考慮參數和邊界條件不確定性的地下水污染隨機模擬

徐亞寧,盧文喜*,王梓博,賈順卿,王 涵,潘紫東

考慮參數和邊界條件不確定性的地下水污染隨機模擬

徐亞寧1,2,盧文喜1,2*,王梓博1,2,賈順卿1,2,王 涵1,2,潘紫東1,2

(1.吉林大學,地下水與資源環境教育部重點實驗室,吉林 長春 130012；2.吉林大學新能源與環境學院,吉林 長春 130012)

為了分析模型參數的隨機變化和邊界條件的隨機變化對地下水溶質運移模型輸出結果的不確定性影響,采用蒙特卡洛模擬對一假想算例展開研究,并結合風險評估闡述不確定性分析結果.首先,建立研究區地下水溶質運移數值模擬模型,并綜合利用局部靈敏度分析和全局靈敏度分析方法篩選出對模型輸出結果影響較大的參數,連同模型的邊界條件(第一類邊界條件—水頭值)一起作為隨機變量.然后,利用優化超參數的高斯過程回歸(GPR)方法建立模擬模型的替代模型,代替模擬模型完成蒙特卡洛隨機模擬.最后,對隨機模擬的結果進行統計分析和區間估計,并利用污染物濃度的概率分布函數對1、2、3號觀測井進行地下水污染風險評價.結果表明:置信水平>80%時,1,2,3號觀測井污染物濃度值的置信區間分別為34.77～35.03,57.74～58.04, 100.07～100.69mg/L.此外,1,2,3號觀測井為輕度污染的風險分別為6%,100%,100%;為中度污染的風險分別為0%,0%,99.6%;為重度污染的風險分別為0%,0%,0.5%,藉此為地下水污染修復防治和地下水的合理利用提供可靠參考依據.

邊界條件不確定性；靈敏度分析；GPR替代模型；不確定性分析；風險評價

地下水模擬模型可用于地下水中污染物污染范圍、運移途徑、遷移轉化規律等問題的科學研究,從而更好地防治地下水污染問題[1].但由于含水層和地質結構的復雜性、目前的理論水平和認識程度有限,地下水模擬模型不能完全刻畫實際的地下水系統,地下水模擬具有一定的不確定性[2].因此,研究模型參數和邊界條件中各時段水頭值的不確定性對預測地下水污染物運移意義重大[3].

本文采用蒙特卡洛模擬方法分析地下水數值模擬不確定性問題.首先運用靈敏度分析方法篩選出對模擬模型輸出結果影響較大的敏感參數.參數的靈敏度分析有局部和全局兩類方法[4],其中局部靈敏度分析僅用于研究單個參數變化對模擬模型輸出結果的影響,不同參數值變化對待分析參數靈敏度的影響被忽略,本文在采用局部靈敏度分析方法的基礎上進一步應用全局靈敏度分析方法進行驗證,對比分析兩種方法的結果,使靈敏度分析結果更接近實際.

在進行蒙特卡洛模擬時,需要反復調用模擬模型,這將會產生巨大的計算負荷和冗長的計算過程.因此為減少反復調用地下水模擬模型產生的計算負荷,建立模擬模型的替代模型,以充分提高運算效率.替代模型是模擬模型輸入輸出響應關系的代替.近些年來替代模型被廣泛應用于地下水領域,通過建立地下水模擬模型的替代模型有效提高計算效率,張將偉等[5]應用克里格法建立地表水地下水耦合模擬模型的替代模型并進行不確定性分析;侯澤宇等[6]應用克里格法、支持向量機法、核極限學習機法建立組合替代模型研究DNAPLs污染含水層修復方案優選問題;葛淵博等[7]利用克里格法和BP神經網絡建立替代模型并進行蒙特卡洛模擬.本文分別針對3口觀測井利用優化超參數的高斯過程回歸(GPR)方法建立地下水模擬模型的替代模型,相較于前人所用方法,GPR法更容易實現,同時能夠在數據中自主學習函數形式,且獲得的結果具有概率意義[8-9],GPR替代模型調用簡便,大幅度減少了計算負荷和計算時間,在保證計算精度的同時充分提高了計算效率.

