基于胞元拓撲優化法的內凹六邊形負泊松比超材料結構設計

康小方，柳景超，夏光輝，3，4，許慶虎，3，4

（1.安徽建筑大學 土木工程學院，安徽 合肥 230601；2.智能地下探測技術重點實驗室，安徽 合肥 230601；3.安徽省BIM 工程中心，安徽 合肥 230601；4.安徽省裝配式建筑研究院，安徽 合肥 230601）

泊松比是用作材料的泊松比效應的度量系數，泊松比也被稱作材料的橫向變形系數，材料在力作用與力作用垂直方向上的橫向變形特性。泊松比是指材料在受力加載方向下，其橫向應變與縱向應變比值的相反數[1-3]。生活中所使用的材料泊松比取值一般不小于0，常見的金屬泊松比一般在0.3左右。液體是一種極為致密的材料且不可被壓縮，在壓力的作用下體積幾乎沒有變化，其泊松比接近0.5。

約160 年前，經典彈性理論提出了材料出現負泊松比的可能性[4]。常見的內凹結構包括內凹六邊形、雙箭頭模型、星型和手性等結構。1982年，Gibson 等[5]首次提出了內凹六邊形蜂窩模型；Yang S 等[6]提出了一種矩形穿孔的負泊松比結構。采用拓撲優化方法設計負泊松比超材料為超材料結構優化設計提供了一種新的途徑，該方法已廣泛應用于負泊松比超材料結構優化[7-8]。

負泊松材料主要類型有[9]：①天然負泊松比材料；②胞狀負泊松比材料；③金屬負泊松比材料；④由多種普通基材所組成的多重負泊松比材料；⑤由負泊松比材料和非負泊松比材料復合形成的負泊松比復合材料。

與傳統泊松比材料相比，負泊松比超材料幾乎具有兩倍的抗斷裂性[10-12]，具有負泊松比效應的復合材料抗斷裂性也大約是傳統復合材料的兩倍。橋梁的伸縮縫材料要求其性能滿足垂直和平行于橋梁軸線的兩個方向都可以自由變形。然而，負泊松比超材料具有受到壓力時橫向收縮、受到拉力時橫向膨脹的特性。負泊松比超材料安裝在梁體間隙之中擁有足夠的變形能力，同時負泊松比效應還能夠對材料的橫向和豎向承載能力有一定的增強。隨著負泊松比超材料結構的快速發展，已經涉及到人工假體[13]、智能傳感器[14-16]、紡織類材料、分子過濾器[17]、減震器[18]、隔聲器[19]和防護墊[20]等領域。1989 年，Bendsoe[21]采用微結構[22]的拓撲優化法對結構進行拓撲優化。

本文將微結構的設計轉換成了胞元拓撲優化設計，采用胞元拓撲優化法對內凹六邊形微結構進行拓撲優化，將優化得到的胞元微結構按一定周期進行排列從而獲得負泊松比超材料結構。

1 內凹六邊形負泊松材料計算理論

1.1 負泊松比材料作用機理

泊松比是衡量材料在承受縱向力時的橫向尺寸變化力學參數。負泊松比是在考慮正負應變的前提下，橫向應變和縱向應變的比值相反數，其數學表達式為，

式中，εx，εz分別為橫向應變和縱向應變；Δx，Δz分別為結構受荷后的橫向變形和縱向變形。一般情況下，泊松比大小和材料內部結構相關，經典彈性力學理論證明了具有各向同性的材料其泊松比值范圍為-1.0 ～0.5[23]。從泊松比取值范圍上來看，材料具有負泊松比效應理論上是可行的。

1.2 內凹六邊形拓撲優化

本文從材料（微觀尺度）到結構（宏觀尺度）進行研究。所采用的方法是在保持宏觀材料分布不變的前提下，對微觀尺度材料下單胞結構進行拓撲優化設計。將優化得到的胞元微結構按一定周期進行排列從而獲得負泊松比超材料結構。如圖1 所示：

圖1 微觀-宏觀-一體化

內凹六邊形源自常規六邊形結構，但是其兩側呈內凹結構，其中：a 為底部邊長，b 為斜邊長，c 為肋部邊長，a，c 為常量；θ0為初始角（＜ 90°）。如圖2 所示：

