SI2-擬代數空間

陳家柏，張文鋒

(江西科技師范大學數學與計算機科學學院，江西 南昌 330038)

無論是從數學的角度還是從計算機科學的角度，Domain理論都引起了廣泛的關注[1-2]。Domain理論研究的一個重要方面是盡可能地將連續格(domain)理論推廣到更為一般的格序結構上去[3-14]。在2013年的第六屆Domain理論國際研討大會邀請報告中，美國著名數學家Lawson強調需要用T0空間替代偏序集，發展domain的核心理論。文[15]中，趙東升和Ho Weng Kin在T0空間上利用不可約集給出了從已知拓撲得到新的拓撲的方法。此外，他們推廣了連續偏序集的定義，介紹了SI-連續空間的概念并深入研究了它們的性質。其后，羅淑珍和徐曉泉[16]利用正規完備化算子，引入了SI2-連續空間和SI2-擬連續空間的概念，進一步擴大了Domain理論的研究范圍，同時在許多方面都有待于更深入的研究。

本文將繼續對SI2-連續空間和SI2-擬連續空間的代數情形進行研究。首先，我們引入了SI2-代數空間的概念并討論了它的一些性質，特別地，我們證明了一個T0空間為SI2-代數的當且僅當其SI2-拓撲為B-空間；然后引入了SI2-擬代數空間的概念，證明了一個T0空間為SI2-擬代數的當且僅當其SI2-拓撲為超緊基空間；最后我們研究了SI2-代數空間和SI2-擬代數空間之間的關系，證明了一個T0空間為SI2-代數的當且僅當其為交SI2-連續和SI2-擬代數的。

1 預備知識

下面介紹本文所需的有關Domain理論和拓撲學的一些基本概念和符號[2]。

設P為偏序集。P的有限子集的全體記為P(<ω)。?x∈P，A?P，記↑x={y∈P:x≤y}，↑A=∪{↑a:a∈A}；對偶地可以定義↓x和↓A。稱A為上(下)集，若A=↑A(A=↓A)。令A↑和A↓分別為A的全體上界和全體下界之集。記Aδ=(A↑)↓并稱δ為P上的正規完備化算子。

設P為偏序集。α(P)={A?P:A=↑A}稱為P上的Alexandroff拓撲。以{P↓x:x∈P}為子基生成的拓撲稱為上拓撲，記為v(P)；對偶地可以定義下拓撲ω(P)。在P的非空子集族H上定義關系“≤”如下：F≤G?↑G?↑F；子集族H稱為定向的，若對?F1，F2∈H，?F∈H使F1，F2≤F，即F?↑F1∩↑F2。

設(X,τ)為一拓撲空間，A?X，符號intτA和clτA分別表示A關于τ的內部和閉包；非空集合F?X稱為不可約集，若對任意閉集A，B?X，F?A∪B?F?A或F?B。X上全體不可約集記為Irrτ(X)。

設(X,τ)為一T0空間，其上的特殊化序關系“≤τ”定義如下：x≤τy?x∈clτ(y)。易證，T0空間賦予特殊化序后為偏序集。在本文中我們約定T0空間上的序總是賦予特殊化序“≤τ”。

引理1.1[5]設P為偏序集。

(1)映射(-)↑:(2P)op→2P，AA↑和(-)↓:(2P)op→2P，AA↓都是保序的。

(2)((-)↑，(-)↓)是(2P)op和2P之間的一對Galois connection，即?A，B?P，B↑?A?B?A↓。因此δ:2P→2P，AAδ=(A↑)↓和δ*:2P→2P，A(A↓)↑都為閉包算子。

命題1.1[15]設(X,τ)為T0空間。

(1)對?a∈X，有↓a=clτ(a)。

(2)若U?X為開集，則U=↑U；若A?X為閉集，則A=↓A。

(3)若D?X關于特殊化序為定向集，則D為不可約集。

定義1.1[16,17]設(X,τ)為T0空間，?x，y∈X，稱x way below y，記為x?SI2y，若對?F∈Irrτ(X)，y∈Fδ?x∈↓F。記SI2x={y∈X:y?SI2x}及SI2x={y∈X:x?SI2y}。x稱為X的緊元，若x?SI2x。X中全體緊元之集記為K(X)。

