一道北大自主招生題引發的探究

湖南省會同縣第一中學(418300) 于先金

廣東省肇慶中學(526060)王艷如

《中國高考評價體系》指出:“高考要求學生能夠觸類旁通、融會貫通,既包括同一層面、橫向的交互融合,也包括不同層面之間、縱向的融會貫通”[1].對一些典型問題,如果我們能夠從不同的角度思考,尋求不同的解法,以一題多解、一題多變的方式尋求知識間的內在聯系,這樣可以使我們構建起知識的網絡體系,加深對問題的本質認識,提升對學習的興趣,提高解題的能力.北京大學2018年自主招生題第13題是一道求條件二元函數取值范圍的題,題目難度不大,筆者對它的解法和變式進行了一些探究,現與讀者分享交流.

一、試題呈現,原解與分析,題源探尋

題目(2018年北京大學自主招生第13 題)若實數x,y滿足+y2=1,則|3x+4y-12|的取值范圍是( ).

原解(參數方程, 化為三角函數求解)可設(x,y)=(2 cosθ,sⅰnθ), 得3x+ 4y -12 = 4 sⅰnθ+ 6 cosθ -12 =-12,其中tanφ=所以3x+4y-12 的取值范圍是又由-12+得|3x+4y-12|的取值范圍是[12-故選B.

分析本題以二元二次等式為條件,求二元一次式的絕對值的取值范圍,主要考查分析、解決二元二次問題的能力,考查轉化與化歸、函數與方程、數形結合等數學思想,體現了邏輯推理、數學運算、直觀想象等數學核心素養.一般是利用橢圓參數方程將問題轉化為三角函數問題,然后再利用輔助角公式求解,計算較為簡潔,這是一種常規解法.本題結構簡潔,內涵豐富,切入點比較多,是一道值得探究的好題.

題源(普通高中課程標準實驗教科書《數學》選修2-1(A 版)第47 頁例7[2])已知橢圓= 1, 直線l:4x-5y+40=0.橢圓上是否存在一點,它到直線l的距離最小? 最小距離是多少?

由此可見,成題改編是高考、自主招生及競賽等各種考試命題的一種常見方法,也是一條命題的捷徑.對一道試題我們不能只看到一道考題,還要思考它還會怎么考,這樣既發散了思維,又提高了我們備考的針對性,提高了備考的效率.

二、解法探究,一題多解,彰顯基礎

解法1(柯西“登臺”,利用絕對值不等式)因+y2=1,由柯西不等式可得(62+42)(+y2)≥(3x+4y)2,所以(3x+4y)2≤52,即|3x+4y|≤由絕對值不等式||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|,得|3x+4y-12|≤|3x+4y|+12 ≤12+|3x+4y-12|≥12-|3x+4y|≥12-所以12-≤|3x+4y-12|≤12+故選B.

解法2(整體換元, 代入消元判別式法)令3x+4y -12 =t, 所以y=+y2= 1 并整理, 得13x2-6(t+ 12)x+ (t+ 12)2-16 = 0, 所以Δ=36(t+12)2-52(t+12)2-16≥0,即(t+12)2≤52,-12-≤t≤-12+所以3x+4y-12 的取值范圍是以下同原解.

解法3(三角換元,轉化為求三角最值)設3x+4y-12=t, 則3x+ 4y=t+ 12, 令代入并整理,得

以下同解法2.

解法4(數形結合, 利用直線橢圓相切)顯然橢圓+y2= 1 上的點P(x,y)到直線l: 3x+4y -12 = 0的距離為d=與直線l平行的直線l′的方程為3x+ 4y+t= 0.當直線l′與橢圓相切時,由消去y并整理, 得13x2+ 6x+t2-16 = 0, 所以Δ = 36t2-52t2-16= 0, 解得t=所以點P(x,y)到直線l的距離為d滿足即12-≤|3x+4y-12|≤12+故選B.

解法5(橢圓化圓, 數形結合, 一目了然)將用x代替, 于是原問題轉化為: 若實數x,y滿足x2+y2= 1, 則|6x+4y-12|的取值范圍是______.顯然,直線6x+4y-12=0與圓x2+y2=1 相離,原點O(0,0)到直線6x+4y-12=0的距離為所以圓x2+y2= 1 上的點P(x,y)到直線6x+ 4y -12 = 0 的距離d=滿足不等式+1, 所以12-≤|3x+4y-12|≤12+故選B.

解法6(利用導數,求出駐點,耳目一新)因設t= 3x+4y -12, 將y看成x的隱函數, 兩式分別對x求導,并令t′= 0,得解得x= 3y.聯立所以t=3x+4y-12 ≤3·t= 3x+ 4y -12 ≥3·-12 =即以下同解法2.

三、變式探究,一題多變,培育素養

變式1若實數x,y滿足+y2= 1,則x2+y2的取值范圍是____.

利用橢圓的參數方程, 易求得x2+y2的取值范圍是[1,4].