圖2 內凹六邊形結構胞元示意圖

根據負泊松比定義和內凹六邊形結構圖，負泊松比可表示為，

根據幾何分析，橫向應變εa可表示為，

式中，θ0，θ和分別為胞元結構的初始角度和變形后角度。

由圖2 可知胞元結構尺寸b，a，c 和初始角度θ0之間的關系可表述為，

于是，胞元結構的泊松比v為[24]，

由式（4）代入式（5）可得下式，

采用Matlab 軟件對式（3）和式（6）進行計算，可得胞元結構的橫向應變εa（圖3）和泊松比v（圖4）。

圖3 結構胞元橫向應變εa 等高線

圖4 結構胞元泊松比v 等高線

具有負泊松比效應的內凹六邊形拓撲優化步驟可表述為：

（1）通過圖1 所示的微觀-宏觀一體化優化思路，將宏觀結構看作由一系列內凹六邊形結構胞元（圖2）所組成。

（2）對內凹六邊形結構胞元進行結構優化，通過改變圖2 所示的初始角θ0，來實現結構胞元的負泊松比效應。

（3）根據步驟（2）獲得的負泊松比效應結構胞元，按一定周期進行排列組成負泊松比超材料結構。

（4）根據步驟（3）獲得的負泊松比超材料結構，采用ANSYS 有限元軟件建立相應的結構模型。

2 內凹六邊形胞元結構力學行為

為驗證基于胞元拓撲優化法的內凹六邊形負泊松比超材料結構受力性能，本節采用大型有限元軟件ANSYS 進行建模，對優化后的結構胞元進行受力分析和泊松比驗證。本文建立代表性內凹六邊形結構胞元，假定結構胞元尺寸a 和c 為常量，初始角度θ0為變量，結構胞元尺寸a=3 mm，c=1 mm，初始角度θ0=30°、45°和60°，材料彈性模量為1.2×105MPa，材料泊松比為0.29。

為了保證結構胞元可以兩端受拉，利用作用力與反作用力的關系將結構胞元邊界條件定為下端固定約束，胞元上端施加5 MPa 大小的拉應力。

2.1 初始角度θ0=30°內凹六邊形

結構胞元的縱向尺寸z=1.155 mm，x=3 mm。結構胞元經加荷載后，其縱向變形為Δz=-0.445 51 mm，結構胞元的橫向變形Δx=-0.195 148 mm。將有限元仿真結果代入公式（1）可以得到材料的泊松比，泊松比=-0.167 9。

2.2 初始角度θ0=45°內凹六邊形

結構胞元初始角度θ0=45°，其縱向尺寸z=2 mm，x=3 mm。經加荷載后，結構胞元的縱向變形為Δz=-0.634 55 mm，結構胞元的橫向變形Δx=-0.511 254 mm。將有限元仿真結果代入公式（1）可以得到材料的泊松比，泊松比v=-0.537 1。

2.3 初始角度θ0=60°內凹六邊形

結構胞元初始角度θ0=60°，結構胞元的縱向尺寸z=3.464 mm，x=3 mm。在加載荷載后，其縱向變形為Δz=-0.717 286 mm，結構胞元的橫向變形Δx=-0.554 977 mm。將有限元仿真結果代入公式（1）可以得到材料的泊松比，泊松比v=-1.492 36。

由圖5 ～圖10 可知，隨著結構胞元初始角度的增大，內凹六邊形結構胞元負泊松比值也越大。

圖5 θ0=30°Z 方向變形圖

圖6 θ0=30°X 方向變形圖

圖7 θ0=45°Z 方向變形圖

圖8 θ0=45°X 方向變形圖

圖9 θ0=60°Z 方向變形圖

圖10 θ0=60°X 方向變形圖

為驗證有限元模型的準確性，將受荷情況下結構胞元的負泊松比效應和理論公式進行對比。根據結構胞元尺寸a=3，c=1，初始角度θ0=30°、45°和60°，分別代入式（6）可得v30°=-0.168 6、v45°=-0.505 0、v60°=-1.517 5，將有限元仿真結果和理論計算結果進行匯總，可得泊松比值如表1 所示：