地下水數值模擬的不確定性有模型的不確定性、資料的不確定性和參數的不確定性三種來源[10]. 參數的不確定性分析是影響地下水數值模擬結果可靠性的重要原因,目前主要用蒙特卡羅法、靈敏度分析方法等研究參數的不確定性問題,束龍倉等[11]利用蒙特卡洛方法,通過計算補給量及其相應可靠度研究參數的不確定性;Hassan等[12]利用GLUE方法分析并評價地下水流模型參數不確定性.由于地下水系統的復雜性以及人們認識的有限性,地下水模型邊界的不確定性研究尤為重要,Hugman等[13]研究了定義模型邊界條件的不確定性和季節性對地下水水量估計值的影響;李久輝等[14]研究邊界條件不確定性并進行污染風險評估;Na等[15]分析了水文地質邊界概化問題對地下水模型預測結果的影響.參數的不確定性是地下水數值模擬不確定性中最為重要的內容[10],因此,大多數研究只關注參數不確定性,卻很少研究邊界條件中各時段水頭值不確定性對模擬模型輸出結果的影響.但邊界條件中各時段水頭值的不確定性也是模型中重要的研究內容. 在地下水的數值模擬中,第一類邊界條件經常出現[16],針對第一類邊界條件進行研究,使地下水流場數值模擬更易于刻畫、實現.與前人研究內容不同,本文的創新之處在于同時考慮了模型參數隨機變化和第一類邊界條件中各時段水頭值的隨機變化對模擬結果的不確定性影響,考慮問題更全面,令不確定性分析結果更接近實際.

本文將不確定性分析與地下水污染風險評價相結合,由相關資料和專業知識得到邊界中不同時段的水頭值取值范圍以及水文地質參數取值范圍后,綜合運用局部靈敏度分析和全局靈敏度分析方法篩選出對模擬模型輸出結果影響較大的參數,將其和邊界中不同時段的水頭值作為模型中的隨機變量,為減少多次調用模擬模型產生的計算負荷,運用優化超參數的高斯過程回歸(GPR)方法建立模擬模型的替代模型,并應用替代模型完成蒙特卡洛模擬過程.對蒙特卡洛隨機模擬結果進行統計分析,利用概率分布函數估計不同置信程度的污染物濃度范圍,進行地下水污染風險評價,令地下水污染預測結果更加科學,為地下水的合理利用提供可靠參考依據.

1 研究方法

1.1 蒙特卡洛方法

蒙特卡洛方法的主要思想是當要求解某個隨機事件出現的概率,或是某個隨機變量的期望值時,通過大量“試驗”的方式,將在大量試驗中出現的頻率近似等于隨機事件的概率[14].近年來,蒙特卡洛方法被廣泛地應用于地下水模擬不確定性分析中[17].

1.2 靈敏度分析方法

靈敏度分析的方法分為兩類:全局靈敏度分析法和局部靈敏度分析法[18],本文基于局部靈敏度分析方法進一步利用全局靈敏度分析方法進行驗證,確定水文地質參數隨機變量.

1.2.1 局部靈敏度分析法 就是將靈敏度系數較大的幾個參數作為隨機變量,其余參數為定值,研究模型輸出結果的變化情況,優勢是簡單易操作,同時也保持了計算精度[4],公式如下:

式中:X表示當參數變化時對輸出結果的影響程度,即靈敏度系數.

求取參數的靈敏度系數值時,保持其他所有參數不變,該參數的值由變化為+Da,同時因變量值由y()變化為y(+Da),通過下列計算公式獲得其計算值,即:

式(3)是不考慮單位下的計算公式.

1.2.2 全局靈敏分析方法 應用全局靈敏度分析方法可以得到更充分的信息,是因為它考慮了多個參數同時變化對模型輸出結果的影響.Sobol法是基于方差分析系統內各輸入變量對系統輸出變量的影響的一種全局靈敏度分析方法,它可以處理非線性、非單調的函數和模型[19],計算各參數總靈敏度,計算公式如下:

式中:表示個參數的模型目標函數.

模型輸出方差表示為:

式中:D為x單獨作用造成的輸出方差;D是x和x間相互作用的方差;1,2…,k為個參數間相互作用的方差.

(5)式兩邊同時除以得到:

式中:S為總靈敏度,表示x對模型輸出結果的總影響,S為所有包含x的靈敏度.

1.3 高斯過程回歸(GPR)替代模型

與模擬模型相比,替代模型可以用更小的計算量得到近似的輸出結果[20],是模擬模型的近似代替.地下水污染的隨機模擬需要反復多次調用模擬模型,因此為減小計算負荷,建立地下水高斯過程回歸(GPR)替代模型.

