基于整數規劃的最優訂購與轉運方案預測研究

魏亦軒 張一凡 牛健飛

摘 要：原材料是企業生產高質量產品的保證，是企業生存的基石。如何以最少的成本訂購與轉運原材料，成為企業核心競爭力和學術界的研究熱點之一。與基于復雜的分類模型和繁瑣的啟發式算法的傳統方法不同，本文提出了新的整體簡化的優化模型，在保證一定采購數量的基礎上，增進企業采購、物流和生產的協調運行和整體穩健發展。該模型在多種原材料背景下尋求滿足最少庫存量的供貨商的最優解，利用無監督學習在較低數據格式和質量的要求下保持較高預測準確率，從而預測最優訂購與轉運方案。本文首先提煉量化指標、降維、篩選最優供貨商數量，并分別建立了以訂購和轉運業務成本最小化為目標的整數規劃模型，進而求解出原材料的訂購量和轉運量，然后分別通過趨勢預測和ARIMA模型預測等方法，將其代入循環算法并得到最終的方案，最后基于測試集數據，本文驗證了訂購、轉運方案的良好性質。

關鍵詞：整數規劃模型;循環算法;主成分分析;ARIMA模型;整體分類

一、引言

原材料是企業生產高質量產品的基石和根本。在企業間競爭日益激烈的今天，如何以更科學的方法降低在企業支出中占據較大比重的原材料采購和轉運成本，是提升企業競爭力的重要方式。由此，企業管理者需要盡可能降低原材料采購成本，減少原材料運輸消耗，使企業更好的生存和發展。

傳統的最優訂購計劃往往采用動態規劃模型，但通常因為其網絡結構過于復雜而難以尋求最優解，即使借助啟發式算法也難以保證求解的有效性。本文在賀紅燕等學者的基礎上，提出了新的整體簡化的優化模型，基于供應商與轉運商的歷史交易數據，確定多原料背景下的最優原材料訂購和轉運計劃，幫助企業合理控制原材料訂購與轉運成本。

本文的主要內容從以下幾部分展開。在第二部分，本文通過文獻綜述梳理過去學者的原材料訂購與轉運相關問題研究;在第三部分，本文對收集的實驗數據集進行了指標提煉、信息降維和描述性統計等預處理;第四部分在給定一定假設的基礎上建立最優訂購與轉運模型，并在第五部分實證模型和檢驗模型效果;第六部分是對本文的總結及對未來的展望。

二、文獻綜述

在過去研究中，多數學者往往只專注于研究企業原材料訂購問題，而沒有考慮運輸等相關問題。孫明濤等考慮供貨商供應能力等多種限制因素，以供應鏈為基礎建立訂購優化模型并運用遺傳算法進行求解;在此基礎上，丁錫海等通過NSGA-II遺傳算法探究同一產品下多家供應商和多種運輸業務以更低成本采購的方式，但仍然局限在單一原材料，與實際情況相差較大;另外，基于層次分析法和ABC分類法，閔旭峰歸納了原材料的類型，并根據不同原材料制定了不同的訂購模型，但是其研究方法以描述性統計為主，數理推導較少，給出策略的適用范圍較為有限;陳家宜等聚焦企業中原材料存在的數量折扣和信息不充分問題，研究多產品訂單優化問題并建立多目標模型，該模型通過重慶某制造企業案例得到了驗證，能夠在一定程度上克服模糊信息和折扣策略的問題。

雖然有部分學者綜合考慮了訂購與運輸原材料方案，但是其分析過程仍存在一定局限性。例如：魯奎在生產批量優化模型基礎上選擇合適的供應商和轉運商合理分配訂購量，同時控制運輸成本以降低企業的采購成本;然而，其研究模型在實踐中應用范圍受限，一方面建立的子模型對數據要求較高，需要覆蓋原材料種類、運輸能力及運輸外包等多種變量，另一方面動態規劃算法操作非常繁瑣;此外，在孫明濤的研究方法基礎上，賀紅燕等挖掘整個供應鏈條的最優方案，其建立的規劃模型應用價值較高，但模型未考慮原材料種類。

