基于波利亞解題理論的極值點偏移問題教學案例

廣東省廣州市華南師范大學(510631) 黃麗純 黃詩尹

1 教學背景

函數是貫穿高中數學課程的主線,而導數是研究函數基本性質的重要工具.歷年來,函數與導數常以壓軸題的形式出現在高考數學中,而“極值點偏移問題”自2010年出現于天津高考理科卷以來,一度成為函數與導數知識板塊的熱門考點.

對于初次接觸該類問題的學生而言,理解極值點偏移問題“是什么”以及“怎么做”存在較大困難.為了幫助學生掌握解決極值點偏移問題的通性通法,解決學生知其然而不知其所以然的問題,本文對此專題進行教學設計,旨在為一線教師上好極值點偏移問題的第一課時提供參考,為學生有效理解并掌握此類問題提供學習資源.

2 教學理念

本節課分為兩大部分:極值點偏移的含義和解決極值點偏移問題的通性通法.

根據何小亞(2012)[1]提出的有關數學概念形成的理論,學生獲取“極值點偏移的含義”的方式是“概念的同化”,故本節課基于學生已有的“函數的極值與導數”的認知結構進行教學,以便于學生接納新知,建構良好的“極值點偏移含義”的認知圖式.

為深度探究極值點偏移問題的求解策略,剖析解決問題的思路來源,本節課根據波利亞的“怎樣解題”理論[2]設置問題串,引導學生運用已有知識探索問題解決的方案,為學生掌握解決極值點偏移問題的通性通法搭建“腳手架”.

3 設計的創新之處

3.1 選題有價值

極值點偏移問題既是熱點,也是難點,對于提升學生對函數與導數知識板塊的理解有重要作用.近年來,關于“極值點偏移問題”的文獻層出不窮,大多數學者熱衷于研究此類問題的題設形式、解題策略,但對于應如何進行極值點偏移問題的專題教學,卻少有學者進行研究.因此,以極值點偏移問題為選題,創新教學設計并開展課堂實證,具有創新價值.

3.2 與技術結合

本節課的設計充分使用現代信息技術,借助GeoGebra軟件,引導學生主動參與并感性認知極值點偏移問題的特點,進而發現并探究解決問題;利用智慧課堂教學系統,鼓勵學生面向全班進行展示講解,深化學生對知識的理解,開發學生的創新潛能.

4 教學設計

4.1 教學目標

(1)理解極值點偏移問題的含義,掌握解決極值點偏移問題的通性通法;

(2)靈活運用導數的相關知識,掌握不同函數類型的極值點偏移問題求解策略;

(3)培養發現問題、解決問題的能力,滲透數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養.

4.2 情意基礎

高二階段學生普遍具有較強的學習自主性.善于思考,樂于探究,但仍有不少學生對數學學習存在信心不足和畏難的現象.據此,本節課通過學生動手繪圖,直觀感知極值點偏移的特點,總結極值點偏移的含義、類型及基本性質,幫助學生從具體實例中掌握一般性的數學概念.通過層層遞進的問題串這一腳手架,引導學生一步步探究解決此類問題的通性通法,幫助學生完成知識生成過程,實現感性認識向理性認識的飛躍.

4.3 教學重難點

重點:極值點偏移的含義、解決極值點偏移問題的通性通法;

難點:解決極值點偏移問題的通性通法.

4.4 教學方法與手段

引導探究法、問題驅動法

4.5 教學過程

4.5.1 情境引入

【任務1】用GeoGebra 軟件畫出下列函數的圖像,觀察圖像的特點.

(1)f(x) = (x-3)2-2;(2)f(x) =xe-x(2010年天津高考);(3)f(x) = (x-2)ex+(x-1)2(2016年全國Ⅰ卷理科).

圖1

圖2

圖3

【問題1】求出函數的極值點x0,并比較函數圖像在極值點兩端的變化快慢情況.

【問題2】在所得圖像中畫出一條垂直于y軸且與函數f(x)有兩個交點(分別為x1,x2,且x1＜x2)的直線l,并比較x0與的大小關系.

圖6

【問題3】結合問題1 與問題2,你發現了什么?

設計意圖:通過繪圖,觀察三個函數圖像在極值點x0兩側的變化快慢特點,即當x0=時,極值點x0左右兩端函數變化快慢一樣;當x0＜時,極值點x0左端圖像變化快于右端;當x0＞時,極值點x0右端圖像變化快于左端.從而幫助學生從直觀上感受“極值點偏移”的含義,獲得感性認識,為接下來進一步分析“什么是極值點偏移”奠定思維基礎.

4.5.2 新知探究

【問題4】 如圖4 所示,當x0=(即函數f(x)關于直線x=x0對稱)時,x0左右兩端到其距離相等的點對應的函數值有何大小關系?