表1 泊松比值

將有限元計算的結果與理論計算的結果進行比對，發現誤差均在10%以內，從側面反映出有限元仿真的準確性及負泊松比理論計算的合理性。

3 內凹六邊形超材料結構性能仿真

3.1 內凹六邊形超材料宏觀結構陣列

為分析材料拓撲優化后的超材料結構宏觀力學性能，本文將經過拓撲優化后的第3 節內凹六邊形按一定周期進行排列得到相應具有宏觀負泊松比效應的超材料結構。如圖11 所示：

圖11 內凹六邊形宏觀結構陣列示意圖

3.2 內凹六邊形超材料結構有限元仿真

根據圖9 所示，結構胞元按照一定的規則進行排列，可獲得相應的超材料結構。采用有限元軟件ANSYS 進行建模仿真，超材料結構邊界條件為下端固定約束，胞元上端施加5 MPa 大小的拉應力。

3.2.1 初始角度θ0=30°超材料結構

由一系列初始角度θ0=30°的結構胞元組成的超材料結構，其縱向尺寸z=3.462 mm，橫向尺寸x=11 mm。經加荷載后，超材料結構的縱向變形為Δz=-0.380 01 mm，超材料結構的橫向變形Δx=-0.136 8 mm。經公式（1）計算可得超材料結構的泊松比v=-0.113。

3.2.2 初始角度θ0=45°超材料結構

根據初始角度θ0=45°的結構胞元，經過一定的排列規律組成宏觀超材料結構，其縱向尺寸z=6 mm，橫向尺寸x=11 mm。經加荷載后，超材料結構的縱向變形為Δz=-1.13555 mm，超材料結構的橫向變形Δx=-0.598 61 mm。經公式（1）計算可得超材料結構的泊松比v=-0.288。

3.2.3 初始角度θ0=60°超材料結構

采用初始角度θ0=60°的結構胞元，經組合成超材料結構，其縱向尺寸z=6.928 mm，橫向尺寸x=11 mm。經加荷載后，超材料結構的縱向變形為Δz=-1.538 47 mm，超材料結構的橫向變形Δx=-1.299 89 mm。經公式（1）計算可得超材料結構的泊松比v=-0.532。

由圖12～圖17 可得，內凹六邊形超材料結構的負泊松比效應跟結構胞元特性有關。隨著結構胞元初始角度增大，超材料結構的負泊松比值也越大，其變化規律與結構胞元負泊松比效應類似。

圖12 =30°Z 方向變形圖

圖13 =30°X 方向變形圖

圖14 =45°Z 方向變形圖

圖15 =45°X 方向變形圖

圖16 =60°Z 方向變形圖

圖17 =60°X 方向變形圖

4 結論

本文采用胞元拓撲優化的方法，以超材料負泊松比效應增強為目的，推導得出了內凹角越大其負泊松比效應越強的理論，并應用有限元軟件ANSYS 對其進行仿真，結果表明：

（1）基于胞元拓撲優化的方法，得到內凹六邊形負泊松比超材料在底邊長和縱向長度保持不變時，內凹角越大其負泊松比效應越為明顯。并且結構胞元按一定周期進行排列的宏觀結構的負泊松比效應和結構胞元的負泊松效應改變規律保持一致。

（2）相較于傳統的對結構胞元的形狀進行改變來達到拓撲優化的結果，本文采取了對內凹六邊形初始角度進行改變，將負泊松比效應與內凹六邊形的角度用函數關系關聯了起來，更為有效地確定了負泊松比效應與形狀的具體關系。

（3）內凹六邊形胞元按一定周期排列后整體結構的負泊松比效應將略有減小，在其受到縱向拉（壓）應力時，其橫向將會發生膨脹（收縮）變形。橋梁伸縮縫要求其在垂直和平行于橋梁的軸線上都能自由變形，這種負泊松比結構較為符合其需求。拓撲優化可以得到大量的負泊松比超材料結構，對負泊松比超材料結構的獲取和強化有著極為重要的作用。