局域共振型隔振系統的低頻振動特性分析

高晟耀 郭 彭 周奇鄭

1.中國人民解放軍92578部隊，北京，1001612.海軍工程大學兵器工程學院，武漢，430033

0 引言

振動是影響精密儀器測量精度的重要環境因素之一，精密儀器對環境振動都有著較為嚴格的要求，某些特殊的精密儀器對環境振動的要求甚至達到了微振動控制量級[1]。目前，精密儀器采用的減振措施對低頻振動都比較敏感[2]，而低頻振動又難以消除，因此，降低低頻振動對精密儀器的影響具有重要意義。

精密儀器的振動控制一直是國內外學者研究的熱點。目前常用的減振措施是在主系統與振源之間安裝隔振裝置或在主系統上布置若干吸振元器件[3]。文獻[4]通過減振器的彈性變形和減振材料的阻尼耗能來降低設備的振動，并進行了試驗驗證。動力吸振器是一種不同于減振器的元器件，因其對低頻振動簡單有效的控制而備受關注。影響動力吸振器減振性能的因素有很多，吸振器的數量、布置方式、阻尼都會在一定程度上影響吸振器的減振性能。文獻[5]針對單跨轉子存在的振動問題，采用了多重動力吸振器的減振方式，研究了不同數量動力吸振器的抑振規律，發現在目標頻段應用動力吸振器能夠有效降低振動，且多重動力吸振器較單個動力吸振器減振性能好。近年來，局域共振[6-7]概念的提出為低頻振動控制問題提供了新思路。局域共振型結構是一種人為構造的周期結構，其減振性能主要依賴于構成單元中微結構的局部共振。溫激鴻等[8]構造了一種周期結構細直梁，并對其彈性波能帶結構進行計算，發現在周期結構細直梁中存在局域共振帶隙。王剛等[9]將局域共振機理與動力吸振器結合引入彎曲振動細直梁結構設計中，并研究了其彎曲波傳播特性，得到了局域共振帶隙，研究發現該帶隙能夠有效抑制振動的傳遞。SANGIULIANO等[10]構建了含不同長度、總附加質量和共振頻率吸振器的有限局域共振梁，研究發現邊界條件能夠降低局域共振梁的減振性能。

本文在局域共振結構相關研究的基礎上，區別于前人無限周期結構的研究思路，探究了有限周期結構下的振動特性。采用局域共振型結構的設計思想，在基體上周期布置若干單自由度吸振器，并將其分別劃分為單振子、雙振子、三振子局域共振元胞，運用模態疊加法計算不同元胞對設備振幅的影響以獲得局域共振元胞的減振規律，并利用粒子群算法對振子的參數進行優化設計。

1 解析模型求解及驗證

1.1 構建解析模型

精密儀器安裝在基體上，基體在外力的作用下發生振動，必然會引起儀器的振動。以精密儀器安裝在簡支梁上為例，為了降低基體在外力作用下產生的低頻振動對精密儀器的影響，在其表面均勻周期布置M個局域共振元胞，每個局域共振元胞中包含N個吸振器，建立圖1所示的基體-隔振設備-吸振器系統的動力學模型。圖1中設備的質量為m0，設備隔振器的剛度為k0，阻尼為c0，與隔振器相連的簡支梁的長度為l，密度為ρ，橫截面積為A，彈性模量為E。隔振設備與梁的連接點為x0，簡支梁受到均布橫向外力F(t)的作用。

圖1 局域共振型隔振系統

圖2所示為局域共振梁結構的單個周期元胞，圖中，單個周期元胞內有N個動力吸振器，且每個吸振器中均包含阻尼元件，阻尼元件的存在不僅能有效拓寬減振頻帶還能一定程度上消耗主系統上的能量[11]。假設梁上第i個吸振器的位置坐標為xi，對應吸振器的質量、剛度和阻尼分別為mi、ki、ci。元胞的長度為a，元胞中N個動力吸振器將整個元胞分成N+1段，每段梁的長度記為aj，則吸振器位置關系可表述為

圖2 局域共振梁結構的單個周期元胞

aj=xi+j-1-xi+j-2

(1)

1.2 解析模型求解

對于細長梁的低頻振動，可以忽略梁的剪切變形以及梁截面繞中性軸轉動慣量的影響，這種梁模型稱為Bernoulli-Euler梁。局域共振型隔振系統可以被看成是一個連續離散耦合振動系統，由連續的簡支梁和離散的吸振器以及隔振設備組成，根據其振動原理，可得到系統的耦合振動方程：

