李蘊欣
函數是中學階段非常重要的知識點,對我們知識的整體把握起著至關重要的作用。初中的函數主要包括:一次函數、反比例函數、二次函數。除此之外,函數思想是我們在初中提高思維能力的重要來源。函數作為歷年中考命題的重點考查內容之一,我們做題時如何做到“會而對,對而全”呢?下面,讓我們通過對一次函數和二次函數的解讀來予以說明。
一、數形結合之一次函數
例1 (2021·江蘇宿遷)一輛快車從甲地駛往乙地,一輛慢車從乙地駛往甲地,兩車同時出發,勻速行駛,兩車在途中相遇時,快車恰巧出現故障,慢車繼續駛往甲地,快車維修好后按原速繼續駛往乙地,兩車到達各地終點后停止,兩車之間的距離s(km)與慢車行駛的時間t(h)之間的關系如圖:
(1)快車的速度為 km/h,C點的坐標為 。
(2)慢車出發多少小時后,兩車相距200km。
【考點】一次函數的應用,一次函數與一元一次方程的應用。
解:(1)100,(8,480)。
(2)設慢車出發th,兩車相距200km。
①若是相遇前兩車相距200km,
則60t+100t+200=480,
解得t=[74]。
②若是相遇后兩車相距200km,
則60t+100(t-1)-200=480,
解得t=[398]。
∴慢車出發[74]h或[398]h時,兩車相距200km。
答:慢車出發[74]h或[398]h時,兩車相距200km。
【點評】本題是以圖像形式考查一次函數的應用,體現數形結合、分類討論等數學思想,這些思想近年來也一直是中考命題的熱點。第(1)問,由圖像信息先求出慢車的速度,再根據相遇時慢車走的路程求出快車走的路程,根據速度=路程÷時間求出快車速度,最后根據快車比慢車先到達終點可知C點是慢車到達終點時所用時間。本問解決思路重在對圖像的分析,得分的關鍵是弄清圖像拐點的意義。對于第(2)問,我們要分兩車相遇前和相遇后兩種情況討論,考慮問題不全面是造成得不到全部分數的主要原因。
二、數形結合、轉化思想之二次函數
例2 (2021·安徽)已知拋物線y=ax2-2x+1(a≠0)的對稱軸為直線x=1。
(1)求a的值。
(2)若點M(x1,y1),N(x2,y2)都在此拋物線上,且-1 (3)設直線y=m(m>0)與拋物線y=ax2-2x+1交于點A、B,與拋物線y=3(x-1)2交于點C、D,求線段AB與線段CD的長度之比。 【考點】二次函數的性質,二次函數圖像上點的坐標特征。 解:(1)拋物線y=ax2-2x+1(a≠0)的對稱軸為直線x=[--22a]=[1a]=1,則a=1。 (2)由(1)可知,二次函數表達式為y=x2-2x+1。 ∵a=1>0, ∴當x>1時,y隨x的增大而增大, 當x<1時,y隨x的增大而減小。 ∵-1 ∴1<1-x1<2,0 結合函數圖像可知,當拋物線開口向上時,距離對稱軸越遠,值越大, ∴y1>y2。 (3)聯立y=x2-2x+1與y=m(m>0), 可得A(1+[m],m),B(1-[m],m), ∴AB=[2m]。 聯立y=3(x-1)2與y=m(m>0),可得C(1+[3m3],m),D(1[-3m3],m), ∴CD=[23m3], ∴[ABCD]=[3]。 【點評】本題難度適中。同學們應掌握解決類似函數問題所必需的基礎能力,比如數形結合思想、如何求函數交點等,否則無法解決基礎題,得不到基礎分。第(1)問,根據公式,對稱軸為直線x=[-b2a],代入數據即可。第(2)問,結合函數的圖像,根據二次函數的增減性可得結論。第(3)問,分別聯立直線y=m(m>0)與兩拋物線的表達式,表示出A、B、C、D的坐標,再表示出線段AB和線段CD 的長度,即可得出結論。