上述研究除丁錫海、陳家宜及魯奎外均沒有提供未來決策方案的預測方法，無法基于歷史的交易數據，預測未來的決策方案。針對原材料需求的不確定性，王玲運用時間序列預測法中的簡單移動平均法、加權移動平均法、簡單指數平滑法等預測未來的方案，但是這些預測方法機理較為簡單，預測準確率較低，且無法通過其他方法進行驗證;陳燎也是基于原材料需求變化建立了采購庫存優化模型，通過精度較高的貝葉斯方法預測在未來生產周期內的需求量，但貝葉斯模型計算繁瑣，且僅在小樣本上擬合效果較好，隨著樣本增大其擬合精度有所減弱。

綜上所述，現有文獻很少綜合考慮原材料的訂購與轉運方法，即使有部分文獻同時考慮了訂購與轉運方案，也存在一定局限性。ARIMA等預測方法也被廣泛應用于訂購與轉運方案的預測，然而單一的預測方法預測準確度較低，無法很好地滿足企業對于原材料訂購與轉運方案的預測需求。因此，本文在過去學者的研究基礎上，討論多種原材料的情景，并創新性地提出整體簡化優化模型求解，基于趨勢預測和ARIMA方法，在對數據格式和質量的較少要求下保持較高預測準確率，從而預測最優訂購與轉運方案。

三、實驗數據與數據預處理

1.實驗數據集

本文采用某企業的供貨商與轉運商數據集對模型進行實證分析。①該企業的產品原材料由 A、B、C 三種類型構成，單位原材料價格分別為1.2元、1.1元和1元，每周產能固定，每立方米產品消耗量分別為0.6 m3、0.66 m3、0.72 m3。為保障生產活動的順利進行，企業必須儲存至少有滿足生產兩周的庫存量。

該數據集中，共有5年240周供貨商與轉運商的相關數據。其中有402家供貨商提供不同類型的原材料，包括企業的名稱、訂購量及其供應量。有八家轉運商負責運輸原材料，包括轉運商名稱、是否運輸及運輸損耗率;每家轉運商單位運輸費用相同，且運輸上限為每周6000 m3，轉運損耗率隨周數不同存在一定的波動。

本文的目的為基于歷史數據，確定最優訂購方案和最優轉運方案，以保證該企業在未來的生產所需。為驗證模型的有效性，本文將數據集中前216周（90%）的數據作為訓練集，將后24周（10%）的數據作為測試集。

2.確定原材料供貨商評價指標

為了分析方便，本文假設企業進購原材料以周為單位，周數按i=1，2…T排序，供貨商、轉運商的名稱用j、k順序排序。

（1） 訂供貨物比額X1j。訂供貨物比額表示了一家原材料供應商滿足企業周訂購量需求的能力。該指標以分段函數形式表達。令Sij表示第j家企業第i周原材料訂貨量，Lij代表第j家企業第i周原材料供貨量。當企業供貨與訂貨相等且任一等于0，供應商缺乏滿足企業計劃生產所需原材料的能力，將X1j賦值為0;當企業供貨與訂貨相等且均不等于0，即供貨商能夠恰好滿足企業訂貨的原材料量，將X1j賦值為1;當企業的需求量與供應商j供貨量不等，供應商供貨量相對越多，滿足企業需求能力越強，用Lij/Sij表示;

此外，為了進一步度量企業對不同原材料的需求差異，引入原材料需求量的乘子權重，將其定義為一定周期內企業對n種原材料的需求Sin比例，得到最終的X1j'。

（1）

（2） 供應能力X2j。供應能力表示了一家原材料供應商當周提供原材料的能力，代表企業當前的發展規模和生產能力。定義X2j為一定周期T內供應商j的供貨量Lij之和。

（3） 成功供應X3j。成功供應表示一家原材料供應商供貨成功的總次數，象征著未來提供原材料數量的潛在增長空間。對于單個供貨商j，本文令pij（i=1，2…T）代表每周是否成功供應給企業。當企業愿意訂貨，且其訂貨量小于等于供貨量，賦值為1，即企業i在第j周供貨成功，反之賦值為0。將pij在周期T內求和即得到X3j。

