薄壁截錐殼畸變相似關系的確定方法

孟強強，李 昊，王 宇，楊志宏，夏 鑫，于曉光

（遼寧科技大學 機械工程與自動化學院，遼寧 鞍山 114051）

薄壁截錐殼具有結構簡單、質量輕和抗彎扭剛度大等優點，廣泛應用于航空航天等領域。但因工作環境惡劣，薄壁截錐殼構件易產生共振和失穩等現象，極大影響殼體構件的可靠性和疲勞壽命，構件的振動是亟待解決的關鍵問題。在實際工程中，如果直接采用原型進行試驗，難度大、成本高。因此，通常采用動力學相似模型預測薄壁截錐殼的固有特性。

Simitses等［1］研究兩個結構體系相似條件，在模型與原型比例相差不大情況下，建立了模型與其原型之間的相似關系。Rosa等［2］對薄壁圓柱殼動態響應進行完全相似和不完全相似分析。施傲等［3］以飛行器的薄壁空腔結構為研究對象，利用量綱分析法獲得完全相似模型和厚度畸變相似模型的固有特性，并結合數值仿真驗證了相似關系的準確性。陳喆等［4］基于π定理和有限元理論，推導薄板原型和模型之間的幾何相似關系，并通過實驗驗證動力學相似關系的可行性，但沒有對畸變相似進行說明。羅忠等［5］以薄壁圓錐殼為研究對象，提出一種基于最小二乘法確定畸變模型相似關系式的方法，并通過實驗驗證其準確性。俞孟薩等［6］對受激振動的加肋圓柱殼模型進行實驗，驗證了有限元法和邊界元法提出的理論相似關系。王國力等［7］利用能量守恒原理得到復合錐殼的低階固有頻率，提出動力學相似模型設計方法，并通過算例驗證了該設計方法的可行性。王海等［8］分析組合型轉子的畸變相似問題，基于方程分析法得到畸變模型與原型之間的相似關系式，并通過有限元軟件進行模態分析，驗證相似關系式的準確性。王艾倫等［9］同樣基于方程分析法研究轉子原型與畸變模型之間的相似關系式，發現其畸變模型的固有頻率隨畸變因子的增大而減小，表明畸變因子選取的重要性。

綜上所述，對于薄板、殼等結構相似性的研究較多，對薄壁截錐殼動力學相似的研究目前較少。本文基于Love殼體理論，針對薄壁截錐殼構件，通過幾何參數敏感性分析，推導薄壁截錐殼畸變相似關系，從而利用畸變模型獲得原型構件的固有特性，為航空航天中大型薄壁錐殼相似模型設計提供有價值的參考。

1 結構模型

薄壁截錐殼的幾何模型如圖1所示。以薄壁截錐殼一個端面上的圓心為坐標原點，建立柱坐標系。母線長L=0.6 m，厚度H=0.01 m，殼體大端中面半徑R2=1 m，半錐角α=30°，薄壁截錐殼上任一點位置為R=R2-sinα。坐標s、θ、z分別代表母線方向、圓周方向和中面法線方向，相對應的位移分別為u、v、w。

材料的密度ρ=4 420 m3/kg，彈性模量E=110.32 GPa，泊松比μ=0.3。

圖1 薄壁截錐殼理論模型Fig.1 Theoretical model of thin-walled truncated conical shell

2 動力學方程

依據Love殼體理論得到薄壁截錐殼振動微分方程為［10］

式中：Ms、Mθ和Msθ分別為中面上單位長度的彎矩和扭矩。

薄壁截錐殼的薄膜力和薄膜剪切力表達式為

彎矩和扭矩表達式為

式中：D為彎曲剛度；K為薄膜剛度；μ為泊松比。

薄壁截錐殼的振動位移可以寫成

式中：m和n分別為薄壁截錐殼的軸向半波數和周向波數；ωmn為薄壁截錐殼的固有頻率；Um(s)、Vm(s)、Wm(s)表示s、θ、z方向上的振型函數。

3 畸變相似關系的建立

3.1 待選相似關系推導

設相似因子為λx=xp/xm，x是薄壁截錐殼的任意參數，其中m代表模型，p代表原型。對于幾何尺寸完全相似的薄壁截錐殼，則有λH=λR=λL=λ。將式（2）、式（3）和式（4）代入到式（1），可得薄壁截錐殼的動力學平衡方程

式中：λρ和λω表示密度相似因子、固有頻率相似因子；λK和λD表示薄膜剛度相似因子和彎曲剛度相似因子；λL、λH和λR表示長度相似因子、厚度相似因子和半徑相似因子。

薄膜剛度和彎曲剛度相似因子表達式

在畸變相似條件下，可知λL≠λR≠λH，將式（7）代入式（6），得到薄壁截錐殼的待選相似關系

待選畸變相似關系可以統一表示為

式中：δ，β，γ分別稱為相似因子λL，λR，λH的權重，δ+β-γ=1。

3.2 敏感性與相似性聯系

敏感性是指結構振動系統中，結構特征參數（特征值λ和特征矢量Φ）對結構參數p（質量、剛度、阻尼、結構參數）的改變率，即?λ/?p，也稱為特征敏感性［11］。

為建立薄壁截錐殼的畸變相似關系式，進行原型母線長度、半徑和厚度對固有頻率敏感性分析。因為相似因子敏感性比值可作為其在相似關系中權重比值［12］，所以依據分析結果求出相似因子的權重比就可以確定畸變相似關系式。