式中:和￠均為任意隨機變量.故高斯過程(GP)可定義為

建立的關于回歸問題的一般模型為:若觀察目標值存在噪聲,它與真實輸出值相差:

觀察目標值集合的先驗分布為

個訓練樣本輸出和1個測試樣本輸出*所形成的聯合高斯先驗分布為:

有不同的協方差函數供GP選擇.GP 的協方差函數需要滿足對任一點集都能夠保證產生一個非負正定協方差矩陣.常用的協方差函數為:

2 應用研究

2.1 研究區概況

本文針對一個假想例子展開研究,如圖1所示,研究區域東西長500m,南北寬300m,形狀不規則,含水層概化為二維非均質各向同性潛水含水層,水流為二維非穩定流,含水層厚度為20m.研究區被劃分為I、II、III區,其中含水層I區巖性主要為中砂,滲透系數為15m/d, II區巖性主要為中砂夾粗砂,滲透系數為20m/d, III區巖性主要為粗砂,滲透系數為32m/d.根據經驗和所學知識,給出各參數的取值范圍和概率分布[28-29],相關參數取值范圍和概率分布見表1,其中因橫向彌散度與縱向彌散度的比值為0.3,故只考慮縱向彌散度.本案例中將AB、CD邊界概化為已知水頭邊界,AD、BC邊界概化為隔水邊界,地下水流向如圖所示.

研究區內設有三口抽水井(同時作為觀測井),編號分別為1,2,3號觀測井.1,2,3號觀測井定流量抽水,抽水流量分別為50,50,100m3/d.本次模擬時間為400d,每100d為一個模擬時段,共計4個模擬時段,在前兩個模擬時段內以注水井的形式(100m3/d)持續恒定地向含水層中排放濃度為500mg/L的污染物,將污染物視為在遷移過程中不發生物理化學反應及吸附降解作用的氯化物.含水層中污染物的初始濃度為50mg/L.AB、CD邊界概化為零濃度邊界,AD、BC邊界概化為零通量邊界.

圖1 污染源、觀測井布設位置

表1 含水層各參數取值范圍和概率分布

2.2 模型建立

在建立水文地質概念模型的基礎上建立地下水水流模型和地下水溶質運移模型.

(1)地下水水流模型

(2)地下水溶質運移模型

本次研究利用GMS軟件中的MODFLOW模塊和MT3DMS模塊進行求解. 模型運行的100d, 200d,300,400d后污染物運移情況見圖2,(I) (II) (III) (IV)分別代表100d,200d,300d,400d后污染物的運移情況 (本研究以模型運行后400d的結果進行計算).

2.3 確定隨機變量

應用局部靈敏度分析方法的基礎上進一步利用全局靈敏度分析方法進行驗證,篩選出對模型輸出結果影響較大的參數,對比兩種方法結果,使分析結果更全面[30].參與本次靈敏度分析的參數有滲透系數、孔隙度、給水度、縱向彌散度,四個參數取值范圍見上表1.各參數均值見下表2.

表2 含水層各參數均值

局部靈敏度分析方法是將各參數取均值分別增加、減少10%和20%,利用式(3)計算三口井的靈敏度系數,各井靈敏度系數值見下表3.

由圖3可知,對于三口觀測井,利用局部靈敏度分析方法研究時,潛水含水層滲透系數和孔隙度為兩個影響最大的參數.

局部靈敏度分析僅研究單個參數變化對模擬模型輸出結果的影響,在計算時保持其他參數不變,只改變某一待分析參數值,操作簡便,但局部靈敏度分析方法忽略了不同參數取值變化對待分析參數靈敏度的影響,為進一步驗證局部靈敏度分析結果的準確性,本次研究再利用Sobol法進行全局靈敏度分析,各參數的總靈敏度系數結果如圖4所示.

表3 各井各參數靈敏度計算結果

由兩種靈敏度分析可知,對模型影響最大的參數是孔隙度和滲透系數,進一步驗證了局部靈敏度分析結果的準確性.

圖4 全局靈敏度分析結果

考慮到邊界條件的不確定性,本文主要研究第一類邊界條件中各時段水頭值不確定性(CD邊界),根據相關資料的豐、平、枯水期的水頭值得到各觀測時段的水頭取值范圍.

故本研究中的隨機變量為滲透系數、孔隙度以及CD邊界各時段水頭值,所以將、以及CD邊界各時段水頭值作為隨機變量帶入地下水溶質運移模型中,然后針對上述、和CD邊界各時段水頭值,使用拉丁超立方抽樣方法進行隨機抽樣.

