為“理解”而教

摘要：為“理解”而教，基于深度學習的需要、課程改革的訴求、未來公民核心素養的呼喚等。從目標指向、學習機理、核心要素三個維度闡釋為“理解”而教的內涵，建構“經驗性理解→工具性理解→結構性理解→創新性理解→觀念性理解”的“數學理解層級模型”，并結合案例，從情境探學、交流展學、關聯拓學、遷移評學、反思省學等五個方面闡明實施路徑。

關鍵詞：數學理解;小學數學;深度學習;層級模型

本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃2020年度重點課題“深度學習視域下小學數學理解性學習的實踐研究”（編號：xcb/2020/07）的階段性研究成果。

一、為“理解”而教的提出背景

（一）深度學習的需要

關于深度學習，理論研究與實踐探索都得到了廣泛的重視。

以下論點可以帶給我們諸多啟發：“深度學習過程著眼于學生對所學內容的整體理解?！薄吧疃葘W習是一種基于理解的學習?！薄皵祵W學習必須糾正一個傾向：不講理解，或是停留于日常經驗與直觀感知……也正因此，很多學生看上去似乎已經懂了，也能正確解答相應的常規性問題，但卻很難說已經達到了真正的理解?！薄盎钚灾R是以深度理解為基礎的，是有活力、可建構、跨學科的，既能相互聯結，又能解決問題，能孕育、發展出新的知識，更是終身學習的必要條件?！憋@然，追求“理解”應成為深度學習的一個向度。

（二）課程改革的訴求

在一次小學數學學業水平測試中有一道題：

學校舉行廣播操表演，每行有12人，一共有16行（如下頁圖1）。小明通過豎式計算（如下頁圖2）知道一共有192人參加表演。

圖2的豎式中箭頭所指的可以用圖（）（下頁圖3—圖6為可選選項）框中的點來表示。

數據顯示，某區學生該題的錯誤率高達45%。這引發了我們的反思。追根溯源，我們平時的教學過于強化算法、弱化算理，練習的關注點都是如何快速地算出結果，而沒有關注學生是否理解每一步的數學意義。

進一步反思，當下教學活動的任務主要是往“倉庫”里填“知識”，以知識為中心的講解、訓練雖有助于記憶事實、形成技能、獲得結果，卻不能形成真正的數學理解。長此以往，不僅制約了學生數學學習質量的提升，還將數學變成了令人害怕的、剝離了豐富血肉的“枯骨般的數學”。為“理解”而教，成為當下小學數學深化課改的必然訴求。

（三）未來公民核心素養的呼喚

在工業時代，教學主要是圍繞知識的傳遞來進行的，對學習者的評價重心在于知識的記憶。而進入信息時代，許多知識通過“百度”便可以搜索到，在這樣的背景下，教學的重心應該如何轉變？蔡元培先生的話給我們啟示：“教育者，非為已往，非為現在，而專為將來?！薄盀閷怼?，即考慮未來的公民需要怎樣的核心素養。2016年9月，《中國學生發展核心素養》發布，其中的一些要點引人注目：“崇尚真知”“尊重事實和證據”“邏輯清晰”的理性思維;“具有問題意識”“獨立思考”“多角度、辯證地分析問題”的批判質疑;“能自覺、有效地獲取、評估、鑒別、使用信息”的信息意識;“能依據特定情境和具體條件，選擇制訂合理的解決方案”的問題解決等。而這一切都要建立在“理解”的基礎之上。

二、為“理解”而教的內涵闡釋

從現代心理學的視角觀察“理解”，“理解實質上是學習者以信息的傳輸、編碼為基礎，根據已有經驗及認知結構，主動建構內部的心理表征，進而獲得心理意義的過程”。從教育學的視角觀察“理解”，最為知名的是“理解的六側面，即：能解釋、能闡明、能應用、能洞察、能神入、能自知”。在小學數學中，理解是“一個進行中的、動態的、非線性的且反反復復建構組織的過程”，是“對數學知識的正確、完整、合理的表征”，是“學生在理解基礎上的數學學習，也即，通過這樣的學習，學生獲得了對數學的理解”。本文試從如下三方面闡釋為“理解”而教的主要內涵。

（一）目標指向：學科育人

會解題、會計算是數學學習的基礎，但不是數學學習的全部?！袄斫庑詫W習”倡導進一步去反思為什么要這樣做、是怎樣做的，盡可能去體悟數學家發現數學知識的過程，數學家對數學本質的論述，數學對人類文明的作用，即“理解數學”。

