極角度和極半徑的變化，在主軸旋轉了θ角度后，刀心位置/應該由B點轉移到C點，但振動的影響改變了C點的位置，實際的刀心點偏置到了C'。而Z方向的振動分量則影響刀尖與工件的距離，使得實際切削深度發生變化。振動導致的偏移量可用式（5）表示。

振動因素導致了切削軌跡的偏移，在加工微透鏡陣列過程中，實際軌跡表達式為式（6）。為求解實際的軌跡坐標點（θi（ti），ri（ti），hTi（ti）），在極坐標下按照等角度間隔Δθ做軌跡離散化，聯合式（6）求解每個角度截面上的軌跡點對應的時間ti序列，進而求解出ti序列的軌跡坐標值。

以2×2的球面單元微透鏡陣列為例，考慮了刀具半徑補償（假設刀尖半徑R=0.5mm）及振動因素后的切削軌跡如圖6所示，為了更好體現振動的影響，圖中仿真的加工每轉進給量、振動幅值均作了放大處理。

3?表面形貌生成

超精密車削的表面輪廓可以看作是刀具輪廓以進間隔連續運動掃掠而成[6]，工件上每個徑向截面的輪廓是由刀刃輪廓交點以及最小輪廓邊組成，根據刀心的位置可計算出工件表面各個點的殘留高度值圖3。使用同樣的切削參數，即每轉進給量f不變，在加工不同球半徑（曲率）的透鏡得到的殘留高度hc是不相同的，這在后續的仿真實驗中進行了驗證。

為計算殘留高度值，如圖7所示，對工件表面按照等角度間隔Δθ劃分徑向截面，每個截面沿徑向按照等間距Δr劃分，形成網格并計算各個網格節點的坐標值。截面上的輪廓由該截面上加工軌跡點的位置決定，各節點的殘留高度值?hSPcut可按照下式計算。

基于工件表面網格節點的坐標數據，可以擬合仿真出加工表面的形貌，按照式（8），可以計算出工件表面的粗糙度值Ra，其中NS表示表面離散網格節點的總數。

4?仿真分析

本文使用Matlab軟件進行模型仿真，圖8為微透鏡陣列的仿真加工表面形貌，仿真參數見表1。

在建立了仿真模型后，本文研究了透鏡尺寸、切削參數對加工結果的影響，使用模型計算了不同參數下的仿真預測結果見圖9～10，仿真中除了對比的仿真參數取不同數值外，其它參數均與表1數據相同。

如圖9所示，在一定范圍內，隨著透鏡球半徑的增大，微透鏡單元的平均粗糙度值逐漸減小。這是由于在主軸轉速和進給量都保持不變時，加工的每轉進給量f恒定，根據本文提出的刀具圓弧半徑補償方法可知，當透鏡單元的球半徑增大，同一徑向界面上相鄰刀心在工件半徑方向的距離不變，而在Z方向上的距離減小，從而使得加工表面的殘留高度

hc和粗糙度Ra都減少。但從圖9數據可見，當透鏡單元球半徑增大到15mm后，球半徑對粗糙度的影響已經很小。圖10數據說明了當主軸轉速恒定，隨著進給速度提高（每轉進給量增大），透鏡單元的平均粗糙度也逐漸增大。且針對固定球半徑大小的微透鏡陣列，隨著進給速度的增大，其對粗糙度的影響也增大。

綜上分析，在使用慢刀伺服加工球半徑值較小的透鏡陣列時，設置較小的進給速度值，有利于減少粗糙度。而當進給速度足夠小時，繼續減少進給速度對提高表面質量所起的效果不大，反而降低了加工效率。使用本文模型，可以在加工前進行仿真分析，選取優選的加工參數。

5?結?論

本文分析了超精密車削加工微透鏡陣列的加工軌跡規劃方法，研究了加工參數、透鏡陣列的幾何參數、刀具尺寸，以及刀具與工件之間的振動對微透鏡陣列加工形貌和粗糙度的影響，并提出了微透鏡陣列表面形貌生成的仿真與粗糙度的預測模型。通過該模型的仿真分析，研究了不同的透鏡球半徑、加工刀具的進給速度對微透鏡單元表面粗糙度的影響。

從仿真結果可見，保持其他參數恒定，子透鏡的球半徑越大，子透鏡的粗糙度越小;而主軸轉速恒定，隨著進給速度提高，加工后的粗糙度增大。

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（編輯：王?萍）