有效數字的“有效”解讀

孫海源

摘要：實驗學科中，實驗數據的記錄與處理有著非常重要的作用。在記錄與處理實驗數據時，常會遇到有效數字相關的問題。教學“化學實驗數據的處理”時，可從有效數字的作用、位數確定方法、運算規則等方面，“有效”解讀有效數字。

關鍵詞：有效數字 實驗數據處理 運算規則

實驗學科中，實驗數據的記錄與處理有著非常重要的作用。在記錄與處理實驗數據時，常會遇到與有效數字相關的問題。有效數字是指實際能夠測量到的數字，包括最后一位估計的、不確定的數字。我們把通過直讀獲得的準確數字稱為可靠數字，把通過估讀得到的數字稱為存疑數字，把測量結果中能夠反映被測量大小的帶有一位存疑數字的全部數字稱為有效數字。

筆者在教學“化學實驗數據的處理”時，重點突出了對有效數字的解讀：首先，引導學生認識有效數字的重要性，探討“處理數據時，不考慮有效數字會出現什么結果”;接著，建構有效數字位數確定的方法，幫助學生深刻理解有效數字的定義;最后，分析有效數字的運算規則，促進學生形成對有效數字的全面認知。具體教學過程如下：

一、認識有效數字的重要性

教師出示如下信息：

己烷（C6H14）存在5種同分異構體，均為液體，其結構與密度數據如下頁表1所示?，F有一瓶己烷液體，沒有標出是哪種同分異構體。同學A用測量密度的方式確定其成分：用量筒量取了5.0 mL的該液體，使用分析天平稱量出其質量為3.2745 g。

并提問：

根據信息中的數據，該液體密度d=mV=3.2745 g5.0 mL=0.6549 g/mL，所以是3號液體，對嗎？

大部分學生認同這一觀點，但仍有一些學生提出了質疑：這個數據看起來好像跟1號液體的密度也很接近，萬一是數據不夠精確導致的呢？萬一該液體的體積不是剛剛好5.0 mL或者質量不是剛剛好3.2745 g呢？因為確實存在不同的學生在讀取同樣的位于量筒中的水的體積時得到的數據不一致的情況。學生自然討論起來：“該液體的體積V與質量m均不是準確的數值，而是存在一定誤差的。這個誤差可能是讀數引起的，也可能跟儀器本身的精度有關?！薄癡=5.0 mL，代表其體積可能正好是5.0 mL，也可能是5.1 mL，或者4.9 mL，即5 mL左右?！薄癡=5.0 mL中最后一位的‘0是不準確的，存在一定的誤差;同樣的，質量m=3.2745 g中的最后一位數字‘5也是不準確的?！?/p>

對此，教師引導：為了方便分析，我們不妨假設體積和質量均在最后一位產生“1”的誤差，即體積V的真值范圍是（5.0±0.1）mL，質量m的真值范圍是（3.2745±0.0001）g。

學生據此計算得到該液體的密度范圍，即密度的最小值dmin=（3.2745-0.0001） g（5.0+0.1） mL=0.6420 g/mL，最大值dmax=（3.2745+0.0001） g（5.0-0.1） mL=0.6683 g/mL。

可以看到，該液體的密度（單位：g/mL）在0.6420到0.6683之間，也就是說，該液體的密度在小數點后第2位就已經不準確了。那么，一開始計算得到的“準確值”0.6549也就不是準確值了，在第2位的“5”上面就已經有變化了，0.6549可能是0.6420，也可能是0.6683。既然這樣，還有必要把該液體的密度寫這么多位嗎？既然0.6549中的“5”已經不準確了，后面的“49”還有意義嗎？這么一討論，學生會發現：原來只能保證計算數據中的“0.6”部分是確定的，而小數點后面第2位的“5”就已經存在不確定性了，那么計算時只需要保留到這一位就可以了，即d=mV=3.2745 g5.0 mL=0.65g/mL。顯然，這個計算結果無法確定該液體的類型。

順著這個思路，學生發現，之所以不能確定結果，是因為測量太粗糙了，尤其是使用量筒來測量體積，誤差太大了。教師順勢提問：那么，如果我們能夠把體積測量得更加精確呢？假如同學B此時選用帶刻度的移液管測量該液體體積，得到的體積數據為V=4.93 mL，其誤差也產生在最后一位，同樣為±0.01，此時我們能夠確定該液體是幾號液體嗎？

經過與上面類似的計算過程，得到d=mV=3.2745 g4.93 mL=0.6642 g/mL，dmin=（3.2745-0.0001） g（4.93+0.01） mL=0.6628 g/mL，dmax=（3.2745+0.0001） g（4.93-0.01） mL=0.6656 g/mL。

這時，學生發現，能夠保證準確的數據多了一位，而不確定的數據則是小數點后第3位及以后的數。對比表1中的密度數據，學生發現，該液體是5號液體。此時，有效數字的“效”就顯現出來了——其對于實驗結果的確定十分重要。

二、建構有效數字位數確定的方法

在教學過程中，細心的學生發現：密度計算結果中不確定數字的位置與體積、質量測量結果中不確定數字的位置是相關的。為了驗證這一點，教師引導學生將體積測量值的有效數字推廣到更多的位數（其計算結果如表2所示）。

那么，可以使用什么方式描述這種位置？有學生指出：可以使用小數點后第幾位的描述方式。但是，稍加討論就發現，這種方式好像不那么“正確”，因為如果把體積的單位調整為L，密度的單位相應地變為g/L，會有如表3所示的結果。因此，學生發現，使用該數據位于非零數字后面的位數更加合適。這樣的討論過程其實就是建構有效數字定義的過程。

三、分析有效數字的運算規則

更進一步地，學生把三個物理量數據的有效數字位數統計出來（如表4）后發現，有效數字在進行除法運算時似乎遵循如下規則：當體積的有效數字位數小于質量的有效數字位數時，密度的有效數字位數與體積的有效數字位數相等;當體積的有效數字位數等于或者大于質量的有效數字位數時，密度的有效數字位數就保持在質量的有效數字位數，即兩個數據相除，商的有效數字的位數似乎取決于有效數字位數較少的那個數據。