(2)

(3)

其中

(4)

研究簡支梁受到橫向外力F(t)=A0sinωt時設備的振動，根據梁的簡支邊界條件，由模態疊加法可得到梁的橫向振動位移

(5)

Wm(x)=sin(mπx/l)

其中，m為簡支梁的模態階數；Wm(x)為簡支梁在m階模態下的振型函數；Wsm和Wcm分別為簡支梁橫向振動位移的正弦和余弦分量。

在耦合振動方程(式(2))等號兩側乘以簡支梁在n階模態下的振型函數sin(nπx/l)，并對x從0到l進行積分可得

(6)

將式(5)代入式(6)，并由簡支梁的模態正交性可得

(7)

(8)

將式(7)和式(8)代入式(6)并與式(3)聯合，取梁的前Q階模態參與計算，并將耦合振動方程轉化為矩陣形式：

Gq=F

(9)

其中，G為矩陣方程的系數矩陣；F為2(Q+MN+1)維的已知力向量，包含作用在梁上的橫向外力；q為矩陣方程的待求未知向量，可表示為

(10)

其中，Ws=[Ws1Ws2…WsQ]T，Wc=[Wc1Wc2…WcQ]T，Us=[Us0Us1…UsMN]T，Uc=[Uc0Uc1…UcMN]T。

系數矩陣G可表示為

(11)

(12)

(13)

(14)

矩陣K1、K2、K3、K4被定義為剛度矩陣，其中包含了簡支梁本身以及附加吸振器的質量和剛度對局域共振系統振動特性的影響，代表系統剛度成分對耦合振動的貢獻。

(15)

(16)

(17)

矩陣C1、C2、C3、C4被定義為阻尼矩陣，其中包含了吸振器以及隔振設備的阻尼對局域共振系統振動特性的影響，代表系統的阻尼成分對耦合振動的貢獻。

式(9)等號右側已知力向量F可以進一步表述為

(18)

進而可以通過以下表達式計算得到在某激振頻率下待求未知向量的解：

q=G-1F

(19)

假設簡諧力的激振頻率f=ω/(2π)，待求未知向量在各激振頻率[f1f2…fe]下的解可以寫為[q1q2…qe]，結合式(9)可以得到解矩陣的表達式如下：

(20)

結合上述推導過程，已知式(18)中Us和Uc：Us=[Us0Us1…UsMN]，Uc=[Uc0Uc1…

UcMN]T，則各激振頻率下隔振設備的振幅可由下式計算得到：

(21)

其中，u為隔振設備在各激振頻率下的振幅向量，各元素對應激振頻率f。

1.3 解析結果驗證

為進一步驗證解析結果的有效性，本節利用有限元軟件COMSOL對基體-隔振設備-吸振器系統的低頻振動特性進行仿真，在只考慮梁的橫向振動的情況下利用梁物理場(beam)構建出三維直線簡化模型，并劃分為50個邊單元，利用集總機械系統物理場(lms)來模擬梁上振子以及隔振設備，基于模態疊加法取梁的前10階模態參與計算。

考慮有限元模型中梁結構為簡支梁，隔振設備安裝在梁的中點位置，在簡支梁表面施加橫向均布載荷，載荷的幅值大小為1 N，激振力的頻率f在5～50 Hz范圍。取梁的初始計算參數如表1所示，其中ρ、E、υ分別為梁的密度、彈性模量、泊松比，l、B、H分別為梁的長度、寬度、厚度。取隔振設備質量m0=0.5 kg，剛度k0=9×103N/m，阻尼c0=46 N·s/m，隔振設備的固有頻率為21.35 Hz。簡支梁結構的固有頻率可由下式計算得到

表1 簡支梁的參數

(22)

其中，n為整數，表示簡支梁的模態階數。

(a) 無元胞

由圖3a可以看出，圖中出現了兩個共振峰，第一個共振峰對應隔振設備的固有頻率21.35 Hz，第二個共振峰對應簡支梁的第一階固有頻率38.4 Hz。由圖3b可知，在簡支梁表面附加6個元胞之后出現了新的共振峰，共振峰的位置對應吸振器的固有頻率17.08 Hz。為量化解析解和有限元解的一致性，現定義兩者之間的相對誤差ε=dm/xm，其中，dm為解析解和有限元解的絕對誤差平均值，xm為解析解數據的平均值。計算可得在5～50 Hz范圍內附加元胞前后解析解與有限元解之間的相對誤差分別為4.39%和2.98%，解析結果和有限元結果的相對誤差在理想范圍內，驗證了解析計算方法的有效性。

