一道解析幾何模擬試題的探究及溯源

廣東省中山市濠頭中學(528437) 閆 偉

圓錐曲線與直線的位置關系一直是高考的熱點和難點,在很多圓錐曲線題目中都是探求一些特殊結論,如定值問題,這些結論看似特殊,實則具有普遍性,且往往具有豐富的命題背景和深厚的內涵,研究此類試題不僅能夠更好地把握解析幾何的本質,還能透過試題挖掘隱含的命題規律,更能將其拓展到一般情況,從而提升學生數學思維,發展數學核心素養.下面以2021年北京市豐臺區模擬考試解析幾何試題為例進行說明.

1 試題呈現與分析

題目(2021年北京豐臺區模擬)已知橢圓1(a ＞b ＞0)過A(0,2),B(-3,-1)兩點.

(1)求橢圓E的方程;

(2)直線AB與x軸交于點M(m,0),過點M作不垂直于坐標軸且與AB不重合的直線l,l與橢圓E交于C,D兩點,直線AC,BD分別交直線x=m于點P,Q,求證:為定值.

分析本題主要考查對橢圓的標準方程及其幾何性質、直線與橢圓的位置關系、韋達定理、線段長度定值等基礎知識的理解和運用,考查學生的推理論證能力、運算求解能力以及綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力,側重考查數形結合、化歸與轉化的思想.試題梯度明顯,既能讓絕大多數考生有所收獲,又能區分不同層次的學生,下面著重探討第二問.第二問要證明的線段PM和MQ的比值,解決思路是聯立直線l與橢圓方程,利用C,D兩點坐標分別表示兩個線段長度,再結合韋達定理運算求解.本題立意深刻、內涵豐富,具有一定的典型性、代表性,極具探究價值,是一道值得研究的好題.

2 解法探究

解答(1)橢圓E的方程為= 1,過程從略;以下考慮(2)的解答.

解法1依題意知m=-2, 設直線l方程y=k(x+2)(k /= 0,1),C(x1,y1),D(x2,y2), 直線與橢圓聯立:得(3k2+1)x2+12k2x+12k2-12=0,且Δ＞0,則x1+x2=記直線AC方程為:y=+2,又點P在直線AC上,當x=-2 時,得點P的縱坐標yP=同理可求得點Q的縱坐標為yQ=從而

評注本解法要解決線段長度比值, 先聯立l與E的方程并借助韋達定理求解, 設出點C,D的坐標并表示點P,Q的縱坐標, 難點是這一不對稱形式讓學生不知所措,實際上是要結合三個參數k,x1,x2的等量關系進行配湊,然后通過代數恒等變形消參數求得定值,解題思路較為常規,只是運算量較大,要求學生具備較強的數學運算、邏輯推理能力.

解法2由m=-2,設C(x1,y1),D(x2,y2),直線l:x=ty-2 與橢圓聯立:=1 得: (t2+3)y2-4ty-8=0且Δ＞0,則y1+y2=,y1y2=-記直線AC方程為:y=+2,又點P在直線AC上,當x=-2時,得點P的縱坐標yP=同理可求得點Q的縱坐標為yQ=從而

評注解法2 通過直線方程的另一種方式與橢圓聯立,結合韋達定理求解;另外將幾何結論代數化,即利用點P,Q的縱坐標互為相反數求解定值,極大簡化求解過程,實現高效解題.

3 基于GeoGebra 的探究與反思

通過對試題的分析和解答, 筆者在想這兩條段長度比值為定值1(即兩線段相等)是必然還是偶然呢? 怎樣透過現象看本質, 揭示問題的一般性規律? 數學家波利亞曾說過: 先猜,后證——這是大多數發現之道.于是筆者試著換了一個點M′(-1,0),過點M′作兩條不垂直于坐標軸的直線AB,CD,直線AC,BD分別與x=-1 交于P,Q兩點,P,Q兩點的縱坐標仍然互為相反數;再換一些特殊點M重復上述操作過程,結論仍成立.筆者猜想: 當點M(m,0)與直線l:x=m存在某種聯系時,兩線段長度恒相等,于是筆者通過借助GeoGebra 平臺進行探究驗證.通過實驗來驗證上述變量間的關系,同時為后面的代數證明提供更加直觀形象的思路支持.

實驗(1)在GeoGebra 繪圖區先設置兩個“滑動條”a,b, 輸入:x^2/a^2+y^2/b^2=1,得到橢圓C; (2)在工具欄設置“滑動條”m,輸入點M(m,0)(m /=±a),并輸入直線x=m;(3)過點M作兩條不垂直于坐標軸的直線分別與橢圓交于A,B,C,D,記直線AC,BD分別與x=m交于P,Q兩點;(5)拖動M點,或者改變參數a,b的值,進行演示,如圖1.

圖1

根據上述演示結果,我們可以將結論推廣到更一般的情況:

4 推廣結論 揭示本質

結論1已知橢圓E:= 1(a ＞b ＞0),過點M(m,0)(m /=±a)作兩條不垂直于坐標軸的直線分別與橢圓交于A,B,C,D, 記直線AC,BD分別與直線l:x=m交于P,Q兩點;則|PM|=|MQ|.