變式2(人教A 版《數學》選修2-1 第80 頁復習參考題A 組第11 題)在拋物線y2=4x上求一點P,使得點P到直線l:y=x+3 的距離最短.

變式3已知直線l:y=x+3 與曲線C:y= lnx,則曲線C上任意一點到直線l的最短距離為____.

變式4已知直線l:y=x+ 3 與曲線C:y=-x2+3 lnx,則曲線C上任意一點到直線l的最短距離為____.

解與直線l平行的直線l′的方程為y=x+m.函數y=-x2+3 lnx的定義域為(0,+∞),由y′=求得x= 1(x=舍去).所以, 當直線l′與曲線C相切時切點P的坐標為(1,-1).于是,所要求的最短距離為點P到直線l的距離

變式2、3 可類似求解.

變式5若實數x,y滿足+y2=1,則x2+(y-2)2的取值范圍是____.

解設(x,y)=(2 cosθ,sⅰnθ),得

所以,x2+(y-2)2的取值范圍是

這時聯想到1990年高考全國卷理科第25 題:

原題設橢圓的中心是坐標原點,長軸在x軸上,離心率e=, 已知點P(0,到這個橢圓上的點的最遠距離是求這個橢圓的方程,并求橢圓上到點P的距離等于的點的坐標.

正解由題意可設橢圓方程為=1(a ＞b ＞0),由即a=2b.設橢圓上的點(x,y)到點P的距離為d,則

其中-b≤y≤b.

如果b ＜則當y=-b時,d2(從而d)取得最大值,由題設得b+=由此得相矛盾.由此可知b≥于是當y=時,d2(從而d)取得最大值,由題設得4b2+3 =由此可得b= 1,a= 2.故所要求的橢圓方程為+y2= 1.由y=及求得的橢圓方程,可得橢圓上的點到點P的距離為

變式6若實數x,y滿足3x+4y-12=0,則的最小值為_____.

解設+y2=r2(r ＞0),令(x,y)=(2rcosθ,rsⅰnθ),得3x+ 4y -12 = 6rcosθ+ 4rsⅰnθ -12 = 0, 所以其中tanφ=的最小值為

變式7若實數x,y滿足+y2= 1, 則的最小值為____.

解設點P(x,y)是橢圓+y2= 1 上的點, 設點則

表示|PA|+|PB|,故求|PA|+|PB|的最小值即可.因為點分別在橢圓+y2=1 的外部和內部,所以當點P(x,y)是線段AB與橢圓+y2= 1 的交點,A,P,B三點共線(P在線段AB上)|PA|+|PB|最小,且最小值為所以

變式8若實數x,y滿足= 1, 則的最小值為____.

解橢圓= 1 的左、右焦點分別為F1(-1,0)、F2(1,0),設A(0,1),點P(x,y)是橢圓= 1 上的任意一點,則|PF1|+|PF2|=所以

變式9(2011年高考浙江卷理科第16 題)設x,y為實數, 且x,y滿足4x2+y2+xy= 1, 則2x+y的最大值為____.

解本題可有多種解法,下面僅給出一種待定系數法.設

則

變式10(2014年高考福建卷理科第9 題)設P,Q分別為且x2+(y-6)2=2 和橢圓+y2=1 上的點,則P,Q兩點間的最大距離是( ).

變式11(2017年全國高中數學競賽湖北預賽第8 題)設x,y ∈R,則P=(x+1-cosy)2+(x-1+sⅰny)2最小值為____.

下面提出一個問題,供讀者研討.

問題已知A(0,2),B(3,0)是橢圓+y2= 1 外的兩點,P(x,y)是橢圓+y2= 1 上的任意一點, 求|PA|+|PB|的最小值.

四、教學啟示,讓探究成為一種習慣

現在高考越來越重視學生綜合素質的考查,所以在教學中,我們不僅要重視知識的傳授,更要重視數學思想方法的傳遞,培養學生的思維能力和創新能力,為學生創設情境體驗,注意一題多解、一題多變,注意多法求根、多題歸一.

我們解題的目的是什么? 是求出問題的答案嗎? 是,但又不全是! 解題的目的是鞏固數學基礎知識、落實數學基本技能、感悟數學思想方法、提升數學思維能力,所以對一道典型問題的多角度分析與解答是非常有必要的.但解題教學應根據學情,要因材施教,不能單純追求一題多解,而應根據學生的思維特征進行講解與點評.對于優生,合理的多角度剖析問題,有利于學生解一題,得多法!

探究,是人類與生俱來的本能.人從一出生,就具有一雙洞察世界的眼睛,一張愛問問題的嘴巴,一雙靈活愛動的小手,就開始用蹣跚的雙腳去探尋和認知全然陌生的世界.

探究必須根植于具體的問題之中,確定探究主題,制定探究路線,開展探究行動,展示探究成果.探究不僅是一把金鑰匙,幫助我們打開智慧殿堂的大門;探究還是一葉方舟,承載我們到達理想的彼岸[3].在教學中,要為學生提供微探究的機會,讓探究成為一種習慣.