2 低頻振動特性研究

隔振設備安裝在簡支梁上，在梁上周期布置若干吸振器形成局域共振型隔振系統，附加吸振器的數量和參數是控制隔振設備振動的重要因素。本節以單振子元胞為例，研究了吸振器的數量、剛度、質量以及阻尼對隔振設備低頻振動特性的影響。梁與隔振設備的參數與1.3節算例保持一致，假設吸振器的初始計算參數為：質量比μ=0.16、固有頻率比γ=0.8、阻尼比ζ=0.1。

2.1 附加振子對梁的振動特性的影響

以梁與隔振設備的耦合為例，對比分析設備與梁耦合前后梁的固有頻率的變化。由式(21)可計算出未與隔振設備耦合時簡支梁的前4階固有頻率，并利用有限元軟件COMSOL計算出與隔振設備耦合后梁的前4階固有頻率，對比如表2所示。

表2 簡支梁的固有頻率

由表2可以看出，與耦合前相比，耦合后梁的各階固有頻率發生了移位，且在21.4 Hz能夠發生共振，該頻率對應的是隔振設備的固有頻率，隔振設備中的阻尼成分也使得耦合后梁的各階固有頻率變成了復數形式。由表2對比可知，耦合作用對高頻段梁的固有頻率的影響小于對低頻段梁的固有頻率的影響。由此可知，附加振子與梁的耦合作用會對梁的振動特性產生影響，體現在梁的各階固有頻率發生了改變。

2.2 吸振器數量對隔振設備振動特性的影響

取吸振器的質量比μ=0.16、固有頻率比γ=0.8、阻尼比ζ=0.1，通過計算5～50 Hz范圍內隔振設備的振幅，分析梁上等間隔布置的吸振器的數量N對隔振設備振動特性的影響，如圖4所示。

圖4 不同吸振器數量下的設備振幅

將梁上布置吸振器前后隔振設備的振幅最大值分別記為Wmax0和Wmax，吸振器的減振效率可以表示為(Wmax0-Wmax)/Wmax0。由圖4可知，在吸振器數量取5時減振性能最優，減振效率為11.34%，隨著吸振器數量的增多隔振設備的幅值逐漸減小后又增大，減振效率從1.21%增至11.34%后又降至8.69%。由于吸振器與梁的耦合作用，在10～30 Hz頻率范圍內由原來的一個共振峰變為兩個共振峰，新增的共振峰對應吸振器的固有頻率。在給定吸振器的初始參數下，吸振器的數量會影響減振效率，但并不是吸振器數量越多減振效率越高，吸振器數量的選擇還需結合實際需求。

2.3 吸振器質量比對隔振設備振動特性的影響

假定吸振器的固有頻率比γ=0.8、阻尼比ζ=0.1，取吸振器數量N=6，通過計算5～50 Hz范圍內隔振設備的振幅，分析梁上附加吸振器的質量比μ對隔振設備振動特性的影響，如圖5所示。

圖5 不同吸振器質量比下的設備振幅

由圖5可知，隨著質量比的增大，吸振器的質量逐漸增大，吸振器與梁的耦合作用增強，在10～20 Hz頻率范圍內出現了新的共振峰。已知梁上未布置吸振器時設備振幅最大值為21.4 μm，吸振器的質量比μ分別取0.08、0.16、0.24時，對應的減振效率分別為10.46%、8.69%、2.18%。在目標頻率范圍內，隨著吸振器質量比的增大，減振效率先升高后降低。在30～50 Hz頻率范圍內隨著質量比的增大，吸振器的減振性能逐漸提高。

2.4 吸振器固有頻率比對隔振設備振動特性的影響

假定吸振器的阻尼比ζ=0.1，取吸振器數量N=6，吸振器質量比μ=0.16，通過計算5～50 Hz范圍內隔振設備的振幅，分析吸振器的固有頻率比γ對隔振設備振動特性的影響，如圖6所示。