（4） 供貨穩定性X4j。供求穩定性表示一家供應商交易受到外在因素干擾下提供原材料的可能性，代表了供應商提供產品的穩定水平和整體經營能力強弱。以一定周期T原材料供貨量的標準差定義X4j，如公式（2） 所示，其中μ代表原材料供貨商j在一定周期T內的均值。

（2）

3.主成分分析

上文中提煉出的多種原材料供貨商評價指標之間共同影響，且諸指標關系復雜、權重難以確定，因此本文采用無監督學習中的主成分分析評估原材料供貨商供貨能力。無監督學習是一種利用無標注數據學習、預測數據的類別、概率等數值型變量，可以利用無監督學習探索統計規律和數據內在結構。在這類機器學習中，主成分分析是一種在保留絕大多數信息的基礎上，通過對大量變量降維從而提煉少量指標的算法?；谥鞒煞址治?，可以得到企業供貨商的特征分數I值，為篩選出對企業供貨重要性較高的供貨商做好鋪墊。

4.確定最優供貨商數量

基于上文計算出的特征評價分數，首先對供應商按照分數進行降序排列，根據供應量從高到低依次計算，直到滿足原材料產能的最低要求。然后，為保證抽樣過程的隨機性、客觀性，本文利用等距隨機抽樣選擇出T’周進一步模擬仿真。接著，正式預測滿足企業生產需要的最優供貨商數量，循環輸入每一家企業的該周供貨量、庫存量并計算對應產能，直到其總量超過維持運轉的最低產能為止，得到T’周的最優供貨數量，經過對比篩選出T’周內最大供貨數量即為最優供貨數量l。

通過Matlab編程程序計算出公式（2）的原材料供貨商評價指標，得到402家企業的評價分數I值。I值越大，由實際意義知其對企業供貨重要性越高。然后，在此基礎上系統分析周供應原材料的最少供應商數，利用等距隨機抽樣出120個奇數周進一步模擬。接著，循環輸入每一家企業的該周供貨量、庫存量，計算對應產能，直到其總量超過維持運轉的最低產能5.64萬m3為止。在得到120周的最優供貨商數量之后，經過對比篩選，其最優企業數的最大值99家即為最優供貨數量。

四、模型的建立

1.模型的假設

（1） 忽略供應商、轉運商在品牌、產品質量和使用壽命的差異，將這些因素均一化，僅考慮提供產品數量的差異。

（2） 企業在滿足兩周生產需求的原材料庫存量的需要下會忽略成本因素，盡可能訂購原材料。

（3） 企業在長期與供貨商交易中能夠較為準確估計訂購量，其估值取決于供貨商供貨量的多少。

2.基于整數規劃的原材料分類訂購規劃模型的建立

確定完全滿足企業持續生產需要的最優供貨商后，要實現未來t周企業原材料訂購最經濟的目標，不僅需要保證企業有更多的利潤，同時還要避免企業因為遭遇產能不足帶來損失的可能性。因此，本文用原材料分類代替企業分類，將決策變量簡化為原材料mL（L=1，2，…，n）的供貨量，從整體出發簡化問題。在求出未來每周需要的總最優解后，按照一定權重合理分配供應商的供貨量得到最終的訂購量。

本文以訂購成本最小化為目標，在一定約束條件下建立原材料分類訂購規劃模型。模型的目標函數如下公式（3） 所示：

（3）

其中，本文假設n種原材料m價格為p1，p2，…，pn，將其與對應能耗量EL（L=1，2，…，n）相乘作為n種原材料的總供貨量M1，M2，…，Mn的因子。

原材料分類訂購規劃模型的相關約束條件如下所示：

（1） 基于n種原材料在不同損耗情況下能夠相互替代消耗，將總供貨量M1，M2，…，Mn限定在l家供應商每周提供n種原材料數量的最大值max（f1，...，n）、最小值min（f1，...，n）之和之間，搜索可能存在的全局最優解：