對于薄壁截錐殼，當長度L、半徑R、厚度H在極限范圍內變化λL，p-t，λR，p-t，λH，p-t∈[1-ε，1+ε]，ε為無窮小數，模型相似關系分別為

式中：λJ，p-t(J=L，H，R)表示參數J的原型與過渡模型間的相似關系；ωp表示原型固有頻率；ωK，t(K=L，H，R)表示參數K改變時，過渡模型的固有頻率；λω，t(M)(M=L，H，R)表示參數M改變時，過渡模型的固有頻率相似因子。

長度L和半徑R及厚度H對固有頻率的敏感性分別為

因此，可得

將式（10）帶入到式（12）中，得

當相似因子在極限范圍內變化時，即λR，p-t→1，λL，p-t→1，λH，p-t→1，可得

式（13）可寫為

當相似因子在小范圍內變化時，可得

3.3 幾何參數敏感性分析

以分析薄壁截錐殼在簡支-簡支邊界條件下第1階固有特性的敏感性為例，原型的幾何參數和材料參數和前文相同。

為得到母線長度L對薄壁截錐殼第1階固有頻率的敏感性，需保證材料參數和幾何尺寸厚度H、半徑R與原型保持一致，選擇4個畸變相似模型，母線長度相似因子為0.96，0.98，1.02，1.04，通過有限元仿真分析得到母線長度L畸變對應的第1階固有頻率ωm，如表1所示。

采用完全相同的方法對厚度H和半徑R進行敏感性分析，得到第1階固有頻率ωm，如表2和表3所示。

將不同幾何參數模型的第1階固有頻率值擬合成如圖2所示曲線，其擬合方程式分別為

表1 母線長度L畸變相似模型第1階固有頻率，HzTab.1 First order natural frequencies of bus length L distortion similarity model，Hz

表2 厚度H畸變相似模型第1階固有頻率，HzTab.2 First order natural frequencies of thickness H distortion similarity model，Hz

表3 半徑R畸變相似模型第1階固有頻率，HzTab.3 First order natural frequency of radius R distortion similarity model，Hz

圖2 各參數畸變相似模型第1階固有頻率擬合曲線Fig.2 First order natural frequencies fitting curve of different parameters distortion similarity model

式中：k為多項式擬合階數；n為擬合點的個數；Yi為真實值為擬合值為平均值。

將有限元仿真獲得的離散值和擬合方程所得的擬合值代入式（21）中，可得母線長度L、厚度H和半徑R的畸變相似模型第1階固有頻率擬合曲線的協方差表明擬合曲線滿足精度要求。

求擬合方程的一階導數，可得幾何參數的敏感性為

對比三個參數對第1階固有頻率的敏感性值，第1階固有頻率對母線長度L的敏感性最大，半徑R次之，厚度H最小。

3.4 畸變相似關系確定

通過對母線長度L、厚度H和半徑R三個幾何參數對第1階固有頻率的敏感性分析，結合式（17）可得

將式（23）帶入到式（9）中解得

將式（24）帶入式（9），可得薄壁截錐殼的第1階固有頻率的畸變相似關系為

運用同樣的方法分別求出薄壁截錐殼第2階和第3階的畸變相似關系。具體結果如表4所示。不同階數的畸變相似關系表達式不相同，各幾何參數的敏感性也不同，第1階和第3階對母線L的敏感性最大，第2階對半徑R敏感性最大。

表4 薄壁截錐殼前3階的畸變相似關系Tab.4 Distortion similarity of first three orders of thin-walled truncated conical shells

4 仿真驗證

本文以分析薄壁截錐殼的前3階固有頻率為例，驗證畸變相似關系。分別建立兩個畸變模型：模型1取值L=0.576 m，H=0.010 3 m，R=1.02 m，即λL=0.96，λH=1.03，λR=1.02；模型2取值L=0.63 m，H=0.009 6 m，R=1 m，即λL=1.05，λH=0.96，λR=1。采用有限元法得到畸變模型和原型的固有頻率和模態振型，并采用畸變相似關系預測原型的固有頻率，結果詳見表5和圖3。

薄壁截錐的畸變相似模型的前3階預測頻率與原型固有頻率最大誤差為1.46%，在合理范圍內。模型與原型的前3階振型都保持一致。這證明由敏感性分析法得到薄壁截錐殼固有頻率的畸變相似關系可以預測原型固有特性。

5 結論

本文基于薄壁截錐殼構件畸變模型預測原型的固有特性，利用動力學微分方程和敏感性分析結合的方法，建立薄壁截錐殼畸變相似關系，分析母線長度L、厚度H、半徑R三個幾何參數對前3階固有特性的敏感性，確定薄壁截錐畸變相似關系式。對比發現，第1階和第3階對母線L敏感性最大，第2階對半徑R敏感性最大。采用有限元仿真表明，前3階預測頻率與原型固有頻率之間的誤差均在合理范圍內，最大為1.46%；由敏感性分析法得到薄壁截錐殼固有頻率的畸變相似關系可以預測原型的固有特性。

表5 薄壁截錐殼畸變相似模型的固有頻率預測值，HzTab.5 Natural frequency prediction value of thin-walled truncated cone shell distortion similarity model，Hz

圖3 薄壁截錐殼原型與畸變相似模型的模態振型Fig.3 Modal shapes of thin-walled truncated conical shells prototype distortion and model