例談中位線的典型應用

于志洪

一、證明兩角相等

例1 如圖l，已知四邊形ABCD中，AB=CD，M，N分別是AD，BC的中點，延長BA，NM，CD，分別交于點E.F試證明∠BEN= ∠NFC.

證明：如圖2，連接BD.取肋的中點H，連接MH，NH.

根據三角形中位線的性質，有MH∥AB，MH=1/2AB;NH∥CD，NH=1/2 CD.

所以∠BEN= ∠HMN、∠NFC= ∠HNM.又由AB=CD，可得MH=NH，所以∠HMN=∠HNM、故∠BEN=∠NFC.

點評：本題中的輔助線具有很強的技巧性，先把四邊形分成兩個三角形，再構造中位線.像這種利用過渡線段作中位線的方法常常見到，要加以重視.

二 證明兩線段相等

例2 如圖3，已知D是△ABC的BC邊的中點.E，F是AC邊上的兩點，且AB=CE，AF=EFDF的延長線交BA的延長線于G.求證：AF=AG.

證明：如圖4，連接BE.取BE的中點H，連接HD，HF.

則HD∥CE，且HD= 1/2CE;HF∥AB，且HF=1/2AB..

因AB=CE，故HF=HD，∠2=∠3.

又易知∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠1=∠4，AF=AG.

點評：當題設中有線段中點的條件時，常設法構造三角形中位線，以便利用三角形中位線定理，

三 證明線段的倍分關系

例3 如圖5，AE為正方形ABCD中∠BAC的平分線.AE分別交BD，BC于F，EAC，肋相交于點O，求證：OF=1/2CE.

點評：本題還可用過O點作AE的平行線，過C點作OF或AE的平行線等方法證明.

四 證明兩線段互相平分

例4 如圖7，在四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，CD，AC，BD的中點，并且E，F，G，H不在同一條直線上，求證：EF，GH互相平分，

分析：要證EF和GH互相平分，根據圖形只要證明四邊形EGFH是平行四邊形即可.而E，F，G，H分別為四邊的中點，可以結合三角形的中位線定理證得EG∥BC∥HF，且EG=1/2BC=HF.

證明：略，