以“異面直線所成角”的教學設計為例談立體幾何的概念教學

俞廉潔 楊元韡 (江蘇省常州高級中學 213003)

立體幾何是高中數學的重要組成部分，也是演繹體系的很好的載體，對培養學生空間想象能力、邏輯推理能力有著不可替代的作用.重視邏輯推理，就必須重視立體幾何中的公理、定理的教學.而立體幾何中的概念教學的重要性有時被忽略，一些重要的概念或一帶而過，或直接告知，造成學生理解不夠深刻，甚至出現偏差.本文以異面直線所成角的教學設計為例，談談對立體幾何中概念教學的幾點思考．

1 教學設計

1.1 問題情境

問題1空間中兩條直線有哪些位置關系？

預設：平行、相交、異面.

設計意圖回顧兩條直線的位置關系，引出要研究的主題——異面直線.

問題2在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AB與CC1，CD1，CA1分別具有怎樣的位置關系？

圖1

預設：AB與CC1，CD1，CA1均是異面的.(追問：為什么是異面的？)因為AB在平面ABCD內，CC1，CD1，CA1均過平面外一點，且過平面內不在直線AB上的點C，因此由異面直線的判定定理可得AB與CC1，CD1，CA1均是異面的.

設計意圖問題2意在讓學生回憶異面直線的判定定理，也為接下來的問題作鋪墊——既然三條直線均與AB是異面的，那么就可以提出問題：它們之間是否有差異，如何刻畫這種差異？

1.2 學生活動

問題3觀察下面幾幅圖，CC1，CD1，CA1都是和AB異面的，但從圖形上看，還是有差異的——傾斜程度不同，你覺得應該怎樣去刻畫這種傾斜程度呢？

圖2

預設：學生很容易會想到要用角度去刻畫．這時可以追問用什么角度？我們學習過的角度是相交線構成的平面角.如果此時學生難以往平移上去考慮，可以設置如下提示：初中時學習過“兩直線平行，同位角相等”，這說明直線的“平移”這一操作保持其方向不變，并不會改變它與另外一條直線的夾角.以此來啟發學生將異面直線中的一條直線平移到與另外一條直線相交.

設計意圖問題3意在讓學生感受各組異面直線間存在的差別.通過三組異面直線的圖形，可以直觀地感受到它們在形狀上的區別——傾斜程度不同，進而提問如何去刻畫這種異面直線間不同的傾斜程度，引導學生自己提出異面直線所成角的概念.最后還原到正方體中的目的是為了讓學生更直觀地觀察將異面直線平移至相交情形的過程.

問題4在研究AB與CC1所成的角時，除了可以將直線AB平移到CD外，還可以怎么平移？不同的平移方式是否會產生不同的結果？

圖3

預設：還可以將CC1平移到BB1，甚至可以將兩者共同平移至其他位置，結果均不會改變，依據是等角定理.

設計意圖問題4旨在說明不同的平移方式得到相同的結果，這不僅是對等角定理的一個應用，更是為接下來說明異面直線所成角定義的合理性埋下伏筆.

1.3 數學建構

(異面直線所成的角)如圖4，a與b是異面直線，經過空間內任意一點O，作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′和b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a，b所成的角.

圖4

問題5為什么a′和b′所成角的大小與點O的選擇無關？

預設：根據等角定理可知，兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角應相等或互補，而兩條相交直線所成角只取直角或銳角，因此a′和b′所成的角與a″和b″所成的角的大小是相等的.這也說明這樣的定義是合理的、明確的.

設計意圖從圖形上看，這兩個角很顯然是相等的，但為了不降低對學生邏輯推理能力的要求，加深對概念的理解，設計了問題5.問題5是對前面問題4的呼應，是對異面直線所成角這個定義合理性的一個說明.

問題6異面直線所成角的大小范圍是什么？

特別地，若異面直線a，b所成的角是直角，則稱異面直線a，b互相垂直，記作a⊥b.

設計意圖這里提出的異面垂直的概念，為后續研究直線與平面垂直作鋪墊.同時也要特別強調兩直線垂直不僅僅包括相交垂直，也包括異面垂直.

1.4 數學運用

例1已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a.

圖5

(1)正方體的哪些棱所在的直線與直線BC1是異面的？

(2)求異面直線AA1與BC所成的角；

設計意圖本例題的目的是鞏固異面直線所成角的概念．在講解過程中可進一步厘清立體幾何中度量問題的解題步驟：作(找)—證—求—答.關于兩條異面直線所成角的度量問題，將在“空間向量與立體幾何”中作深入的研究，本節課不必拓寬加深.本例的第(2)問，涉及了一個異面垂直的例子，是為了改變學生“只有相交才能垂直”的固有觀念.

例2如圖6，在空間四邊形ABCD中，E，F分別是對角線BD，AC的中點.若BC=AD=tEF(t>0).

圖6

(1)當t=2時，求直線EF與AD所成的角；

(3)當t為何值時，BC⊥AD？

設計意圖本題是利用三角形中位線找平行線的模型，其中將異面直線平移到同一個平面的方式不是惟一的.(1)(2)兩個小題根據具體的t的值求角，難度略低，需要注意的是第(2)問中需取補角.第(3)小題，需設出邊長，根據三角形中邊的關系建立方程，解出t的值，對學生要求較高.