圖4

圖5

表1 極值點偏移問題中的大小關系

此時,我們稱極值點x0相對于中點發生偏移,簡稱“極值點偏移”.

【問題6】極值點偏移有哪些類型?

分析:以極小值點的偏移為例,若x0＜,則稱為極值點左偏,如圖7;若x0＞,則稱為極值點右偏,如圖8.

圖7

圖8

設計意圖:通過層層設問,比較函數值f(x0+x) 和f(x0-x)的大小關系,理解并掌握極值點偏移的含義和基本性質.

【問題7】如何證明極值點偏移問題?

設計意圖:為接下來通過具體例題深入學習極值點偏移問題的證明方法做思維準備.

4.5.3 例題精講

【例題】 (2010年天津卷理第21 改編) 已知函數f(x)=xe-x(x ∈R).

(Ⅰ)求函數f(x)的單調區間和極值;

(ⅠⅠ)若x1/=x2,且f(x1)=f(x2),證明:x1+x2＞2.

分析:通過第(Ⅰ) 問的求解可知函數f(x) 的增區間為(-∞,1),減區間為(1,+∞),f(x)有極大值f(1) =無極小值.第(ⅠⅠ)問是典型的極值點偏移問題,教學難點在于學生初次接觸此類問題,不懂得如何根據極值點x0構造并運用差函數F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)來解決問題.在此,本次教學基于波利亞解題理論設置問題串,以突破重難點.

教學過程 設計意圖弄清問題 【問題8】有哪些已知條件? 要證明什么?找出已知數與未知數之間的聯系【問題9】可以怎樣變換x1+x2 ＞2 的形式?【預設1】x1 ＞2-x2.【追問9.1】x1,2-x2 的取值范圍分別是多少?【追問9.2】在此不妨設0 ＜x1 ＜1 ＜x2 ＜2,那么0 ＜2-x2 ＜1.根據函數f(x)在區間(-∞,1)上的單調性,f(x1),f(2-x2)有何大小關系?【追問9.3】如何證明f(x1)＞f(2-x2)?【問題10】回到要證明的問題,除了第一種變換方式外,還有其他變換方式嗎?【預設2】x1+x2 2 ＞1.【追問10.1】注意到1 是f(x)的極大值點,要證x1+x2 2 ＞1,就是要證明什么?通過分析法將自變量不等關系的證明轉化為函數值不等關系的證明,第一次變形轉化后學生遇到證明瓶頸,根據波利亞解題理論中強調的“你能不能

images/BZ_47_537_432_944_679.png圖9師生活動:運用GeoGebra 軟件再次繪制函數f(x)=xe-x 的圖像(如圖9 所示),以驗證學生的猜想.【問題11】觀察圖像,聯系前半節課所學的知識,函數的極大值點1 發生左偏,其左右兩邊的函數圖像有哪些特點?【追問11.1】如若證明了f(1+x)＞f(1-x),是否可以證明x1+x2 ＞2?【追問11.2】應如何證明f(1+x)＞f(1-x)?用不同的方法重新敘述它? ”,引導學生對原不等式再次變形轉化.通過不等式證明的基本思路(作差法),學生體會差函數的來源,有效梳理求解策略,完成求解計劃的擬訂.實行計劃教師板書示范解題過程(ⅠⅠ)解:構造函數F(x)=f(1+x)-f(1-x)= (1+x)e1+x - (1-x)e1-x ,(x ＞0)則F′(x)=x( 1 e1-x - 1 e1+x)∵x ＞0 ∴F′(x)＞0 恒成立,∴F(x)在(0,+∞)上單調遞增,∴F(x)＞F(0)=0恒成立,即f(1+x)＞f(1-x)對x ∈(0,+∞)恒成立,又∵x1 /=x2,不妨設x1＜x2,由(1)知x1 ＜1 ＜x2,∴f(x1)=f(x2)=f[1+(x2-1)]＞f[1-(x2-1)]=f(2-x2),又∵x1 ＜1 ＜x2 ∴x1,2-x2 ∈(-∞,1),而f(x)在(-∞,1)上單調遞增,∴x1 ＞2-x2 ∴x1+x2 ＞2,得證.教師展示規范的解題過程,完成計劃.總結求解策略求解極值點偏移問題的一般步驟(要點:構造函數,兩次單調):(1)求出函數f(x)的極值點x0;(2)構造函數F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)(注意函數F(x)的定義域);(3)由F(x)的單調性確定f(x0+x)與f(x0-x)的大小關系;(4)由f(x1)=f(x2)=f[x0+(x2-x0)]＞(或＜)f[x0-(x2-x0)]=f(2x0-x2),得到f(x1)與f(2x0-x2)的大小關系;(5)結合f(x)的單調性得到結論.教師重新梳理求解策略,加深學生的理解.

