基于CEV模型的一類資產負債管理問題*

周香英

(贛南師范大學 數學與計算機科學學院，江西 贛州 341000)

資產負債管理是商業銀行、保險公司、基金公司等金融機構進行風險管理的重要手段，以有限的資金，在兼顧安全性、流動性、獲利性及分散性的情況下，進行最適當的資產與負債的匹配.負債對金融機構影響深遠，在負債下若能進行合理的投資, 不僅有利于金融機構扭虧為贏，使公司更好地發展，也有利于個人達到自身效益最大化. 因此，資產負債管理問題在學界已引起眾多學者的關注. Sharper和Tint[1]首次運用Markowitz[2]的均值-方差投資組合理論研究資產負債管理問題，為從投資組合選擇角度研究資產負債管理問題奠定了理論基礎.之后，隨著連續時間優化控制方法的發展，在Sharper和Tint[1]的基礎上，又有大量的文獻研究了連續時間下基于均值-方差準則的資產負債管理問題[3-5].在最優投資的經典理論研究中，除了均值-方差準則，還有期望效用準則.20世紀50年代，Von Neumann和Morgenstern基于公理化的假設，利用邏輯和分析工具建立了期望效用理論框架[6]，具體來說是針對不確定性的投資環境和可能出現的結果，定義不同的效用函數.近年來，也有不少學者研究基于期望效用準則下的資產負債管理問題[7-9].

然而，上述文獻中風險資產的價格假定服從經典的幾何布朗運動模型.在幾何布朗運動模型中，風險資產價格的波動率為常數，其不能很好地描繪實際市場引伸波幅的不對稱性.常彈性方差(CEV)模型是幾何布朗運動模型的一個自然擴充，它考慮了資產價格的時間依賴性，能更好地描繪實際金融市場資產價格的波動率.CEV模型最早由Cox和Ross提出，被廣泛應用于衍生產品期權定價中[10-11].鑒于CEV模型考慮了風險資產波動率與其市場價格的相互關系，近年來有不少學者研究了CEV模型下的資產負債管理問題.常浩等[12]研究了CEV模型下基于二次效用最大化的資產負債管理問題，并利用Legendre變換-對偶方法得到了最優投資策略的顯式表達式；劉小濤和劉海龍[13]將隨機資金流看作一個外生負債，在完全市場環境(負債過程能夠完全用風險資產對沖)下運用Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)方法和隨機分析技術得到了最優投資策略的顯式表達式.Zhang和Chen[14]利用倒向隨機微分方程方法研究了基于均值-方差準則的資產負債管理問題，并在完全市場環境下得到了有效投資策略和有效邊界的顯式表達式.需要指出的是，這些工作大都是在完全市場環境下考慮的.

作為以上工作的延伸與拓展，本文考慮了CEV模型下基于指數期望效用準則的一類資產負債管理問題，負債過程除了與風險資產的價格過程存在相關性外，還會受其它因素的影響.運用投資組合選擇理論和優化控制理論建立資產負債管理問題相對應的優化控制問題.隨后，利用隨機動態規劃原理推導出價值函數所滿足的HJB方程，并通過分析與求解得到最優投資策略和值函數的顯式表達式.最后，基于顯式表達式，著重分析負債對最優投資策略和投資效用的影響.

1 模型建立

假設{W1(t),W2(t)}是定義在完備概率空間{Ω,F,P}上相互獨立的二維標準布朗運動，F={Ft}t∈[0,T]是由{W1(t),W2(t)}所產生的信息流，T>0表示投資終止時間.除此之外，假定金融市場是無摩擦、無交易成本，但允許賣空和借貸.在有限的時間[0,T]內，投資者可以投資金融市場上的兩種資產:無風險資產(銀行存款)和風險資產(股票)，其中無風險資產的價格過程B(t)在t時刻服從如下微分方程：

(1)

其中常數r>0表示無風險利率.風險資產(股票)的價格過程S(t)在t時刻服從CEV模型，即

(2)

其中μ1表示瞬時期望收益率且μ1>r,σ1Sβ(t)表示風險資產的瞬時波動率，常數β是彈性系數通常假定β≤0(當β>0時，瞬時波動率是股票價格的增函數，這與實際不符).