2.4 拉丁超立方抽樣

本研究中替代模型輸入變量為孔隙度、滲透系數以及CD邊界各時段水頭值,輸出變量為污染物濃度值.建立替代模型需要一定的訓練樣本和檢驗樣本,為了保證所抽取樣本的代表性,使用拉丁超立方方法進行抽樣.根據前人經驗可知,孔隙度服從正態分布,滲透系數服從對數正態分布[31].應用此方法在隨機變量變化范圍內進行抽樣,孔隙度和滲透系數概率分布及波動區間見表4,CD邊界各時段水頭值取值范圍見表5.

表4 概率分布及波動區間

表5 各時段水頭取值范圍

通過拉丁超立方抽樣獲得300組樣本,利用前250組輸入——輸出樣本集分別建立三口觀測井的地下水溶質運移GPR替代模型,為檢驗GPR替代模型對模擬模型的逼近程度,利用后50組評估逼近程度,選用確定性系數2、均方根誤差RMSE、平均相對誤差MRE、平均絕對誤差MAE四個指標進行評估.具體計算公式如下:

(1)確定性系數2

(2)均方根誤差(RMSE)

(3)平均相對誤差(MRE)

(4)平均絕對誤差MAE

各評估指標見表6,由精度分析可知,GPR替代模型模型精度較高,誤差較小,可以用來預測地下水污染物濃度.

表6 高斯過程回歸模型精度分析

2.5 蒙特卡羅隨機模擬

研究區地下水污染的隨機模擬利用蒙特卡羅方法實現.首先利用拉丁超立方方法對孔隙度、滲透系數及邊界水頭值三個隨機變量進行抽樣,得到 1000組參數組合;之后,將1000組參數組合輸入到GPR替代模型中,分別得到3口井1000組污染物濃度的輸出結果;最后,統計分析3口井的輸出結果.減少了計算負荷的同時,又保持了一定的精度.

3 結果與討論

利用優化超參數的GPR替代模型分別輸出3口觀測井第4時段末的1000組污染物濃度值,依據此數據,估計3口觀測井在不同置信水平下的污染物濃度范圍,并分析3口觀測井遭受污染的風險.

3.1 統計分析

分析3口觀測井第4時段末的1000組污染物濃度數據集的各項指標,并繪制各觀測井的污染物濃度累計頻次直方圖(圖5).由圖5和表7可知,在第四個時段末,1號井污染物濃度在31.5～39mg/L時的概率最大,概率高達81.7%,可以預測1號井污染物濃度在31.5～39mg/L范圍內的可能性最高.同理可以預測, 2、3號井污染物濃度在55～63mg/L和93.5～111mg/L范圍內的可能性最高.井3遭受污染程度最嚴重,井2次之,井1遭受污染程度最小,由表7可以看出,2號井污染物濃度數據的變異系數較小,分布較集中;1號井污染物濃度數據的變異系數較大,分布較分散,表明在同一時間條件下,污染物濃度與不只與觀測井距離污染源的位置有關,還需考慮地下水流向,順地下水流向時,污染質運移距離越短,距離污染源越近,受含水層各參數的影響越小,污染物濃度輸出的不確定性就越小.

利用SPSS軟件的K-S檢驗分別對3口井的輸出值進行分布檢驗(包括指數分布,均勻分布以及正態分布).檢驗結果顯示,三口井的輸出均服從正態分布,其中,1號井的輸出均值為34.90,標準差為3.31;2號井的輸出均值為57.89,標準差為3.66;3號井的輸出均值為100.38,標準差為7.69.

表7 各監測井污染物濃度輸出值

3.2 污染物濃度區間估計

區間估計,是參數估計的一種形式,通過從總體中抽取的樣本,在一定置信水平下,構造出適當的區間,以作為總體的分布參數(或參數的函數)的真值所在范圍的估計.在本文將其引申,把各個觀測井的輸出值當做是要估計的參數,計算其在不同置信水平下的區間范圍.由于3口井的輸出均近似服從正態分布,故分別利用其概率分布函數進行區間估計.

由表8可以看出,置信水平越高,污染物濃度區間范圍越大;置信水平越低,污染物濃度區間范圍越小,越集中在均值附近.