比如，教學“用數對確定位置”，可相機介紹“笛卡兒從蜘蛛織網聯想到坐標”的數學故事。又如，教學“圓”，可以相機介紹“圓，一種同長也”“圓是世界上最美的圖形”等論述，既加深學生對圓特征的認識，也讓學生感受中外古代數學家、哲學家的智慧。再如，教學“兩位數乘兩位數”，除了教材上的一般計算程序（豎式），還可以介紹我國古代的“鋪地錦”算法，思考“鋪地錦”算法與豎式計算的內在關聯，有助于學生加深對豎式的理解，進而比較算法的優劣，形成數學思維和數學意識;同時，感受中國古代數學家的智慧，燃起濃濃的民族自豪感。這是生動的“立德樹人”“學科育人”。

（二）學習機理：構建聯系

為“理解”而教的過程就是師生共同建立數學知識結構的過程。恰如希伯特與卡彭特所言，“數學概念的理解，是指它成了學生內部心理網絡的一個部分……理解的程度是由結構內部聯系的數目和強度來確定的……隨著網絡的變大和組織的更完善，理解就增長了”。

比如，教學“乘法”，不是機械地讓學生去背乘法口訣，而是需要提供“為什么要學乘法？”這樣一個建立知識結構體系的前提性問題，即“乘法是加法的簡便運算，當很多個相同加數連加，人們感覺到不方便了”。又如，還是教學“乘法”，為什么2+2+2=6既可以寫成2×3，還可以寫成3×2？如果停留于“乘法是加法的簡便運算”是無法解釋的。這就需要通過畫出一個2×3的點子圖或方陣圖，也可通過一個具體的問題“每2臺電腦一組，有3組;每3臺電腦一組，有2組”，來幫助學生理解與思考?！巴环鶊D，橫著看是2×3，豎著看就成了3×2?！毙屡f知識之間、不同表征之間的豐富聯系，有效地幫助學生達成對數學的深刻理解，讓學生體悟到“原來如此”。

（三）核心要素：學以致用

為“理解”而教，要求學生能靈活地遷移所學知識。遷移主要表現為在一種新的情境中，靈活地運用所學的知識以及相關技能。

比如，“簡便運算”教學成功的標志不在于學生“題目要求簡便運算才使用簡便運算”，而是“看到這道題可以簡便運算，我就使用簡便運算”，甚至“這道題原來不可以簡便運算，我想辦法讓它可以簡便運算”。又如，“解決問題的策略——畫圖”教學成功的標志不在于學生“題目要求畫（線段）圖才畫（線段）圖”，而是“遇到含有復雜的倍數、相差等數量關系的問題時，能主動想到并能畫出（線段）圖來幫助分析”;再進一步，遇到需要“一一列舉”或“列表”的相關問題時，能靈活地辨別和使用相關策略，而不是機械套用畫圖策略。

三、為“理解”而教的實施路徑

由于小學數學學科有其自身的特點，如嚴密的邏輯性、高度的抽象性、知識的系統性、學習的連貫性和廣泛地運用符號等，要想實現為“理解”而教，需要對應理解的層級，精心設計教學活動?；谏鲜鏊伎?，在借鑒有關成果的基礎上，筆者建構了“理解”層級發展模型（如圖7），以下結合具體案例分級闡釋。

（一）情境探學：激活經驗性理解

學生對日常生活中的真實世界與客觀對象有一些自然體悟和原初認識，當然，隨著年級的升高，許多已學知識和方法也成為學生的原初經驗。不過，受年齡、閱歷、知識等限制，這樣的經驗大多原始且雜亂、零碎而局部。原初經驗對學生來說非常重要，是學生理解數學知識的內在依據。以原初經驗為根，“別的知識方可接得上去”;而如果沒有立足原初經驗，數學知識對學生來說，宛如水中月、鏡中花。

比如，《角》一課教學。課堂伊始，教師安排的第一個活動就是“畫角”：你認為什么是角？請把你心目中的角畫在紙上。有的學生畫的是桌角，有的學生畫的是羊角，有的學生已經能畫出“數學中的角”。這樣的設計，可以了解學生對角的認識，暴露其原初經驗。教師根據學生的情況，引導學生對既有的原初經驗進行篩選、整理、優化和提升，區分生活中的角與數學中的角，實現經驗的改造或重組。