注1在式(2)中，如果β=0，那么CEV模型就退化為經典的幾何布朗運動模型；如果β=-1，那么CEV模型就轉化為Ornstein-Uhlenbeck過程；如果β=-1/2，那么CEV模型就轉化為Cox-Ingersoll-Ross (CIR)過程.

記π(t)為t時刻投資者投資到風險資產股票的資金額，Xπ(t)表示投資策略π(t)下投資者在時刻t的資產，Xπ(t)-π(t)表示t時刻投資者投資到無風險資產上的資金額.根據投資組合選擇理論，可以得到投資者的資產變化過程，即

(3)

其中Xπ(0)=x0>0.

在金融投資中，債務是投資者所面臨的一個普遍而重要的問題.與許多文獻不同，本文假設投資者在時間區間[0,T]內面臨一個不可控的與隨機波動有關的外生負債L(t)，其演化過程服從如下隨機微分方程：

dL(t)=μ2dt+bSβ(t)dW1(t)+σ3dW2(t),L(0)=l0>0,

(4)

其中參數μ2，b和σ3都是常數，W2(t)是一個與W1(t)無關的標準一維布朗運動.因此，在投資存有負債的過程中，投資者的凈財富過程Yπ(t)=Xπ(t)-L(t)滿足如下隨機微分方程：

dYπ(t)=[π(t)(μ1-r)+r(Yπ(t)+L(t))-μ2]dt+[σ1π(t)-b]Sβ(t)dW1(t)-σ3dW2(t),

(5)

其中Yπ(0)=x0-l0>0.

注2為了簡化模型，眾多資產負債管理的文獻直接將負債過程吸收到資產的動態過程中，即

[π(t)(μ1-r)+rXπ(t)-μ2]dt+[σ1π(t)-b]Sβ(t)dW1(t)-σ3dW2(t).

與方程(5)相比，隨機變量L(t)并沒有出現在投資者的財富動態過程中，進而導致后續更簡單的優化模型.

定義1如果投資組合管理策略{π(t)}t∈[0,T]滿足：

記Π為所有可行策略組成的集合.對任意可行策略π(t)∈Π，投資者的目標是最大化終端財富的期望效用，即建立如下優化問題：

(6)

其中U(·)是滿足條件U′(·)>0和U″(·)<0的效用函數，用來度量投資者對風險的偏好程度.鑒于指數效用函數在保險精算領域已得到廣泛的應用，本文考慮具有常數絕對風險厭惡(Constant absolute risk aversion , CARA)的指數效用函數，即

(7)

其中正常數q是絕對風險厭惡系數.

2 模型求解

根據隨機控制理論，優化問題(6)的值函數V(t,y,l,s)可定義為：

(8)

其中V(T,y,l,s)=U(Y(T)).除此之外，如果V(t,y,l,s)足夠光滑，那么它滿足如下HJB方程：

(9)

其中Vt，Vs，Vss，Vl，Vll，Vy，Vyy，Vys，Vyl和Vsl分別是V=V(t,y,l,s)關于t，y，l和s的一階及二階偏導數.

假設HJB方程(9)有解并滿足Vy>0和Vyy<0，則由極值的一階條件，得到最優投資策略π*(t)滿足如下等式：

(10)

將式(10)代入HJB方程(9)并經過較為繁瑣的計算后，得到如下二階非線性偏微分方程：

(11)

為了得到最優投資策略的顯式表達式，需要值函數(8)具體的形式.通過效用函數和邊界條件的形式，我們猜測值函數的具體形式為

(12)

其中f(T,l)=-l和g(T,s)=0.

將等式(12)代入方程(11)并經過繁瑣的計算后，可以得到

其中f是f(t,l)的簡寫，ft，fl和fll分別是關于t及l的一階及二階偏導數.進一步地，由邊界條件f(T,l)=-l和g(T,s)=0，則可得到如下偏微分方程終值問題：

(13)

(14)

下面求解偏微分方程終值問題(13)和(14)以給出值函數的顯式表達式.對于終值問題(13)和(14)，我們有如下結論：

引理1終值問題(13)的解是：

f(t,l)=A1(t)l+A2(t),

(15)

證明將式(15)代入終值問題(13)并結合邊界條件f(T,l)=-l，得到

(16)

(17)

接下來，分別利用常微分方程的變量分離法和常數變易法分別求解問題(16)和(17)，即可得到A1(t)和A2(t).

