利用數學語言構建數學模型
——以人教版教材《乘法分配律》教學為例

□ 莫筱暉

弗賴登塔爾說過：“當思想能被直觀地描述時，馬虎的語言是能被接受的。但是，一件事越抽象，離直觀越遠，就越需要用仔細的語言來描述?！睌祵W語言是一種簡潔而精確的抽象語言，它為人們提供了一種描述與交流現實世界的表達方式，讓人們能夠清晰而有效地研究世界中的數學問題。

數學語言在構建數學模型中的作用尤為突出。筆者以人教版四年級下冊《乘法分配律》新授課為例，談談用數學語言構建乘法分配律模型的過程，引導學生利用數學語言表征現實世界，構建數學模型并利用模型貫通知識等，從而加深對乘法分配律的理解與應用。

【課例回顧】

一、以形助數，探究問題——使用數學語言

數學語言是學生在課堂上最直接的思維表達方式，也是提升學生問題解決能力及抽象能力的有效方法。因此在課堂上，教師應適時激活學生的生活經驗和知識經驗，引導學生用規范的數學語言表達與解決問題。

1.數形結合，提取信息

師：前段時間很多同學參加了學校組織的“詩畫校園”書畫比賽，這是四、五年級現場書法比賽的座位分布圖，你有什么發現？（教師課件呈現座位分布圖，如圖1）

圖1

生：我發現有很多人參加現場書法比賽。

生：我發現五年級參加的人數比四年級多。

生：我發現每一列的人數是一樣的。

生：我發現每一列坐了12人。

生：我知道四年級的人數，也知道五年級的人數，總人數也可以知道。

……

師：同學們在這張座位表上發現了很多信息，那么你能不能用數學的表達方式表述這些信息，并且提出一個數學問題呢？

生：每一列坐12名學生，四年級坐了5列，五年級坐了6列。參加比賽的四、五年級學生一共有多少人？

師：我們在圖中發現了不少信息，也能根據需要提取有用的信息，提出數學問題。（教師課件呈現圖2）

圖2

（設計意圖：座位分布圖是常見的圖式，學生相對來說比較熟悉。讓學生根據圖片找信息，其實就是培養學生提取信息的能力。而在信息提取中，學生通過優化，用“每列12 人”“有多少列”這樣的語言更為規范地表達并且提出數學問題。這個過程其實就是學生將日常語言轉化為數學語言的過程。雖然仍是文字表述，但去除多余信息，提取有用信息后，就是數學語言的最初形態。）

2.探究問題，精煉語言

師：那么四、五年級究竟有多少名同學參加了現場書法比賽呢？請你用自己的方法來解決。

學生出示兩種解題方法：①（5+6）×12；②5×12+6×12。

師：雖然用這兩種方法都求出了四、五年級學生參加現場書法比賽的人數，但是它們的思考方法一樣嗎？

生：第①種方法是先求出一共有多少列，然后乘以每列12 人，就求出了總人數。第②種方法是先求出四年級有多少人，再求出五年級有多少人，最后求總人數。

師：是的，這位同學已經發現了兩種方法的不同之處。那么誰能說得更清楚，更明白些呢？

生：第①種方法是先求出一共有幾列，然后用列數乘一列的人數，再求出總人數。第②種方法是先分別求出四年級和五年級的學生數，再求總人數。

生：我可以用兩個數量關系式來表示兩種不同的方法。①（四年級5 列+五年級6 列）×一列12人=總人數；②四年級5列×一列12人+五年級6列×一列12人=總人數。

師：那么這兩種方法有什么相同的地方嗎？

生：它們都是求四、五年級學生參加現場書法比賽的總人數。

生：我們也可以這樣想，5個12+6個12，那其實就是11 個12，所以這兩個算式肯定是相等的，（5+6）×12=5×12+6×12。

（設計意圖：在分析兩種方法的過程中，學生既能從具體的情境中區分不同的思考方法，也能從乘法的意義中找到兩種方法的共同點，這樣就能讓學生在實際應用中逐漸構建乘法分配律的模型。同時，從文字語言的理解到數量關系式的轉化，也說明學生在應用數學語言表征研究對象上有所進步。）

二、舉例驗證，構建模型——切換數學語言

在構建模型的過程中，教師要引導學生運用已有的知識及經驗提出猜想，并通過舉例、證明等方法來驗證自己的猜想。在這個過程中學生運用不同的數學語言進行表達，提高了判斷的準確性。

1.猜想驗證，模型初顯

師：像這樣（5+6）×12=5×12+6×12的式子，你覺得還有嗎？

（學生猜想另外的等式并且舉例）

師：這幾組式子中的每一組都相等嗎？你能用自己的方式進行驗證嗎？

生：我對左右兩邊的式子都進行了計算，發現答案是一樣的，所以左右兩邊是相等的。

生：我用（5+6）×12=5×12+6×12舉例，左邊是11個12，右邊是5個12加6個12正好就是11個12，所以是相等的。

師：是的，有的同學通過計算、比較后發現左右兩邊的式子相等，也有的同學通過乘法的意義，發現了這一結果。

（設計意圖：在這一環節中，教師鼓勵學生大膽猜想，找到具有相同類型的式子，并在猜想后進行驗證，由個例逐步推向共性。在這樣的操作過程中，學生用數學的眼光觀察，用數學的思維思考，用數學的語言表達。不斷舉例的過程也正是一步步構建乘法分配律的數學模型的過程。）