圖6 不同吸振器固有頻率比下的設備振幅

由圖6可知，在目標頻段，隨著吸振器固有頻率比從0.4逐漸變化至0.83，吸振器固有頻率增大，對應的共振峰逐漸向右偏移且峰值逐漸增大，隔振設備固有頻率對應的共振峰值逐漸減小。在固有頻率比取0.4和0.6時，吸振器固有頻率對應的共振峰值遠小于設備固有頻率對應的共振峰值，此時隨著固有頻率比的增大，減振效率由2.71%增至8.69%。在固有頻率比取0.8和0.83時，吸振器固有頻率對應的共振峰值超過了設備固有頻率對應的共振峰值，從而對減振效率產生主要影響，目標頻段隔振設備的振幅最大值增大，減振效率又因此降至2.58%?？傊?，隨著吸振器固有頻率比的增大，減振效率在目標頻段先升高后降低。

2.5 吸振器阻尼比對隔振設備振動特性的影響

取吸振器數量N=6，吸振器質量比μ=0.16，固有頻率比γ=0.8，通過計算5～50 Hz范圍內隔振設備的振幅，分析吸振器的阻尼比ζ對隔振設備振動特性的影響，如圖7所示。

圖7 不同吸振器阻尼比下的設備振幅

由圖7可知，在10～30 Hz頻率范圍內，吸振器阻尼比取0.08和0.1時，出現了兩個共振峰，分別對應著吸振器的固有頻率和設備的固有頻率，此時減振效率分別為4.43%和8.69%。吸振器阻尼比取0.18和0.2時，原來的兩個共振峰變成了一個峰值較小且寬度較寬的共振峰，這是由于吸振器中阻尼成分的逐漸增大使得兩個共振峰發生了疊加。由于在目標頻段，設備振幅最大值減小，此時的減振效率增至12.20%。在30～50 Hz頻率范圍內，隨著阻尼比的增大，隔振設備的振幅逐漸減小且振動趨于平緩。

3 吸振器的參數優化及分析

3.1 參數優化

假設簡支梁以及隔振設備的各參數與1.3節算例一致，簡支梁表面均勻附加吸振器總數N=6，各吸振器的質量比均為μ=0.16，在吸振器總數一定的情況下，將其分別劃分為單振子、雙振子、三振子元胞，取優化變量為吸振器的固有頻率比γ和阻尼比ζ，取優化的目標函數為5～50 Hz范圍內隔振設備的振動響應函數J，表示如下：

J=αWmax+βWavg

(23)

其中,Wmax、Wavg分別為目標頻段隔振設備振幅最大值和平均值，α和β分別為分配給Wmax和Wavg的權重系數，取α=0.7，β=0.3。吸振器的固有頻率在被控對象的固有頻率附近時將有效減小被控對象的振動幅值[12]，這里確定優化變量的取值范圍為0.5<γ<1.5,0.05<ζ<1.2。

取粒子群優化算法中學習因子的數值為2，初始權值wini=0.9，最終權值wend=0.4，并采用線性遞減權值策略計算每次迭代時的慣性因子，即G=(wini-wend)(Gk-g)/Gk+wend，其中Gk和g分別表示最大迭代次數和當前迭代次數。在種群規模取N=100，最大迭代次數Gk=80時，對于單振子、雙振子、三振子的優化均能達到收斂，以下討論優化結果。

3.1.1單振子元胞

梁上均勻布置的6個吸振器劃定為6個局域共振元胞，每個元胞包含1個振子。為驗證優化結果的有效性，對比分析了附加單振子元胞優化前后的隔振設備在目標頻率范圍內的振幅。附加動力吸振器的初始參數如表3所示。

表3 單振子元胞初始參數

利用粒子群算法對元胞中振子的固有頻率比和阻尼比進行優化，可得到優化后的相關參數為γ=0.7221，ζ=0.1321。將參數代入振動方程得到優化前后設備振動幅值，如圖8所示。由圖8可知，在10～30 Hz頻率范圍內，存在兩個共振峰分別對應吸振器的固有頻率和設備的固有頻率。優化前，吸振器固有頻率對應的共振峰值大于設備固有頻率對應的共振峰值，前者對減振效率產生主要影響。優化后，吸振器固有頻率對應的共振峰值明顯降低，低于設備固有頻率對應的共振峰值。對數據進一步處理，目標頻段隔振設備振幅的最大值由優化前的19.5 μm降至優化后的18.7 μm，減振效率也由2.45%增至8.69%。