引理2終值問題(14)的解是：

g(t,s)=A3(t)s-2β+A4(t),

(18)

證明將式(18)代入終值問題(14)并結合邊界條件g(T,s)=0，得到

(19)

(20)

接下來，利用常微分方程的常數變易法分別求解問題(19)和(20)，即可得到A3(t)和A4(t).

基于引理1和引理2的結論，將式(12)的偏導數Vy，Vyy，Vys和Vyl代入式(10)，我們可以得到如下結論：

定理1指數效用下，優化問題(6)的最優投資策略是：

(21)

注4若不考慮負債，即當μ2=0，b=0和σ3=0時，則有

(22)

3 模型參數的靈敏度分析

鑒于許多文獻研究了CEV模型中的參數和風險厭惡系數q對最優投資策略的影響，本小節著重分析負債和彈性系數β對投資者最優投資策略和投資效用的影響.不失一般性，各參數的取值如下：

r=0.03，μ1=0.12，σ1=16.16，β=-1，S0=67(元)，q=0.05，

μ2=0.03，b=2，σ3=0.14，x0=1 000 000(元)，l0=67 000(元)，t=0，T=1(年)，

其中CEV模型中的參數S0，β，μ1，σ1的取值參考Yuen等[15]的工作.由式(2)和(21)，可以得到上述基本參數下，風險資產股票價格的變化過程及投資者投資到相應股票的數量額.

從圖1中可以看出，在股票價格波動比較大(σ1=16.16)的情況下，投資者在大部分情況下賣空風險資產股票，持有無風險資產，這是合符常識的.

圖1 基本參數下股票價格的變化過程及 對應投資到風險資產股票的金額

3.1 參數對最優投資策略的影響

由式(21)關于b求偏導數，可得到：

(23)

這表明當σ1>0時，投資到風險資產的最優資金額π*(t)與負債過程參數b正相關；當σ1<0時，投資到風險資產的最優資金額π*(t)與負債過程參數b負相關.下面給出指數效用下不同參數b和彈性系數β對最優投資策略的影響.

從圖2中可以看出，在其它參數不變的情況下，參數b的值決定著債務波動率的大小.參數b越大意味著投資者的負債在增加，為了降低負債，投資者將更多的資金投資于風險資產股票.另外，由圖2可以看出，彈性系數β=-1下投資者的初始投資策略相對于β=0下的投資策略是比較激進的，主要還是用于對沖源自于債務的風險.

圖2 參數b和彈性系數β對最優投資策略的影響

3.2 參數對投資效用的影響

基于引理1的結論，對式(12)分別關于參數μ2，σ3和b求偏導，可以得到

(24)

(25)

從式(24)和(25)可以看出：投資者的投資效用關于μ2和σ3是單調遞減的，這是符合實際的.下面通過數值模擬分析法分析不同參數b與β對投資者投資效用的影響，如圖3所示：

圖3 β不同下投資效用隨參數b的變化圖

由圖3可以看出，投資者的投資效用隨著參數b的變大而下降，主要原因是b越大意味著投資者的負債在增加.除此之外，投資效用則會隨著彈性系數β的變大而下降.

4 結論

鑒于CEV模型能比較準確地刻畫金融市場上的“波動率微笑”現象和投資者在實際投資過程中存有負債，本文構建了CEV模型下的一類資產負債管理問題，投資過程的負債除了受風險資產價格的動態過程影響外，還會受其它因素的影響.在指數期望效用準則下，利用隨機控制理論和函數變換法得到了最優投資策略和值函數的顯式表達式，為模型計算的有效性和參數估計提供了方便, 是本文的主要創新點.在顯式表達式的基礎上，著重分析了負債與彈性系數β對最優投資策略和投資效用的影響.數值結果表明：負債會極大地影響投資者的投資效用，為降低負債，投資者會采取比較激進的措施，即將更多的資金投資到風險資產上；彈性系數β越小，投資者的投資策略比較激進.而投資者的投資效用則會隨著β的變大而下降.這些結論可以為有負債的個體投資者以及商業銀行, 保險公司, 投資基金等金融機構有效地管理資產和控制債務風險提供理論依據.