2.歸納小結，模型構建

師：觀察同學們提到的這幾組算式，大家有沒有發現更多的聯系呢？

生：我發現這些式子的左邊都是用兩個數的和去乘一個數，式子的右邊正好是用這兩個數分別去乘同一個數，再相加。

師：是的，這就是我們今天要研究的乘法分配律。你能用自己喜歡的方式來說明究竟什么是乘法分配律嗎？

（學生以小組為單位進行探討，之后交流匯報）

生：乘法分配律就是指一個數乘兩個加數的和，可以把這個數與兩個加數相乘再相加。

生：我們把算式中的數字用圖形來替代，可以這樣表示：☆×（□+○）=☆×□+☆×○。

生：因為前面學習過的運算定律都可以用字母表示，所以我們覺得乘法分配律也可以用字母來簡潔地表示：a×（b+c）=a×b+a×c。

（設計意圖：在本環節中，學生對運算規律有一定的想法，并能用文字進行解釋，說明他們對乘法分配律的算理已有一定的了解。而以小組為單位對規律進行歸納總結，其實就是讓學生將頭腦中的想法通過數學語言進行表達，無論是文字表達，還是圖形或者符號表達，都是學生用數學語言構建乘法分配律模型的過程。在這個過程中，學生既感受到數學語言的簡潔與精確，也體會到數學模型的概括與抽象。）

三、融會貫通，拓展思維——應用數學語言

構建模型的目的是為了更好地應用，但如果只是對照模型進行“形”上的變化，就會流于表面。因此，在課堂中教師應當引導學生全方位、多角度思考問題，利用數學語言進行知識的遷移和內化，達到融會貫通的目的。

師：同學們，接下去我們以小組為單位，完成下面學習材料中的題目（如圖3）。

圖3

（學生小組合作解題）

師：同學們發現什么了嗎？

生：我們組在解答第1 題的時候發現，可以用兩種方法計算長方形的周長，可以是（5+3）×2，也可以是5×2+3×2，這和今天學習的乘法分配律其實是一樣的。

生：我們組在研究第2 題的時候發現，要求這塊菜地的面積，可以先算原來的面積，再算新加的面積，也就是5×3+5×5。也可以先求出這塊新菜地的長是3+5=8（米），再利用長×寬來求。

生：第2 題的算法也就是5×3+5×5=（3+5）×5，這和乘法分配律也是一樣的。

師：同學們觀察得真仔細，第1題和第2題雖然是在求長方形的周長和面積，但大家都和今天學習的乘法分配律進行了聯系。

（設計意圖：通過對材料中的前兩題求解和分析，學生能夠感知到原先用來解決長方形周長和面積的方法也同樣可以用乘法分配律來進行解釋。在這一過程中，學生對于乘法分配律的理解進一步加深。而當他們對比兩種方法，尋求其中的共同點時，借助了乘法分配律的模型，應用了數學語言，貫通了前后知識間的聯系。）

教師接著出示第3題的解法（如圖4）。

圖4

師：同學們，老師發現第3 題大家都采用了這樣的方法，這是我們三年級就已經學過的筆算乘法。這和我們今天學習的知識又有什么聯系呢？

生：我們覺得這個豎式計算就是乘法分配律。

生：我們可以把豎式分開來看。先用12 中個位的2去乘15，得到30，然后用十位中的1去乘15，得到15，加起來就是180，就是乘法分配律。

師：誰聽明白這組同學的分析了？

生：他們的意思就是15×12=15×（2+10），這就體現了我們剛才學的乘法分配律。

（教師根據學生的回答，出示圖5）

圖5

師：原來筆算乘法中也滲透了我們今天學習的乘法分配律的相關知識哦。

（設計意圖：數學的學習不能脫離實際，乘法分配律的學習從解決實際問題中進行抽象，最后回到解決實際問題中去。在這個過程中，學生既要學著將日常語言轉化成數學語言，也要將數學語言轉化為日常語言。）

【課后反思】

一、在日常語言與數學語言的轉換中精準表征

在數與代數的教學中，無論是數的運算還是數量關系，都具有結果的唯一性，這種唯一性要求教師在教學中對學生的語言進行規范，從模糊的日常語言進化到準確的數學語言。因此，教師應當激發學生潛在的生活經驗和知識，讓他們將生活中的數學信息提取出來，逐步用數學的語言進行表達。課堂上，教師創設了學生熟悉的“詩畫校園”情境，讓學生將生活中的數學信息提取出來，通過數學語言進行表達。而這種表達，也為后續乘法分配律模型的建立奠定了基礎。

二、在不同數學語言轉換中逐步建立數學模型

數學模型的建立，不是靠一個算式或一個具體例子，而是需要經歷從特殊到一般、從具體到抽象的過程。因此，在數學模型建立的過程中，教師需要引導學生根據已有的知識或者自身的經驗，運用文字、圖形、符號等多種數學語言進行猜想并驗證。

在乘法分配律模型建立的過程中，學生從生活問題入手，通過文字語言初步感知乘法分配律模型的“形”；利用圖形、符號等數學語言進行抽象概括，進一步感知乘法分配律模型的“質”。在這一過程中學生不斷轉換各種數學語言，提升了自主探究和實踐的能力。

三、在數學語言模型的構建中融會貫通

乘法分配律在實際計算中運用非常廣泛，無論是直接運用，還是逆運用以及變式運用，借助數學語言的表達，都讓學生有更深的認識。在長方形周長、面積計算和筆算乘法的再認識中，學生能清楚地感知雖然在課堂中是第一次闡述這一定律，但其實在以往的學習中已經無形地接觸到了相關的知識。而這種知識的遷移、貫通正是在數學語言的表述中逐漸豐滿、立體起來的。

使用數學語言，能夠讓學生將問題轉換成可以觸碰感知的文字、圖形和符號等，在不斷轉換中建立模型、應用模型。然而，數學語言的培養不是一兩堂課就能完成的，只有讓學生在學習過程中不斷運用數學語言進行表達，才能讓他們的思維真正有深度，讓數學真正發揮它應有的價值。