4.5.4 鞏固提升

【練習】 設函數f(x) = ex -ax+a(a ＞0),若存在x1,x2且x1/=x2,滿足f(x1)=f(x2).

(Ⅰ)求f(x)的極值;(ⅠⅠ)證明:x1+x2＜2 lna.

【變式】將(ⅠⅠ)改為證明:＜0,該如何證明?

分析:練習的設計旨在幫助學生鞏固所學內容,同時實現思維提升.練習中的第(Ⅰ) 問可求得x= lna為函數f(x)的極小值點;第(ⅠⅠ)問要證明的是函數f(x)的極小值點x= lna右偏,運用上述求解策略可完成證明,但與例題相比,本題含有參數a,抽象性更高,更具一般性.

另外,變式的設計旨在幫助學生積累更多極值點偏移問題的題設形式,從而幫助學生在鞏固已學的同時,建構更為系統全面的“極值點偏移問題”的認知結構.變式等價于證明而由第(ⅠⅠ)問中可知f′(x)=ex-a為R 上的單調遞增函數,且＜lna,故得證.

4.5.5 課堂小結

【問題12】本節課你有何收獲?

4.5.6 課后作業

(1)(2013 湖南文)已知函數f(x) =,證明:當f(x1)=f(x2)(x1/=x2)時,x1+x2＜0.

(2)已知函數f(x)=ex-ax有兩個不同的零點x1,x2,其極值點為x0.

(Ⅰ)求a的取值范圍;(ⅠⅠ)求證:x1+x2＜2x0;(ⅠⅠⅠ)求證:x1+x2＞2;

5 教學反思

5.1 合理評估把握教學容量

極值點偏移問題題設形式多樣,解法變化萬千,難度較大,教師應該合理評估學生的思維水平,對第一課時的教學內容安排不宜過滿,以免學生因初學時課堂節奏過快而對此類問題產生畏難情緒.

從實際上課效果來看,即便對于廣州市重點中學重點班的學生,在理解極值點偏移問題的含義后,也只能在課上學習完成一道例題和一道練習,對于其他題設形式和解法,需留到下一課時再逐步突破.

5.2 層層遞進突破思維難關

教師應該引導學生從已有知識出發,分步解決問題.既可以利用綜合法,借助函數圖像的性質來構造新函數,從而得到不等關系式;也可以利用分析法,從所要證明的式子出發,通過變形和等價轉化,推導出所需滿足的條件.本節課的教學采用了對例題設置問題串的方式,將解題思路分解成多步,以便于學生深度學習解決極值點偏移問題的通性通法.

從作業情況來看,大多數學生都采用了課上講解的解題步驟來完成解答;此外,部分基礎較好的同學不局限于通性通法,還會借助函數圖像的特殊點與基本性質等方法解決問題,整體上作業的完成情況是較好的.

5.3 善學善用熟練技術操作

本次授課的班級使用了暢言智慧課堂教學系統.本節課的教學采用了智慧課堂與傳統課堂相結合的模式,其中涉及到信息技術的有:一是教學內容上,在引入環節學生通過Geogebra 軟件繪制三個函數圖像,從直觀上初步感受極值點偏移問題;二是課堂互動上,教師借助“學生講解”功能,使得學生可以向全班展示其學習作品,并進行講解;三是課堂管理上,教師利用“隨機點名”、“屏幕廣播”、“鎖屏”等功能,有效地維持課堂紀律,提高上課效率.

在實際的授課過程中,由于師生對信息技術還不夠熟悉,可能會出現課上短暫的停頓等影響教學進度的情況.因此師生應該有意識地挖掘并熟悉智慧課堂系統里常用功能的技術操作,在合適的時機使用,使信息技術的效益最優化.

6 總結與展望

在本節課的設計與實施中,我們利用信息技術、借助Geogebra 軟件,使得學生對極值點偏移的含義有了直觀的認識;以及結合波利亞解題理論,設置問題串進行探究,總結出了解決極值點偏移問題的通性通法.在今后的教學中,仍需積極探索信息技術與數學教學整合的模式,提高課堂效率,從而提升課堂教學效果.

此外,對于此類難度較大的專題教學,用好基本模型,練熟常規方法,悟透基本思想至關重要.應讓學生在課上知其然,也知其所以然,從而能夠在課堂之外,借助已學的解題思想和方法解決其他相似的問題.

例(拐點的偏移問題) 設函數f(x) =a2x -2aln(ax)(a ＞0),A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是f(x)的圖像上不同的兩點,且滿足f(x1)+f(x2)=0,證明:x1+x2＞