基于遺傳算法與非線性規劃的串聯四連桿機構優化

馬金生,陳 濤

(航空工業成都飛機工業(集團)有限責任公司,四川 成都 610091)

0 引 言

四連桿機構是最常見的機械結構之一，其能夠滿足多種運動規律與軌跡的要求，并且因其內部運動副結構簡單易加工而被廣泛應用于各種工業結構中.目前,科研人員針對四桿機構的優化設計做了大量研究，并取得了許多成果[1-4].例如，林軍等[1]研究了遺傳算法的編碼設置及步驟控制等調控參數，并以四連桿機構尺寸優化問題為例驗證了算法的優化效果；駱華鋒等[2]利用遺傳算法對常規抽油機的四連桿機構完成了優化設計，優化后的機構的運動軌跡、動力性能和節能效果都得到了顯著改善；李金鷹等[4]通過多目標優化理論尋找機構參數，并利用修改的遺傳算法優化，開展了飛機艙門上的提升四桿機構的輔助設計.

在實際工程應用中，常將多個四連桿機構進行組合，進而形成較為復雜的機構形式，以此來滿足特定的工作軌跡與工作方式等要求[5-8].其中，串聯雙四連桿機構常被應用于航空貨運機械與起重機械中，但目前針對串聯四連桿機構的優化設計相關研究的報道較少.基于此，本研究結合應用在飛機貨運艙門機構系統中的艙門解鎖機構的實際案例，建立串聯四連桿機構的長度尺寸優化的數學模型，該模型包括了幾何約束、傳動性能約束、邊界條件約束和運動軌跡約束等約束條件，再利用遺傳算法和非線性規劃完成機構桿件長度的優化設計，并對比了2種優化算法的特點，擬為類似機構的優化設計提供可借鑒的參考.

1 串聯四連桿機構

目前，串聯四連桿機構常被應用于航空工程中的飛機貨運艙門結構中.通常，為了滿足飛機結構的緊湊布置以及一定的功能需求，其艙門解鎖機構通常采用典型的串聯雙四連桿機構，其結構模型如圖1所示.

圖1 貨運艙門鎖定機構結構示意圖

貨運艙門的串聯四連桿機構簡圖如圖2所示.圖2中，A、B、C 3點固定，即機架S1和S2的長度固定.此機構包含6個連桿L1～L6，以α角為輸入運動副，中間為β固定的連接角49 °，δ角為輸出從動副.

圖2 貨運艙門串聯四連桿機構簡圖

典型的密封型貨運艙門解鎖過程如圖3所示.圖3中，艙門鎖定機構由本研究的串聯雙四連桿機構和一副普通四連桿機構組成，其中，2個紅色圓柱固定于門框上，分別與2副連桿機構配合.該串聯四連桿機構末端δ角連接的是C型鎖，其功能是在解鎖過程中保證艙門未達到其提升位之前，保證艙門的鎖緊.單四連桿機構的末端則是帶有雙曲率形導軌的U型鎖，其內部的導軌由兩段曲率有差異的曲線構成，其功能是：一方面，在解鎖過程輕微向外推動艙門，解除艙門周邊一圈密封膠條與門框的粘連，并使艙門達到舉升運動的開始位置；另一方面，在艙門關閉過程中，當艙門下降到鎖定位置后，扣住艙門，并使艙門按照一定的鎖定路徑運動.

圖3 貨運艙門解鎖時機構運動過程示意圖

據此可知，飛機貨運艙門開啟的解鎖機構具體的運動過程分為2個階段.

(1)階段一.艙門從鎖定狀態圖3(a)開始，鎖定機構開始解鎖，輸入角α順時針勻速轉動，帶動整套機構運動，C型鎖與U型鎖機構都開始轉動；C型鎖轉動到艙門可以向外移動時，串聯四連桿機構的輸出從動角δ到達穩定段便基本保持不變，U型鎖進入第二段曲線導軌的配合行程，如圖3(b)所示.

(2)階段二.串聯四連桿機構的輸出從動角δ繼續保持穩定不變，輸入角α繼續順時針勻速轉動，使單四連桿機構末端的U型鎖繼續轉動，并在U型鎖內部的第二段曲線導軌的引領下，艙門輕微向外繞艙門頂部的轉軸轉動一定角度，到達圖3(c)所示位置.此時，艙門與門框上的配合限制完全解除，艙門解鎖，并實現向外大范圍提升開啟的狀態.