1.5 課堂小結(略)

2 幾點思考

2.1 立體幾何的概念形成要合理利用“基本圖形”

立體幾何中的“基本圖形”主要指一些重要的基本幾何體，如長方體、三棱錐、圓柱、圓錐以及球，尤其以長方體更為重要，因為點、線、面之間的重要的位置關系，空間角，各種距離等在長方體中都可以找到簡潔而直觀的背景.在立體幾何教學中，合理利用“基本圖形”，讓這些“基本圖形”成為概念概括的典型的感性材料，可以有效地促成概念的形成.這里所說的典型是指能充分體現概念的關鍵屬性，與概念無關的特征少，并且簡潔而直觀.

例如，異面直線對于學生而言是新內容，有的學生想象不出異面直線的形象，因此可以利用“襯面”加以“烘托”，即異面直線判定定理的相應圖形．事實上這已經是高度簡化之后的簡略圖，也具有一定的直觀性.在問題2中，利用正方體這一封閉的“基本圖形”尋找異面直線，在這個“基本圖形”中進行觀察與感受更為直觀，再提取出前面的簡略圖.對初學立體幾何的學生而言，從封閉的幾何體過渡到不封閉的簡略圖更為適合，這也遵循了教學的量力性這一基本原則.在問題3中，利用正方體中部分棱的平行關系，更容易激發學生聯想，將異面直線中的一條或兩條通過平行移動至相交的情形，進而用平面角去定義異面直線所成的角，為異面直線所成角的概念的概括提供了很好的支架.在問題4中，正方體作為“基本圖形”，讓異面直線所成角這一概念的關鍵特征更加凸顯，尤其是讓取點的任意性的緣由(即前面所學習的等角定理)更為直觀.

2.2 立體幾何的概念形成要充分運用直觀感知

立體幾何這一章內容主要發展學生的直觀想象、邏輯推理、數學運算等數學核心素養，立體幾何中的一些概念的形成過程也是發展學生的直觀想象的重要契機，不應輕易錯過.發展直觀想象素養的前提和基礎是讓學生有一個較為完整的直觀感知的體驗過程.如果沒有經歷直觀感知這一過程，學生很難全面、準確、深刻地理解概念，很容易造成對概念片面的、孤立的，甚至是錯誤的理解.

例如，長方體中平行的棱的方向是相同的，研究平行直線的位置關系往往需要研究它們的距離；而異面的兩直線，其方向是不同的，而且每一組異面直線方向的傾斜程度也不盡相同，因此就有研究異面直線所成角的必要性.在問題3中，直線CC1，CD1，CA1都與AB異面，但是它們之間的傾斜程度不同，可以讓學生體驗這個傾斜程度的差異，引發如何來度量這個差異的思考.如果學生聯想不到“平移”這一操作，可以利用先行組織者“兩直線平行，同位角相等”，讓學生直觀體驗到這一基本事實，即直線的平移是保持直線方向不變的一種操作，從而較為容易地將異面直線a，b之間的方向差異轉化成相交直線a，c(其中c與b平行，c保持了與b的方向不變這一屬性)之間的方向的差異.利用平面幾何中已有的知識促進學生正遷移，可以幫助學生自主地概括異面直線所成角的概念.

2.3 立體幾何的空間角的教學要連貫系統

立體幾何中的三個空間角(異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角)既可以刻畫特殊的關系，如兩直線垂直、直線與平面垂直、兩平面垂直等，也可以刻畫一般的關系，即可以量化兩直線間、直線與平面之間、兩平面間的傾斜程度.三個空間角的教學應該注重連貫系統.

首先，用平面角刻畫異面直線所成的角，給刻畫其他空間角的方法提供了范例，即也可以嘗試用平面角來刻畫其他空間角等(事實上也是如此).

其次，三個空間角的度量方式不盡相同，但是仍有相通之處.異面直線所成角的概念中的“相交直線所成的銳角或直角”體現了“最小”的特征，在直線與平面所成角中也有體現，即直線與平面所成角實質上也是直線與該平面中所有直線所成角中最小的.異面直線所成角的大小的確定性以等角定理為基礎，二面角的平面角的大小的確定性也以等角定理為基礎.

再次，異面直線所成角的概念的辨析過程充分體現了數學概念的合理性(如確定性等)，為其他空間角的概念辨析提供了范例，以加深對概念本質屬性的理解.例如，本案例的問題5中，提出為什么在空間中取點具有“任意性”等.

因此，異面直線所成角的概念的某些方面可以作為其他空間角的先行組織者，將三個空間角的教學聯系起來，使這些概念構成連貫系統的概念體系.

2.4 立體幾何的空間角的教學要注重培養發散性思維

立體幾何中的空間角和距離的計算，往往需要“作(找)—證—算—答”等幾個步驟.學生容易在“作(找)”這個環節出現問題，即不清楚怎么“作(找)”.事實上，從空間角的概念出發，作圖具有不確定性，這給“作(找)”的方式以極大的靈活性.以例2的第(1)問為例，既可以過點E作AD的平行線，也可以過點F作AD的平行線，選點的方式是多樣的，若過點A或D作EF的平行線解決問題就比較困難.因此，平移的過程是需要“試驗”的，可行的平移方案往往不唯一，某些平移方案可能會帶來較大的困難.這樣的“試驗”有利于培養學生的發散性思維.在立體幾何空間角的例題教學中問題的解決不應淺嘗輒止，要引導學生從多個角度去分析與解決問題，再對這些方法的優劣進行比較與反思，積累基本活動經驗.例如，在求解異面直線所成角的過程中，構造三角形中位線模型或平行四邊形模型就是非常重要的活動經驗.