栗 艷
(首都師范大學附屬中學 北京 101149)
HPM源自于1972年在英國舉行的第二屆國際數學教育大會(ICME—2)上成立的數學史與數學教學關系國際研究小組。HPM關注的內容包括:數學與其他學科的關系、多元文化的數學、數學史與學生的認知發展、數學史與發生教育法、數學史與學生的困難、數學原始文獻在教學中的應用等等。HPM研究的最終目的是通過數學史的運用,提高教育教學的水平。數學教育在學生掌握數學知識、數學思想、培養學生的理性思維方面起著重要作用,數學史對于認識數學與自然、數學與人類社會的關系,認識數學的科學價值、文化價值方面具有不可替代的作用[1]。在提高數學教育的水平方面,數學史與數學教育相輔相成,不可偏廢。
在2017年版的普通高中數學課程標準中凝練了學科核心素養的概念,各學科基于學科本質又凝練了本學科的核心素養,明確了學生學習該學科課程后應達成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力。數學學科核心素養包括:數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。這些數學學科核心素養既相對獨立,又相互交融,是一個有機的整體。
等比數列是人教版必修5第2章第4節的知識,其主要內容包括等比數列的概念,等比中項和等比數列的通項公式,以及這三者的應用。這節課有著承上啟下的作用,“承上”體現在承接了等差數列的相關知識和方法,“啟下”體現在等比數列的性質和前n項和的探究為其提供了方法和理論基礎。
利用數列知識的特性,利用等比數列與等差數列內容和思想方法上的相似性,加強對數學規律的探究,提高學生的觀察、分析、猜想、歸納、類比的綜合思維能力,發展學生的邏輯推理和數學運算等數學學科核心素養[2]。
學生已經系統學習了等差數列的基礎知識,具備了研究特殊數列的基本思路和方法。在進行數列遞推公式的學習時已經接觸了“疊加”“疊乘”兩種方法,在等差數列通項公式的推導時又運用了“疊加法”,故通過類比可以順利地完成等比數列通項公式的推導。對于數列中歸納的思想、方程的思想,在學習等差數列時,學生已有體會。
1.認識、理解數列的等比關系,歸納等比數列的概念;
2.類比等差數列的研究過程,探究等比中項、等比數列的通項公式;
3.了解古代人的數學智慧之美,體會類比、歸納的思想方法研究數學問題。
教學重點:等比數列的概念及等比數列通項公式的推導。
教學難點:等比數列概念的形成和理解,通項公式的推導和證明。
1.問題提出,引入新課
(1)根據對數列的理解,請寫出一個數列,并說明這個數列項與項之間的關系特征。
預設①:1,3,5,7,9,…
預設②:1,1,1,1,1,…
預設③:1,-1,1,-1,1,…
預設④:1,2,1,2,1,…
預設⑤:1,2,4,8,16,…
預設⑥:1,3,9,27,81,…
(2)數學史中的等比數列
約公元前2700年,蘇美爾泥版MS3047上已經出現了等比數列。古巴比倫時期的泥版Ist.O3826上載有等比數列9,92,93,94,…910。我國古代《孫子算經》中記載了“出門望堤”問題:“今有出門望見九堤。堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雛,雛有九毛,毛有九色,問各幾何?!背蓵?3世紀,由斐波那契所著的《計算之書》中也記載了類似問題:“7位婦女去羅馬,每個人牽著7匹騾子,每匹騾子負7只麻袋,每只袋子裝7塊面包,每塊面包配有7把小刀,每把刀配有7個刀鞘,問婦女、騾子、袋子、面包、刀、鞘各多少?!盵3]從上面問題中抽象出等比數列。
(3)生活中的等比數列
①閱讀教材P48頁。②列舉生活中等比數列例子,分小組討論列舉例子的合理性并進行分享。
設計意圖:從數學史的角度詮釋研究等比數列的必要性,在數學史書中的問題抽象出等比數列,增加學生的積極性和對古代數學智慧的敬畏情緒。從生活中的例子詮釋研究等比數列的必要性,讓學生自己舉例,觀察發現等比數列項與項之間的關系,以上教學環節設計有助于完成教學目標1中認識、理解數列中的等比關系。
2.抽象概括,概念建構
3.正反辨析,概念深化
例1 判斷下列數列是否為等比數列,如果是,求出公比,如果不是,請說明理由。
(2)2,2,2,2,2,…(3)0,1,2,4,8,…
思考:等比數列的項和公比能否為0?
例2 求出下列等比數列中的未知項。
(1)2,a,8.
等比中項:如果在a與b中間插入一個數G,使a,G,b成等比數列,那么G叫作a與b的等比中項。
思考:a,b的符號有什么特點?你能用a與b表示G嗎?
設計意圖:通過正反例的辨析,使學生感受和理解定義中的意義,深化學生對“等比”這一本質特征的認識,并注意因為“等比”的做商性,所以等比數列的項和公比不能為0。
4.類比研究,公式推理
(1)你能寫出該數列的第5項,第100項嗎?
(2)你是用哪些量來計算上述數列的第100項,刻畫數列的通項公式的?
(3)你又是用什么方法得到通項公式的呢?例3 在等比數列{an}中,
(1)已知a1=3,q=-2,求a6。
(2)已知a1=1,q=2,an=6,求n。
設計意圖:通過問題串的形式指出研究通項公式的合理性和必要性。引導學生類比等差數列通項公式的推導方法(累加法),類比得到累乘法。類比的思想在“累乘法”的引出時得到了進一步強化。在累乘法的推導中還要注意嚴謹性。
思考:在同一直角坐標系中,通項公式為an=2n-1的數列的圖象和函數y=2x-1的圖象,體會他們之間的關系。
趣味辨析:某數學家曾言:如果能將一張紙對折38次,就能順著它爬上月球。請課后去算算(紙張厚度以0.07mm為標準),這位科學家為何敢夸下????
設計意圖:體會等比數學與指數函數之間的聯系,理解數列是特殊的函數。
就本課而言,學生已學習了“數列”和“等差數列”,對數列的感性認識非常豐富,有了一定的學習經驗。引入一個既開放又具有思想性的問題,能有效推動學生主動思考,且需每一個學生都能給出自己的答案。對比體會研究等比數列的必要性,結合史實和生活中的問題詮釋研究等比數列的必要性。
教學中以“代數學的根源在于代數運算和運算律”為指導思想,類比于實數的加、減、乘、除運算,從運算的角度引導學生發現和提出問題、認識和解決問題,這就是一種系統思維的方式。等差數列的要素是“作差”和“差相等”,等比數列的要素是“作比”和“比相等”,前者是“運算”后者是“結果”。當然,還有等和、等積數列,但它們的研究價值不大,這也從側面論證了研究等差、等比數列的必要性、合理性。
本節等比數列的概念課,老師摒棄傳統的“一個定義,三項注意,馬上解題”的教學模式,獨白式的講解很少,而是精心設計好一系列的問題串以“小組合作”的形式展開本節課的教學。通過“小組合作”的方式,構建了“微型學習共同體”。