定義1.2[16,17]設(X,τ)為T0空間，X稱為SI2-連續的，若對?x∈X，下列條件成立：

(2)x=∨SI2x且SI2x是定向的。

定義1.3[16]設(X,τ)為T0空間，U?X稱為SI2-開的，若U滿足：

(1)U∈τ；

(2)對?F∈Irrτ(X)，Fδ∩U≠??F∩U≠?。

X上由所有SI2-開集構成的拓撲稱為SI2-拓撲，記為τSI2。

命題1.2[16]設(X,τ)為T0空間，?u，x，y，z∈X。則

(1)x?SI2y?x≤y。

(2)若u≤x?SI2y≤z，則u?SI2z。

(3)若X中存在最小元0，則0?SI2x。

(4)若y∈intτSI2↑x，則x?SI2y。

定義1.4[16]設(X,τ)為T0空間，?G，H?X，稱G way below H，記作G?SI2H，若?F∈Irrτ(X)，↑H∩Fδ≠??↑G∩F≠?。G?SI2{x}簡記為G?SI2x。記SI2G={y∈X:y?SI2G}及SI2H={y∈X:H?SI2y}。記fin(x)={E∈X(<ω):E?SI2x}，K(x)={F∈X(<ω):F?SI2F≤x}。

定義1.5[16]設(X,τ)為T0空間，X稱為SI2-擬連續的，若對?x∈X，下列條件成立：

(1)對?E∈X(<ω)，SI2E∈τ；

(2)fin(x)是定向的；

(3)↑x=∩{↑E:E∈fin(x)}。

命題1.3[16]設(X,τ)為T0空間，?A，B，G，H?X。則

(1)G?SI2H??x∈H，G?SI2x。

(2)G?SI2H?G≤H。

(3)A≤G?SI2H≤B?A?SI2B。

(4)若y∈intτSI2↑H，則H?SI2y。

命題1.4[16]設(X,τ)為T0空間，H為X上的一個非空定向有限子集族，若F?SI2x且∩H∈H↑H?↑x，則?H∈H使H?↑F。

定義1.6[6]設(X,τ)為T0空間。

(1)X稱為B-空間，若?x∈U∈τ，?y∈X使x∈intτ↑y=↑y?U。

(2)X稱為C-空間，若?x∈U∈τ，?y∈X使x∈intτ↑y?↑y?U。

(3)X稱為超緊基空間，若?x∈U∈τ，?F∈X(<ω)使x∈intτ↑F=↑F?U。

定義1.7[16]設(X,τ)為T0空間，X稱為交SI2-連續的，若對?x∈X，F∈Irrτ(X)有x∈Fδ，則x∈clτSI2(↓x∩↓F)。

引理1.2[16]設(X,τ)為交SI2-連續空間，F∈X(<ω)，則有intτSI2↑F?∪{SI2x:x∈F}。

定義1.8[4]設P為偏序集。U?P稱為弱Scott開的，若對任意定向集D?P，Dδ∩U≠??D∩U≠?。

P上由所有弱Scott開集構成的拓撲稱為弱Scott拓撲，記為σ2(P)。

命題1.5[16,18]設(X,τ)為T0空間，則下述各條件等價：

(1)(X,τ)為SI2-連續的；

(2)(X,τSI2)為C-空間。

引理1.3[16]設P為偏序集，則以下條件成立：

(1)v(P)SI2=v(P)。

(2)α(P)SI2=σ2(P)。

引理1.4[18]設η，τ為X上的T0拓撲，若η?τ且它們的特殊化序一致，則ηSI2?τSI2。

由引理1.3和引理1.4，我們有如下推論。