（4）

（2） 根據現實情況，每周庫存均滿足大于兩周n種原材料消耗量Wmin，其約束條件如式（5） 所示：

（5）

（3） 原材料供貨量單位雖然為立方米（m3），但實際交易中常以整數單位交易，因此n種原材料必須是非負整數。

為了簡化問題，本文基于原材料供貨商存在的特定數據結構特征，從整數規劃角度出發探究最優訂購方案。本文參考賀紅燕等研究，認為供應商的周提供數據存在一定的特性規律分布，中位數更適宜確定其整體供應量分布。

本文設計的基于整數規劃的訂購分配循環算法如下：

①開始：輸入供應商數據;

②比較原材料的總供貨量M1，M2，…，Mn的因子數大小，優先篩選出數值較小即相應成本較低的總供貨量;

③將l家企業按原材料n類分類，并分別求解出n類企業總供貨量的最小值、最大值之和及中位數，并導出訂購量最值之和到lingo中;

④輸入Lingo求解得到的n類原材料訂購量M1，M2，…，Mn;

⑤分配參數的設置：將n類原材料各自對應的企業按照中位數除以中位數總和，得到該原材料下的分配權重;

⑥不確定性參數的設置：將n類原材料的總訂購量乘以分配權重，并隨機分配在未來t周內的訂購量，其隨機數落在中位數10%左右的范圍;

⑦流程結束。

該循環算法主要借助python處理完成，在步驟②導出原材料訂購整數規劃模型的必備參數，求解后在步驟③導入求解結果，使得算法順利運行。

3.基于ARIMA的原材料分類轉運規劃模型的建立

不同轉運商實際損耗率隨周數不同存在差異，且一家轉運商必須滿足每一個服務的供貨商全部運轉量。因此，針對最惠轉運方案的確定，設計出一套如圖1所示的基于整數規劃的訂購分配循環算法，從整體出發制定合理的運轉方案。首先利用ARIMA模型直接預測轉運商未來t周轉運損耗率;然后以轉運商整體為角度分類，求解8家轉運商供給量的最優解;接著在轉運商數據平均值、中位數和非運轉次數的基礎上提取指標并降維確定權重，利用原材料轉運規劃模型分配轉運商整體總量;最后在轉運商必須滿足每一個服務的供貨商全部運轉量的要求下，建立循環模型，并得到最后的轉運方案。

從轉運業務成本最小化的角度出發，本文在一定約束條件下建立原材料分類轉運規劃模型。模型的目標函數如（6） 所示：

（6）

其中，V1，...，8代表各轉運商的總轉運量，將其與預測出的消耗比率β1，...，n相乘求和作為轉運業務的消耗量。為了簡化問題，假設n種原材料m單位質量均相等，并忽略運輸距離等其他因素，使不同企業運輸不同供貨商價格相等，忽略不計。

此外，原材料分類轉運規劃模型的約束條件如下所示：

（1） 轉運商原材料轉運量之和V1，...，8不超過轉運商最大運輸量

（2） 同時，不能超過各自按照主成分分析求得的權重wV1，...，8分配的周最大產能，以便后續搜索全局最優解

（7）

五、實驗驗證及模型效果檢驗

1.基于整數規劃的原材料分類訂購規劃模型的求解

本文運用簡單隨機抽樣抽取出S329和S365，研究該99家供應商的數據結構分布。如圖2所示，S329在左圖中近似服從均值在（648，713）之間，呈一定規律分布的正態分布，而S365則隨時間變化存在極強的季節性波動，其中位數更能代表數據分布特征。因此，本文認為供應商的周供貨數據存在一定的規律分布，中位數更適宜確定其整體供應量分布。

運用Lingo編程求解的訂購整數規劃模型，得到了目標函數全局最優解為8104.836元，并得到需要訂購量分別為8909、806、1535立方米。然后，將參數在步驟②導入，順利運行算法得到最終結果。

2.基于ARIMA的原材料分類轉運規劃模型的求解

基于數據特征分析，八家轉運商的季節性波動特征符合時間序列分析。因此，本文基于SPSS的專家建模器預測未來24周的轉運損耗率具體符合的ARIMA模型種類。為提高預測準確率，將含有192周數據的訓練集以8周為單位求均值，得到24組數據預測出未來周數情況，并剔除異常值。T1公司的示意圖如圖3所示。

