具有群體防御的害蟲綜合治理Filippov模型的研究

侯 祥,劉 兵,王藝霖

(1.遼寧師范大學 數學學院,遼寧 大連 116029;2.鞍山師范學院 數學與信息科學學院,遼寧 鞍山 114007)

近年來,害蟲種群不斷爆發,給農業生產生活帶來了嚴重影響,尤其是對帶有群體防御行為的害蟲治理成了棘手的大問題[1],例如，非洲蝗蟲大量入侵,因群居飛蝗會大量釋放有毒物質,從而躲避了天敵的捕食,使得蝗蟲大量繁殖,對農業生產產生了毀滅性的影響,進而使糧食安全面臨前所未有的挑戰和威脅.所以,具有群體防御的害蟲綜合治理問題成為人們當前面臨的重大挑戰.目前,許多學者利用數學模型來模擬害蟲治理的過程,例如,在固定時刻噴灑殺蟲劑[2]、投放天敵[3]、釋放染病害蟲[4]的脈沖微分方程的害蟲治理模型;在不同頻率釋放天敵和噴灑殺蟲劑的害蟲治理模型[5];由于殺蟲劑具有殘留作用,學者們又提出具有瞬時與非瞬時脈沖效應的害蟲綜合治理切換模型[6].在實際生產生活中,考慮到害蟲治理的目的就是將害蟲數量控制在經濟危害水平之下,避免給農業帶來影響,但是固定時刻噴灑殺蟲劑和釋放天敵的脈沖控制會造成不必要的浪費和環境污染,破壞了生態系統的穩定,并且農藥中的毒素會經過食物鏈逐級積累到人體中,嚴重危害人類的身體健康.本文提出了具有群體防御的害蟲綜合治理Filippov模型[7],即只有當害蟲種群的數量達到害蟲治理的經濟閾值ET時,才對害蟲進行綜合治理,否則不進行人為干預，這種控制策略被稱為開關策略或閾值控制策略[8].本文將對建立的Filippov模型進行動力學性質分析,其中包括滑線區域、真平衡點、假平衡點和偽平衡點的存在條件及其全局穩定性分析.

1 模型建立和預備知識

1.1 模型的建立

首先,假設害蟲種群對天敵具有群體防御行為,用如下模型來進行描述：

(1)

其中,x(t),y(t)分別表示害蟲和天敵在t時刻的種群數量,K表示害蟲種群的環境容納量,r表示害蟲種群的內稟增長率,αxe-βx(t)表示天敵對具有群體防御行為的害蟲的捕食率,是一個非單調的飽和響應函數[1],d表示天敵的死亡率,k表示天敵捕食害蟲的轉化率.

然后，引入經濟閾值ET控制策略.如果害蟲種群數量超過經濟閾值ET,為防止害蟲種群密度達到經濟危害水平EIL，采取連續的綜合治理策略,即同時噴灑殺蟲劑和釋放天敵,否則不進行干預控制.因此,當x(t)>ET時,模型變化為如下形式：

(2)

其中,p1、p2分別表示當x(t)>ET時噴灑殺蟲劑使害蟲和天敵種群數量減少的比率,q表示當x(t)>ET時釋放天敵的比率,這里假設q-p2>0.

令

H(Z)=x(t)-ET,Z=(x,y)T

且

FM1=(F11,F12)T,FM2=(F21,F22)T,

那么系統(1)和系統(2)可以合寫為如下的Filippov系統(3)

(3)

其中,

1.2 Filippov系統的預備知識

記

表示分割兩個區域M1和M2的分界線.

定義1令

∑s={Z∈∑|〈HZ,FM1(Z)〉>0,〈HZ,FM2(Z)〉<0},

稱∑s為滑線區域,其中〈·〉表示內積,H(Z)是一個光滑的純量函數,在∑上關于H(Z)的梯度為HZ=(1,0).

引理1(Filippov凸理論) 如果滑線是光滑的，滑線系統可以表示為

其中,

定義2(i)若FM1(Z*)=0,H(Z*)<0或者FM2(Z*)=0,H(Z*)>0成立,則稱Z*為系統(3)的真平衡點；若FM1(Z*)=0,H(Z*)>0,或者FM2(Z*)=0,H(Z*)<0成立,那么稱Z*為系統(3)的假平衡點.

(ii)若系統(3)的滑線區域∑s的平衡點Z*滿足λFM1(Z*)+(1-λ)FM2(Z*)=0,其中，0<λ<1,則稱Z*為系統(3)的偽平衡點.

為了方便表達,將真平衡點、假平衡點和偽平衡點分別記為Er,Ev,Ep.

定義3[9]函數f:zzez的多值逆函數稱為Lambert W函數,且滿足W(z)eW(z)=z,易證Lambert W函數關于變量z的導數是當z∈[-1，+∞)時,zez的逆函數記為W(z)?W(0,z),其中，W(0,z)的定義域為[-e-1,+∞);當z∈[-∞,-1)時,zez的逆函數記為W(z)?W(-1,z),其中，W(-1,z)的定義域為[-e-1,0).

2 模型的動力學性質分析

2.1 系統(1),(2)的動力學性質分析

系統(1)有兩個平衡點(0,0),(K,0).根據定義3中的Lambert W函數可知,當eβd

時,方程

kαx(t)e-βx(t)-(d-q+p2)=0

有2個根，分別記為

基于文獻[10]中的結論,有如下引理:

下文在引理2和引理3都成立的情況下進行分析討論.

2.2 Filippov系統(3)的平衡點和滑線動力學性質分析

由定義1中對滑線區域的定義,有

∑s={Z=(x,y)T∈∑|F11>0,F21<0}=

記

所以系統(3)的滑線區域可記為

∑s={(x,y)T∈∑|yc1≤y≤yc2}.

由引理1的Filippov凸理論,滑線系統∑s的動力學性質可由下面方程確定

令φ(y)=0,可得

所以,當且僅當yQ2∈(yc1,yc2)成立時,系統(3)的偽平衡點Ep(ET,yQ2)存在.

從生物學角度來說,害蟲與天敵共存是維持生態穩定的重要前提,所以本文主要討論系統(3)共存的真平衡點、 假平衡點和偽平衡點的存在性及其穩定性.

定理1

證明

下面討論偽平衡點Ep是否存在.因為

當y=yQ2時，φ′(y)<0,故偽平衡點Ep=(ET,yQ2)存在并且局部漸近穩定.

3 結論

本文討論了一類關于帶有群體防御的害蟲綜合治理Filippov模型的動力學性質,由定理1可知：

(2)當x21

圖1中，r=0.8,K=15,α=0.5,β=0.01,k=0.2,d=0.8,p1=0.3,p2=0.2,q=0.4.

圖1 Filippov系統(3)平衡點的全局穩定性相圖

綜上分析，通過噴灑殺蟲劑、釋放天敵、選擇合適的經濟閾值等方法,可以人為地控制p1,p2,q的大小,使得害蟲數量不會對農業生產造成巨大經濟損失，給相關農業部門和農民生產生活帶來一定的幫助.