推論1.1設P為偏序集，τ為P上一序相容拓撲，即v(P)?τ?α(P)，則v(P)?τSI2?σ2(P)。

命題1.6[18]設(X,τ)為T0空間，則以下條件等價：

(1)τ=τSI2；

(2)對任意不可約閉集F?X，有F=Fδ。

引理1.5[19]設P為偏序集，τ為P上一拓撲且v(P)?τ?σ2(P)，則對任意定向集D?P，有Dδ=clτD。

命題1.7設(X,η)為SI2-連續空間，若η為一序相容拓撲，則ηSI2=(ηSI2)SI2。

2 SI2-代數空間

定義2.1設(X,τ)為T0空間，X稱為SI2-代數的，若對?x∈X，下列條件成立：

(2)x=∨(↓x∩K(X))且↓x∩K(X)是定向的。

注記2.1若X?↓x，則x=∨(↓x∩K(X))?x∈(↓x∩K(X))δ。

命題2.1設(X,τ)為T0空間，則下述各條件等價：

(1)(X,τ)為SI2-代數的；

(2)(X,τ)為SI2-連續的，且x?SI2y??k∈K(X)使x≤k≤y。

證明(1)?(2):顯然，(X,τ)為SI2-連續的。若x?SI2y，由(1)，y∈(↓y∩K(X))δ且↓y∩K(X)定向。由命題1.1(3)，則x∈↓(↓y∩K(X))，即?k∈↓y∩K(X)使x≤k，從而x≤k≤y。反之，若?k∈K(X)使x≤k≤y，則x≤k?SI2k≤y。由命題1.2，有x?SI2y。

定理2.1設(X,τ)為T0空間，則以下兩條件等價：

(1)(X,τ)為SI2-代數的；

(2)(X,τSI2)為B-空間。

證明(1)?(2):對?x∈X，U∈τSI2，x∈U，由(1)，x∈(↓x∩K(X))δ且↓x∩K(X)定向。由SI2-開集定義可知，?k∈↓x∩K(X)使得k∈U。易證x∈↑k=intτSI2↑k∈τSI2，從而有x∈↑k?U。

3 SI2-擬代數空間

定義3.1設(X,τ)為T0空間，X稱為SI2-擬代數的，若對?x∈X，下列條件成立：

(1)對?F∈X(<ω)，SI2F∈τ；

(2)K(x)是定向的；

(3)↑x=∩{↑F:F∈K(x)}。

命題3.1設(X,τ)為T0空間，則下述各條件等價：

(1)(X,τ)為SI2-擬代數的；

(2)(X,τ)為SI2-擬連續的，且F?SI2x?存在有限G?SI2G，使x∈↑G?↑F。

證明(1)?(2):顯然，(X,τ)為SI2-擬連續的。若F?SI2x，由命題1.4知，存在有限G?SI2G，使得G?↑F，從而x∈↑G?↑F。反之，若存在有限G?SI2G，使x∈↑G?↑F，則F≤G?SI2G≤x，因此F?SI2x。

(2)?(1)：顯然，對?F∈X(<ω)，SI2F∈τ。對?x∈X，令F1，F2∈K(x)，則F1?SI2x，F2?SI2x。因為fin(x)定向，則?F∈fin(x)使F?↑F1∩↑F2，由(2)，存在有限G?SI2G使x∈↑G?↑F，因此G∈K(x)且F1，F2≤F≤G，從而K(x)是定向的。顯然，↑x?∩{↑F:F∈K(x)}。若y?↑x，因為(X,τ)為SI2-擬連續的，則?H∈fin(x)使y?↑H。由(2)，存在有限E?SI2E使x∈↑E?↑H，因此E∈K(x)且y?↑E.。從而↑x=∩{↑F:F∈K(x)}。故(X,τ)為SI2-擬代數的。

