夏麗娟 胡廣宏
摘 要:從思維方法分析運算是一種推理,是一種典型的演繹推理。因此,在運算教學時一定要講清道理,讓學生明白其中的算理。從簡單的表面分析出深刻道理,這是數學的魅力所在,也是數學教學時追求的目標。在進行數列專題教學時,完成一道數列綜合題時,多數學生求解時,出現了漏解的情況,但又找不到問題所在。下面我們來一起進行多維度探究,分析學生的解題過程中出現的問題及如何解決。
關鍵詞:數列;漏解;多維度;探究
一、原題再現:
等差數列的首項為1,公差為d,數列的前n項和為Sn.且對任意的, 6Sn=9bn-an-2恒成立,如果數列是等比數列,則d的值為????? .
二、學生的錯誤解法展示:
學生A解法:由為等差數列,首項為1,公差為d,則an=1+(n-1)d.
由6Sn=9bn-an-2.n≥2時,6Sn-1=9bn-1-an-1-2 ,兩式相減:6bn=9bn-9bn-1-d.∴3bn=9bn-1+d .
如果為等比數列 ,則 .
與對比,則
學生B解法:對任意的, 6Sn=9bn-an-2恒成立, ∴令n=1, 3b1-1-2=0得b1=1.
由
由為等比數列
整理得:,
∴d=3或-6.
檢驗:當d=3時, bn=3bn-1+1. 又 為等比數列 ∴d=3符合.當d=-6時,bn=3bn-1-2.
∴d=-6不合,舍去.
(學生在求得問題出現兩解時,經常會去思考舍解的問題,可以理解)
三、學生的思維誤區與解法完善
學生用兩種方法得出來答案一致,有問題嗎?
分析學生A的解法:主要的問題在于:如果數列為常數列時,與對比對應關系不成立。繼續分析:
解法一、數列為等比數列,設公比為q,(q≠0),由 .
,由 ,所以
當q=1時,? ,此時,數列為常數列.
為等比數列.當q≠1時,(*)式恒成立.
綜上:d=3或-6.
分析學生B解法:b1=1, bn=3bn-1-2, 的表達式確定的,我們換一個思路,求出表達式可以嗎?
解法二:
由b1-1=1-1=0,所以bn-1=0? ∴bn=1 ,為非零常數列,符合為等比數列.
從而學生解法B可以進行修正,從而得到兩解。
繼續與學生進行相關分析可以得到其它解法。
四、培養創新思維,拓展思維的深度與廣度。
解法三:得
①當 即d=-6,此時 恒等于,為常數列.
②,為等比數列.? .綜上d=3或-6.
解法四:由.是與n無關的常數.
或為常數.時, d=3符合題意.
當為常數時, .此時,? ,綜上:d=3或-6.
本道數列綜合題的研究,既解決了學生解題過程中的困惑,又培養了學生嚴謹的思維習慣。學生在解題時往往跟著感覺走,缺少對問題的認真細致的分析,從而經常出現漏解或多解的情況,教師在上課時要進行嚴謹地分析,讓學生找出問題所在,從而避免下次犯同樣的錯誤,提高學習效果,培養了學生嚴謹的思維和良好的解題習慣。
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