2 數學模型

2.1 設計變量與目標函數

事實上，在航空工程實際中，其機構設計在滿足基本的功能性后，主要應考慮結構的輕量化，即應盡量降低其質量，這需要通過相應機構的尺寸優化設計來實現.在貨運艙門中，液壓連桿需承擔足夠的承載力，因此，其串聯四連桿機構桿件的直徑是非設計量，故本案例的設計變量為連桿長度.根據圖2所示的機構簡圖，模型的設計變量可表示為,

X=[L1,L2,L3,L4,L5,L6]

(1)

為滿足機構整體輕量化的設計要求，本案例的設計目標為連桿總長度最小，其目標函數為，

(2)

2.2 約束條件

2.2.1 連桿機構中曲柄的存在條件

由于串聯四連桿機構是由2個四連桿機構串聯組合而成，故其應滿足連桿機構基本的幾何約束.本案例機構中，與機架傳動轉軸連接的L1和L6實質上是轉軸上連接支座的長度，因此是最短桿件，由此可得，

(3)

此外，在連桿機構中，還需滿足最短桿件與最長桿件之和大于等于另外兩桿件之和.據此，機構的基本幾何約束為，

(4)

2.2.2 最小傳動角時機構傳動性能約束條件

一般而言，當四連桿機構的曲柄與機架桿共線時，出現最小傳動角，故其傳動性能約束條件為，

(5)

2.2.3 設計變量的邊界條件

如圖1所示，在本串連四連桿機構中，上下兩根機架傳動轉軸與相鄰連桿之間不能產生干涉而發生碰撞，即要求連桿與轉軸中心點距離應超出傳動轉軸的半徑10 mm(轉軸半徑為25 mm).據此，由圖2可得機構之間的幾何關系有，

(6)

由上述幾何關系可得出避免干涉發生的約束條件為，

(7)

2.2.4 機構末端輸出角度的功能性約束條件

由飛機貨運艙門的解鎖過程可知，機架固定S1=140 mm，S2=135 mm，在機構輸入角α勻速順時針轉動的過程中，輸出角δ的運動方式為，先勻速轉至一定角度，再基本保持穩定.據此，輸出角δ的理想運動軌跡函數為，

(8)

由機構之間的幾何關系有,

(9)

故，可聯立推出機構末端輸出角度為，

δ=∠FCG-∠FCB

(10)

同時，為滿足飛機貨運艙門的鎖定與解鎖的基本功能需求，要求機構優化后的輸出角δ在輸入角α從80 °勻速變化到-40 °的過程中，與理想目標輸出角之間差異不能過大.故，其功能性約束條件為，

C17(X)=|δ-δe|-5≤0

(11)

由此可知，本研究的串聯四連桿機構優化問題的數學模型的關鍵點為：式(1)是設計變量；式(2)是目標函數，可以作為優化分析的適應度函數，以評價當前解的有效性；式(3)與式(4)是線性約束條件；式(5)、式(7)與式(11)是非線性約束條件.

故，本飛機貨運艙門的串聯四連桿機構尺寸優化的數學模型可表示為，

(12)

3 優化算法

本研究利用Matlab分析軟件來完成貨運艙門串聯四連桿機構的優化計算，分別選取遺傳算法和非線性規劃作為優化算法對機構的連桿尺寸進行優化分析，并對比2種算法的優化效果.

3.1 遺傳算法

由于本案例設計變量為串聯四連桿機構的6個桿件的長度，在遺傳算法中，設計變量的向量X被稱為染色體，是問題的可能解；每一代群體中的每一條染色體個體都有一個適應函數值用來評價該個體對問題的適應程度.因本研究的優化目標為機構桿件長度總和最小，故擬定目標函數為染色體的適應度函數.在求解中，優化過程遵循基本的遺傳算法，即，最初隨機地產生一定量的初始染色體種群，然后參考自然界的繁衍進化過程，通過模擬生物進化過程中適者生存的遺傳法則，不斷迭代并獲得問題的最優解.利用遺傳算法解決串聯四連桿機構尺寸優化的過程包括：設置初始條件，計算初始種群的適應度值以及通過優勝劣汰獲得最優解等步驟[9-10].需說明的是，遺傳過程中變異是隨機出現的，變異的概率通過指定變異率來確定，變異即是在染色體上的某一個值進行取值范圍內的突變，而變異的加入降低了局部收斂的概率，增加了遺傳算法在變量取值范圍內的選擇寬度，使其能夠涵蓋更多的可能解.