定理3.1設(X,τ)為T0空間，則下述各條件等價：

(1)(X,τ)為SI2-擬代數的；

(2)(X,τSI2)為超緊基空間。

證明(1)?(2):對?x∈X，U∈τSI2，有U?SI2x。由命題1.4，則?F∈K(x)使F?↑U，即↑F?↑U=U，故x∈intτSI2↑F=↑F?U。

再證，對?E∈X(<ω)，有SI2E∈τ。我們證明SI2E=intτSI2↑E。由命題1.3可知，intτSI2↑E?SI2E。反之，對?x∈SI2E，令H={H∈X(<ω):x∈intτSI2↑H}。因為X為SI2-開的，由(2)，?F∈X(<ω)使得x∈intτSI2↑F=↑F?X，從而F∈H≠?。任取H1，H2∈H，則x∈intτSI2↑H1∩intτSI2↑H2∈τSI2，由(2)，?G∈X(<ω)使x∈intτSI2↑G=↑G?intτSI2↑H1∩intτSI2↑H2?↑H1∩↑H2，故G∈H且H1，H2≤G，因此H定向。顯然，↑x?∩H∈H↑H。若xy，則x∈X↓y∈τSI2，由(2)，?J∈X(<ω)使x∈intτSI2↑J=↑J?X↓y，因此J∈H且y?↑J，故↑x=∩H∈H↑H。因為E?SI2x，由命題1.4，?K∈H使K?↑E，因此x∈intτSI2↑K?intτSI2↑E。故SI2E=intτSI2↑E∈τSI2?τ。

引理3.1[6]設(X,τ)為T0空間，F為X中的有限集，則↑F=↑Min(F)，其中Min(F)為F中全體極小元之集。

定理3.2設(X,τ)為T0空間，則下述各條件等價：

(1)(X,τ)為SI2-代數的；

(2)(X,τ)為交SI2-連續和SI2-擬代數的；

(3)(X,τ)為交SI2-連續的，且滿足：

(ⅰ) 對?x∈X，↓x∩K(X)是定向的且SI2x∈τ；

證明(1)?(2):顯然，(X,τ)為交SI2-連續和SI2-擬代數的。

(2)?(3)：(ⅰ) 對?x∈X，由(X,τ)為SI2-擬代數，有SI2x∈τ。下證↓x∩K(X)定向。任取m，n∈↓x∩K(X)，則x∈↑m∩↑n∈τSI2，由定理3.1，?F∈X(<ω)使x∈intτSI2↑F=↑F?↑m∩↑n，因為F為有限集，由引理3.1，有↑F=↑Min(F)。由引理1.2，有x∈↑Min(F)=↑F=intτSI2↑F=intτSI2↑Min(F)?∪{SI2t:t∈Min(F)}，因此?t∈Min(F)使t?SI2x，由↑Min(F)?∪{SI2t:t∈Min(F)}，?s∈Min(F)使s?SI2t，從而s≤t，由s，t∈Min(F)，有s=t，因此t∈↓x∩K(X)且t∈↑m∩↑n。由(X,τ)為SI2-擬代數及定理3.1知，?G∈X(<ω)使x∈intτSI2↑G=↑G?X，即?y∈Min(G)使y∈↓x∩K(X)，從而↓x∩K(X)≠?，故↓x∩K(X)定向。

特別地，對任意偏序集P，當τ=α(P)時，由引理1.3，易知SI2-代數空間，SI2-擬代數空間以及交SI2-連續空間正好分別是文[7]中的S2-代數偏序集，S2-擬代數偏序集以及交S2-連續偏序集；當τ=ν(P)時，SI2-代數空間和SI2-擬代數空間正好分別是文[11]中的超代數偏序集和擬超代數偏序集。故由定理3.2，我們可以得到下述兩個推論。

推論3.1[7]設P為偏序集，則下述各條件等價：

(1)P為S2-代數的；

(2)P為交S2-連續和S2-擬代數的；

推論3.2[11]設P為偏序集，則下述各條件等價：

(1)P為超代數的；

(2)P為交S2-連續和擬超代數的。