表8 各井濃度值區間估計(mg/L)

3.3 地下水污染風險評價

分析三口觀測井1000組GPR替代模型的污染物濃度,將其作為隨機變量,繪制污染物濃度分布函數曲線,如下圖6所示.根據計算結果,參照《地下水質量標準》(GB/T 14848-2017)[32],分析三口觀測井中水質達到各類標準的概率.計算三口井第四時段末地下水污染物(氯化物)達到I、II、III類水質標準的概率,計算結果見表9.

由計算結果可知,1號井附近水質最好,為研究區地下水的合理利用提供了參考依據.同時人為規定污染物濃度超過40mg/L為輕度污染,超過 80mg/L 為中度污染,超過120mg/L為重度污染,各井污染物濃度超過40mg/L的概率分別為6%, 100%,100%;各井污染物濃度超過 80mg/L的概率分別為0%,0%,99.6%;各井污染物濃度超過120mg/L的概率分別為0%,0%,0.5%.據此結果可知,3號井有較大的污染風險,為日后地下水污染的防治提供合理依據.

表9 各井達到水質標準概率 (%)

4 結論

4.1 通過綜合運用局部靈敏度分析和全局靈敏度分析方法篩選出了對模擬模型輸出結果影響較大的參數:滲透系數和孔隙度,有效降低了替代模型的輸入變量維度,減小了計算負荷.

4.2 利用GPR法建立模擬模型的替代模型,大幅度減少了反復調用模擬模型產生的計算負荷,同時替代模型的計算結果能夠很好地逼近模擬模型的計算結果,可以代替模擬模型進行后續工作.

4.3 本文同時分析了模型敏感參數的隨機變化和第一類邊界條件中各時段水頭值的隨機變化對地下水溶質運移模型輸出結果的影響.運用蒙特卡洛方法進行地下水污染的隨機模擬,并對隨機模擬結果進行統計分析,利用污染物濃度概率分布函數對地下水遭受污染的風險進行評估,同時結合《地下水質量標準》(GB/T 14848-2017)[32],結果表明1號井附近水質最好;3號井水質有較大的污染風險,進而為地下水污染的防治和地下水的合理利用提供依據.

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Stochastic simulation of groundwater pollution considering uncertainty of parameters and boundary conditions.

XU Ya-ning1,2, LU Wen-xi1,2*, WANG Zi-bo1,2, JIA Shun-qing1,2,WANG Han1,2, PAN Zi-dong1,2

(1.Key Laboratory of Groundwater Resources and Environmental, Ministry of Education, Jilin University, Changchun 130012, China；2.College of New Energy and Environment, Jilin University, Changchun 130012, China)., 2022,42(7)：3244～3253

In order to investigate the influences of random changes in model parameters and boundary conditions on the output uncertainty of groundwater solute transport model, combined application of Monte Carlo simulation and risk assessment were applied to illustrate the uncertainty analysis results of a hypothetical example. Firstly, a numerical simulation model of groundwater solute transport was established, then the parameters with greater impacts on the model output screened by local and global sensitivity analysis, together with the boundary conditions of the model (the first type of boundary conditions—head value) were set as random variables.Then the Gaussian Process Regression (GPR) method of optimizing hyperparameters was employed to establish an alternative model of the simulation model to complete the Monte Carlo stochastic simulation. Finally, statistical analysis and interval estimate of the results of random simulation were carried out, and the probability distribution function of pollutant concentration was used to estimate the risk of different degrees of pollution of observation wells 1, 2, and 3. The results show that when the confidence level was greater than 80%, the confidence intervals of the pollutant concentration values in observation wells 1, 2, and 3 were 34.77～35.03, 57.74～58.04, and 100.07～100.69mg/L, respectively. In addition, in observation wells 1, 2, and 3, the risk of slight pollution was 6%, 100% and 100%, respectively; the risk of moderate pollution was 0%, 0% and 99.6%, respectively; the risk of heavy pollution was 0%, 0%, and 0.5%, respectively. The present study can provide a reliable reference for pollution remediation and rational utilization of groundwater.

uncertainty of boundary conditions；sensitivity analysis；GPR substitution model；uncertainty analysis；risk assessment

X523

A

1000-6923(2022)07-3244-10

徐亞寧(1999-),女,河北保定人,吉林大學碩士研究生,主要從事地下水數值模擬方面研究.

2021-12-14

國家自然科學基金資助項目(41972252);國家重點研發計劃資助項目(2018YFC1800405)

* 責任作者, 教授, luwx999@163.com