3.2 非線性規劃

對于求解帶多種約束的非線性多變量優化的最小值問題，可利用Matlab分析軟件中的常用fmincon函數實現.本研究中需要優化的變量是串聯四連桿機構的6個連桿的長度，屬于中等規模的優化問題.利用fmincon函數命令求解中等規模的優化問題時常采用序列二次規劃(sequential quadratic programming，SQP)算法進行求解.研究表明，SQP算法在處理中小規模非線性規劃問題時表現出良好的優化計算效果，其處理邏輯是將一個帶有等式和線性或非線性不等式約束的優化問題轉化為二次規劃問題，即:在某個近似解附近處理二次規劃問題以尋找最優解;若當下無法求解，則用該近似解構成新的二次規劃問題，通過繼續迭代并求解，直到最終獲得最優解[11-12].

4 算例求解與對比

由于遺傳算法與非線性規劃都是處理最小值優化的有效手段，故本研究針對同一問題，利用2種算法進行優化分析，并對比2種算法的優化結果，以分析串聯四連桿機構尺寸優化的合理優化方案.

2種優化算法的最終優化結果如表1所示.

表1 2種優化算法的結果與初始設計值對比

由表1數據可知，通過對比初始設計值并將結果取整后，2種優化算法的優化結果都顯著低于初始設計值，達到了優化設計的基本要求.此外，從機構桿件總長度來看，遺傳算法的優化結果略大于非線性規劃的結果，但兩者接近.對比各個桿件的長度可知，2種優化算法的結果差異則很小，都指向同一組桿長組合，可見優化結果具備可靠性.

遺傳算法與非線性規劃的優化迭代過程如圖4所示,其揭示了迭代次數與目標函數值的關系.

由圖4(a)可見，在遺傳算法的優化過程中，包含2條曲線，分別表示當前迭代時刻下整個群體規模染色體解的適應度函數值的最優結果和平均結果.從第3代迭代開始，最優值和平均值趨近于415.000 mm左右，最終迭代至第5代.

由圖4(b)可見，在非線性規劃優化過程中，縱坐標直接表示的是當前迭代時刻的可能解對應的目標函數，即機構桿件長度總和.最初，桿件長度總和為470 mm，從第500迭代步開始到迭代結束，逐漸穩定到410.000 mm左右，最終迭代至第712代.

圖4 2種優化算法的迭代過程

可見，遺傳算法迭代次數較少，但2種算法的實際計算耗時接近.

將2種算法優化后的桿長數據代入本串聯四連桿機構中，可計算出輸入角α與輸出角δ的運動關系.初始設計值及2種算法優化結果與理想情況的差異如圖5所示.

圖5 優化前后的輸入角—輸出角運動關系對比

從圖5可見，相比于初始設計值桿件長度狀態下的串聯四連桿機構，2種算法的優化結果的機構角度運動關系都更接近于理想情況.在輸出角δ的上升階段，遺傳算法的結果更接近理想狀況，但在輸出角δ穩定段，遺傳算法得出的穩定性數據較非線性規劃差.

此外，本研究將2種算法的優化結果與理想情況的差異用均方根的形式展示，具體結果如表2所示.

表2 優化結果與理想情況下輸出角δ運動關系均方根差異

由表2數據可見，優化計算結果與初始設計值的機構角度運動關系相比，2種優化結果情況下的串聯四連桿機構的角度運動關系與理想情況的均方根差異都顯著降低.初始設計條件下，均方根總差值為231.46，其中，上升階段為336.89，平穩階段為124.27；遺傳算法優化結果條件下，均方根總差值為8.13，其中，上升階段為14.65，平穩階段為1.51；非線性規劃優化結果條件下，均方根總差值為11.19，其中，上升階段為21.73，平穩階段為0.65.

5 結 論

本研究建立了飛機貨運艙門串聯四連桿機構的桿件尺寸優化數學模型，并基于遺傳算法和非線性規劃完成了相關的優化計算.2種算法對于本案例的優化結果差異不大，結論如下：

(1)最初設計狀態下的機構桿件長度總和為470.000 mm，遺傳算法的桿件長度總和優化結果為415.000 mm，非線性規劃的桿件長度總和優化結果為410.000 mm.2種優化算法計算都獲得了最優解，并取得了顯著的優化效果，其中，遺傳算法迭代次數較少，但2種算法的實際計算耗時接近.

(2)2種算法優化后的機構輸出角δ的運動關系都更接近于理想狀況.與理想情況的機構角度運動關系相比，2種算法優化結果相比初始設計的均方根差異都顯著降低.在輸出角δ運動關系方面，非線性規劃優化結果的上升階段與理想情況差異較大，而平穩階段的差異較小，且角度保持更平穩.