證明平移直角坐標系, 將坐標原點O平移到點M得到坐標系x′My′, 記橢圓與y′軸交于H,G兩點, 顯然MG=MH, 不妨設H(0,t),G(0,-t),P(0,y′P),Q(0,y′Q),因為橢圓過H,G兩點, 故可設平移后的橢圓方程為ux′2+y′2+vx′y′+wx′-t2=0,另設直線AB,CD的方程分別為y′=k1x′,y′=k2x′,從而過點A,B,C,D的曲線系方程為ux′2+y′2+vx′y′+wx′-t2+λ(y′-k1x′)(y′-k2x′)=0,其中λ ∈R,令x′=0,則y′P,y′Q是方程(1+λ)y′2-t2=0的兩根,由根與系數關系可知y′P+y′Q=0,所以在平移后的坐標系中有|PM|=|MQ|,因平移坐標系不改變線段的長度,從而|PM|=|MQ|.

評注上述結論1 同樣適用于雙曲線和拋物線,證明過程和結論1 相仿,此處不再贅述.

結論2已知雙曲線E:= 1(a ＞0,b ＞0),過點M(m,0)(m /=±a)作兩條不垂直于坐標軸的直線分別與雙曲線交于A,B,C,D, 記直線AC,BD分別與直線l:x=m交于P,Q兩點,則|PM|=|MQ|.

結論3已知拋物線E:y2= 2px(p ＞0), 過點M(m,0)(m /= 0)作兩條不垂直于坐標軸的直線分別與拋物線交于A,B,C,D, 記直線AC,BD分別與直線l:x=m交于P,Q兩點,則|PM|=|MQ|.

5 背景探尋 追根溯源

至此,對上述題目基本結論的探究告一段落.但我們仍有疑問,為什么有這些結論呢? 這些結論的源頭在哪里? 我們知道,橢圓與圓有著緊密的聯系,它們具有許多相似的性質.我們不妨來考查圓中的結論,借助圓來探究一下這道題的背景.

結論4已知點M是⊙O外一點, 過點M作OM的垂線l, 過點M且不垂直于l的兩條直線分別與圓交于A,B,C,D四點,記直線AC,BD分別與直線l交于P,Q兩點,則|PM|=|MQ|.

證明如圖2, 過圓心O作AC,BD的 垂 線, 垂足分別為F,E, 則F,E分別為弦AC,BD中點; 連接OP,OQ,MF,ME, 因為OM⊥PQ, 所 以O,F,M,P四點共圓,O,E,M,Q四點共圓, 于是∠POM= ∠PFM,∠QOM= ∠QEM; 因 為∠MCA= ∠MBD, 所 以ΔMAC∽ΔMDB, 故有結合∠MCF= ∠MBE得ΔMCF∽ ΔMBE, 于是∠MFC=∠MEB,所以180°-∠MFC=180°-∠MEB,即∠PFM= ∠QEM; 故∠OPM= 90° -∠POM=90°-∠PFM=90°-∠QEM=90°-∠QOM=∠OQM,即點M是PQ中點,故|PM|=|MQ|.

圖2

至此,我們通過探究得到了圓中具一般意義的結果.但是對于圓成立的結論是如何推廣到橢圓中去的? 事實上,橢圓可以由圓經過伸縮變換得到,由伸縮變換的性質——保持點線結合關系不變、直線平行或相交關系不變、同一直線上線段長的比例關系不變等.可知上述結論4 對于橢圓仍然成立.事實上,這也完成了結論1 的一次簡潔的證明.

根據圓的一般結論分析,上述結論1-3 中的點M和直線l:x=m仍然比較特殊,能否將其一般化呢? 即點M為不在橢圓上的任意一點,此時直線l需滿足什么要去才能保證上述結論仍然成立? 結合高等幾何中極點極線的相關知識,筆者借助GeoGebra 平臺繼續探究得到圓錐曲線中更一般性的結論.

結論5已知點M是不在橢圓E:= 1(a ＞b ＞0)上的任意一點,點M關于橢圓E的極線為直線m,記過點M且平行于直線m的直線為l,過點M作兩條不重合的直線分別與橢圓E交于A,B,C,D,記直線AC,BD分別與直線l交于P,Q兩點;則|PM|=|MQ|.

結論6已知點M是不在雙曲線E:= 1(a ＞0,b ＞0)上的任意一點, 點M關于雙曲線E的極線為直線m,記過點M且平行于直線m的直線為l,過點M作兩條不重合的直線分別與雙曲線E交于A,B,C,D, 記直線AC,BD分別與直線l交于P,Q兩點;則|PM|=|MQ|.

結論7已知點M是不在拋物線E:y2= 2px(p ＞0)上的任意一點,點M關于拋物線E的極線為直線m,記過點M且平行于直線m的直線為l,過點M作兩條不重合的直線分別與拋物線E交于A,B,C,D,記直線AC,BD分別與直線l交于P,Q兩點;則|PM|=|MQ|.

結論5-7 的證明需要借助高等幾何中極點極線的相關結論,留給有興趣的讀者,此處不再一一贅述;根據極點和極線的性質,我們將結論5-7 統一概括為:

結論8已知點M是不在圓錐曲線E上的任意一點,點M關于曲線E的極線為直線m,記過點M且平行于直線m的直線為l,過點M作兩條不重合的直線分別與曲線E交于A,B,C,D,記直線AC,BD分別與直線l交于P,Q兩點;則|PM|=|MQ|.

極點與極線是解析幾何中的一條重要性質,它在圓錐曲線問題的探究中有十分重要的應用,本文對這一類定值問題的探究很好地佐證了這一點.

結束語

以上由一道試題出發,經過特殊到一般,得到了圓錐曲線中一組統一的性質.在解題教學過程中,我們不能僅僅停留在問題的表面,還要引導學生深入理解學科知識的本質特征和內在聯系,對經典題目進行抽絲剝繭,從不同角度聯想與探究,盡可能地將試題的研究價值最大化,從而提升學生的數學核心素養.