圖8 單振子元胞優化前后設備振動圖像

3.1.2雙振子元胞

梁上均勻布置的6個吸振器劃定為3個局域共振元胞，每個元胞中包含2個振子，假設元胞中振子的質量比分別為μ1、μ2，振子的固有頻率比分別為γ1、γ2，振子的阻尼比分別為ζ1、ζ2，其中μ1=μ2=0.16。利用粒子群算法對振子的固有頻率比和阻尼比進行優化，得到優化后的振子參數如表4所示。

表4 雙振子元胞優化后參數

將優化后的參數代入振動方程得到隔振設備振動幅值變化曲線，如圖9所示。由圖9可知，雙振子元胞比單振子元胞具有更好的減振性能，在目標頻段，優化后的雙振子元胞對應的隔振設備振幅最大值為17.5 μm，與優化后的單振子元胞的18.7 μm幅值相比有了明顯改善。雙振子元胞優化后的減振效率為18%，是單振子元胞優化后的減振效率的兩倍有余。

圖9 雙振子元胞優化后設備振動圖像

3.1.3三振子元胞

梁上均勻布置的6個吸振器被分為2個元胞，每個元胞包含3個振子，假設每個元胞中振子的質量比分別為μ1、μ2、μ3，振子的固有頻率比分別為γ1、γ2、γ3，振子的阻尼比分別為ζ1、ζ2、ζ3，其中μ1=μ2=μ3=0.16，利用粒子群算法對振子的固有頻率比和阻尼比進行優化，優化后的參數如表5所示。

表5 三振子元胞優化后參數

將優化后的參數代入振動方程得到優化前后隔振設備振動幅值變化曲線，如圖10所示。三振子元胞的減振性能與雙振子元胞相近且稍優于雙振子元胞，在10～30 Hz頻率范圍內出現了3個共振峰，這是設備以及元胞中不同固有頻率的振子與梁耦合的結果，優化后的三振子元胞對應的隔振設備振幅最大值為17.47 μm，減振效率為18.3%。

圖10 三振子元胞優化后設備振動圖像

3.2 優化結果對比

單振子元胞的最大問題是減振頻帶較窄，不能適應變化較大的激振頻率，而多振子元胞可以有效改善這個問題。對實驗數據進一步處理，以包含不同振子的元胞優化前后的減振數據為依據，計算5～50 Hz范圍內減振效率η的具體數值，如圖11所示?？梢钥闯?，多振子元胞比單振子元胞的減振性能更好，進一步說明了局域共振元胞相比單一類型吸振器在振動控制上的優勢。在動力吸振器發揮作用的整個頻帶內，三振子元胞的減振效率和雙振子元胞的減振效率相近。在10～38 Hz頻帶內三振子、雙振子元胞的減振效率均高于單振子元胞，且三振子、雙振子、單振子元胞的減振效率分別為18.3%、18%和12.45%。為簡化設計，在基體-隔振設備-吸振器系統動力學模型的局域共振型結構中選擇雙振子元胞設計即可。

圖11 不同元胞的減振效率對比

4 結論

本文針對精密儀器低頻振動問題，提出局域共振型結構的減振方式，構建基體-隔振設備-吸振器系統的動力學模型，計算耦合振動方程得到設備振幅的解析解，并利用有限元軟件驗證解析解的有效性。分析了吸振器各參數對減振性能的影響，在吸振器數目一定的情況下，將其劃分為不同的局域共振元胞，并利用粒子群算法對元胞中振子的參數進行優化設計，分析優化后的減振性能，得到以下主要結論。

(1)在5～50 Hz范圍內，附加元胞前后解析解與有限元解之間的相對誤差分別為4.39%和2.98%，具有較高的吻合度，說明了解析計算方法的有效性。

(2)在目標頻段內，按照單振子元胞吸振器初始計算參數，吸振器質量比、固有頻率比、阻尼比分別在0.16、0.8、0.18附近取值時減振性能最優，減振效率分別為10.46%、8.69%、12.20%。

(3)局域共振元胞能夠對低頻振動進行有效控制。在目標頻帶范圍內，取吸振器總數為6、質量比為0.16，元胞中包含振子的數量不同對隔振設備的減振效果也不同，三振子、雙振子元胞優化后的減振效率相近，均在18%以上。

本文中的簡支梁結構只是實際工程結構的簡化模型，動力吸振器不僅代表一種彈簧質量模型，而且可以抽象為一般的彈性體模型，在結構上也可以向復雜化的方向推廣以適應不同需求。