在得到其預測模型及相關參數，預測結果的R2均值接近0.7，并在90%的水平上顯著，驗證了預測模型的良好性質。此外，預測結果通過了圖4所示的ACF自相關檢驗和PACF偏自相關檢驗，預測模型服從隨機的白噪聲序列，時間序列平穩，證明本文的預測是有意義的。

為實現轉運最低損耗的目標，本文利用轉運商分類將決策變量設置為八家轉運商原材料的轉運量，運用Lingo編程求解求出未來每家轉運商能夠承擔的整體最優解后，通過主成分分析降維得到權重矩陣u進行權重分配。然后，建立原材料轉運規劃模型，將ARIMA預測得到的損耗比率、轉運商原材料最大運輸量6000m3、周最大產能28200m3代入模型的目標函數和約束條件，運用Lingo編程求解得到的八家轉運商各自轉運量。最后，將相關數據代入循環算法，由Python編程運行。

3.模型效果檢驗

在得到最惠訂購、轉運方案后，本文通過從測試集中隨機抽取24周與測試集的數據進行比對，檢驗供貨商供貨方案的預測效果。經檢驗，數據相似度達到88.65%，說明本文供貨商預測數據具有較高的準確率。

然后，本文通過研究特定參數，驗證建立循環算法的實際效果。對于最惠訂購方案的檢驗，比較供貨商測試集平均價格和優化處理過的預測平均價格，作出如圖5所示的堆疊柱形圖。選擇隨機抽樣的四家供應商作為代表實例，保證檢驗的可靠性。如圖所示，優化處理過的預測均價明顯小于測試集平均價格，驗證最惠訂購方案的經濟性、低成本性。

針對最惠轉運方案，鑒于測試集的數據為八家轉運商每周不同的轉運損耗率，無既定的轉運方案，無法直接通過比對測試集與預測結果檢驗模型。因此，本文從最優預測方案內部檢驗，在預測的24周隨機等距抽取3周作為樣本，作出如圖6所示的示意圖。每家企業的轉運量上限不超過4000 m3，遠遠小于最大轉運量6000 m3。而且，每次模擬盡管每家企業轉運量存在隨機波動，但是轉運方案整體傾向于權重較高的t6、t2和t8，而很少選擇較低的t1、t5?？傮w而言，驗證了轉運規劃模型的良好預測性質。

六、模型的評價

本文在綜合考慮原材料訂購與轉運方法的基礎上，提出了整體簡化的優化模型，并結合趨勢預測和ARIMA預測方法，對未來24周的訂購與轉運方案進行了預測。本文的創新點主要有以下幾個方面。首先，循環算法以訂購規劃、轉運規劃模型為基礎，考慮企業各種選擇的收益、機會成本與實際成本，從整體分類角度簡化問題;根據ARIMA預測和隨機分配確定未來24周每周具體方案，模型模擬的實際情況具有較高準確率、可信度、普適性。其次，引入循環結構使仿真過程可操作性增強，并通過可視化圖表對訂購、轉運方案實際效果進行檢驗。最后，主成分分析極大簡化數據處理難度，模型對數據格式要求較低，只需簡單計算提取的多個量化指標，有效降低數據預處理的工作量。

本文依然存在不足之處，將在以后的研究中加以改進。一方面，評估的原材料供貨指標受到數據信息的限制，考慮不夠全面，且指標之間可能存在相關性和共線性，模型的準確率有待進一步提升;另一方面，建立的模型事實上簡化了一部分現實中可能變化的參量，不能很好地從動態隨機的角度拓展模型。

注釋：①數據引用自中國大學生在線http：//dxs.moe.gov.cn/zx/hd/。

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作者簡介：魏亦軒（2001.07- ），漢族，河南洛陽人，河南大學金融學專業，本科在讀，研究方向：流通經濟、宏觀經濟統計;張一凡（2000.11- ），漢族，山東泰安人，河南大學統計學專業，本科在讀，研究方向：應用統計;牛健飛（2001.06- ），漢族，河南南陽人，河南大學電子信息科學與技術專業，本科在讀，研究方向：信號與信息處理