（二）交流展學：達成工具性理解

隨著學生對自身的原初經驗進行整理、組織、概括與重新表征，并使經驗性理解逐步擺脫原初經驗中的非本質屬性，會用概念判斷某一事物是否為概念的具體例證，便步入了形式化理解的層級，也叫工具性理解。關于工具性理解，有一個生動的比喻“屠夫與刀”：工具性理解水平的“屠夫”，只要知道如何使用“刀”就可以了，不需要知道“刀”是如何制造的等其他關聯的內容。

比如，對于“分數的意義”，學生通過一個物體、一個圖形、一個計量單位、許多物體組成的一個整體等若干例子，概括提煉出“把單位‘1平均分成若干份就是分母，表示這樣的一份或幾份就是分子”，就可以說明所有的分數的意義了，這就是工具性理解。至于“一個圖形的二分之一與一個整體的二分之一的區別與聯系”“單位‘1是可以動態變化的”等諸多問題暫時不去關注。

（三）關聯拓學：實現結構性理解

與工具性理解只關注單一數學概念或知識的學習不同，結構性理解往往會把所學知識與有著各種關聯的其他知識進行比較、分類、分層，從而找出它們的相同點、不同點以及層次關系?！叭绻芙M織起有效的認知結構，并使之成為內部知識網絡的一部分，那么就說明是理解了?！睂δ骋痪唧w的數學知識而言，網絡的結點和通道越豐富，對其本質的理解就越深刻。

比如，《認識千米》一課教學。在學生有了走100米的直接感受的基礎上，教師告知“像這樣的10個100米就是1000米，也就是1千米”，再告知“我們的操場1圈有300米，3圈多一些就是1千米”，學生就會有間接的感受。這是一種體驗關聯。當然，僅僅如此還不夠，還應該引導學生關聯之前所學的“毫米”“厘米”“分米”“米”等舊知，形成“毫米10厘米10分米10米1000千米”這樣的結構性理解，以便于知識儲存。當然，除了這樣的縱向關聯，還可以橫向關聯。如圖8所示，長度單位之間可以結構化，面積單位、質量單位等也可以結構化。

（四）遷移評學：獲得創新性理解

如果學生沒有達到結構性理解，那么將難以建構完善的認識結構;而學生沒有達到創新性理解，則難以在陌生的問題情境中應用數學知識解決問題。還是以“屠夫與刀”來類比：高水平的“屠夫”不僅知道如何用“刀”，對“刀”的好壞也能加以甄別。如果“屠夫”能創造性地用“刀”解決一些稍復雜的問題，并發現“刀”的不足，對“制刀”提出問題和建議，這就獲得了創新性理解。

比如，《認識千米》一課教學。學生形成“毫米10厘米10分米10米1000千米”這樣的結構性理解后，如果能提出“之前學的相鄰長度單位間的進率是10，而米和千米的進率為什么是1000？”“有沒有‘十米‘百米？”“為什么不學‘十米‘百米？”等問題，就標志著學習進入創新性理解階段。

同樣的標志還有，學生在學習“公頃”時提出的“平方米和公頃的進率為什么是10000？”“平方米和公頃之間還存在什么面積單位？”等問題。

（五）反思省學：走向觀念性理解

當學生的學習達到了結構性理解和創新性理解之后，還可以再上升一個層級，那就是觀念性理解（也叫文化性理解）。數學作為一種文化，所蘊含的思想方法、理性精神、對社會的重要推動作用、獨一無二的美，會影響學生的一生。

如前文所述，教學“用數對確定位置”時，相機介紹“笛卡兒從蜘蛛織網聯想到坐標”的數學故事;教學“圓”時，相機介紹“圓，一種同長也”“圓是世界上最美的圖形”等論述;教學“兩位數乘兩位數”，在豎式計算方法后，介紹“鋪地錦”算法……長此以往，學生可以逐步形成對數學綜合的、整體性的理解，對數學高屋建瓴式的體察與感受，進而對數學產生積極情感。

當然，建構屬于學生的數學理解，支持學生的深度學習，是數學教學的本質追求，理應成為小學數學教育工作者的不懈追求。今后，也還需要做更為深入的探索。

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（吳存明，江蘇省南京市溧水區洪藍中心小學副校長。南京市學科帶頭人。江蘇省優秀教育工作者，江蘇省教育科研先進個人，南京市中青年拔尖人才。獲評首屆新一輪南京市“斯霞獎”。著有《小學數學教學問題與對策》《讓學習深度發生：小學“讓學課堂”的思考與實踐》等。）