面積測量與計算中的“眼光”

□ 郜舒竹 羅玉曉

長期以來，小學數學有關“面積”的課程設計與教學，重視公式的推導、記憶和應用，相對忽視對圖形之間的關系、公式的意義以及公式與公式之間關系的認知，導致記憶和計算成為數學學習的主要活動。因此學生會形成“離開公式看不出、沒有數據算不出”的公式固著思維，缺失了多元的眼光、靈活的思維和豐富的表達。

事實上，任何公式都是規律或關系的表征形式，小學階段中和面積測量與計算過程相關的認知活動不僅是套用公式的計算，更應重視對圖形及其關系的觀察和規律的發現，比如“從一看幾”的迭代過程、“從異看同”的比較過程、“從給定看確定”的推理過程以及“從變化看規律”的發現過程。凡此都應當成為教科書編修以及教學設計中需要重視的課程內容。

一、從一看幾

小學數學課程“圖形與幾何”領域中的“量（音：liàng，下同）”主要指長度、面積和體積（容積），這樣的量具有“連續（Continuous）”和“廣延（Extension）”的屬性。連續是相對于“離散（Discrete）”而言的，離散的對象是“個體（Individual）”，沒有共同邊界，容易區分彼此，每一個個體可以自然地成為計數單位，因此是可以“數（音：shǔ）”的。而連續是“實體（Entity）”的屬性，相鄰部分具有共同邊界，難以區分整體中的不同部分，更難以確定計數單位，因此不易像離散量那樣計數。

廣延是相對于“強度（Intension）”而言的，廣延和強度都是實體具有的屬性。比如，兩杯熱水倒在同一容器中，水的總容量成為原來兩杯水容量的和，具有空間意義的“可加性”與“可分性”，屬于廣延量；水的溫度則不同，合并后的水溫不可能是原來水溫的和，不具備廣延量的可加性，只有強弱程度的差異。因此把類似于溫度這樣的量叫“強度量（Intensive Quantity）”，以區別于容量這樣的“廣延量（Extensive Quantity）”［1］。

廣延性使得同樣的量出現差異，因而產生比較與測量的需求；連續性導致離散量中計數的經驗難以實施，導致測量的困難。按照德國哲學家、數學家萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716）的說法：“（廣延）量是某實體整體和部分共有的一種性質……測量是與單位的比較過程?！保?］英國哲學家、數學家羅素（Bertrand Arthur William Russell，1872—1970）對于量的認識與萊布尼茲有所不同，認為不應把量視為客觀對象固有的內在性質，而是與人的認知相關聯的：“量是人通過比較對關系的把握……孤立地看一個量，我們無法發現量的任何性質?！保?］按照羅素的觀點，對量及其性質的認識是人在比較的活動中發現并建構的，這與奧地利-捷克物理學家、心理學家和哲學家馬赫（Ernst Mach，1838—1916）的觀點一致：測量是對兩個同類量相等與不等關系的比較［4］。

比較的過程，自然產生并形成“等于、大于、小于”的順序關系。為了使順序關系更加清晰，就需要明晰“是多少、多多少、少多少”這樣的問題，因此產生了對量的差異進行描述的需要，也就是對“量”賦予“數”的名稱并建立順序。實現這一過程的前提是將量與數建立對應關系［5］，簡單說就是“知一”和“求幾”?！爸弧敝傅氖谴_定單位，“求幾”就是在“知一”的基礎上，給相應的量賦予數的名稱“幾”。有了“幾”這樣的名稱，同類量之間就具有了結構性的關系，具體表現為“一”和“幾”的關系。因此面積測量過程需要經歷的活動為：選擇并確定面積單位以及與面積單位的比較，也就是“知一求幾”或“從一看幾”。這樣的過程與線段長度的線性測量差異巨大，具有反直覺特征，蘊含著豐富的思維活動。面積測量過程不僅是承上啟下的知識習得過程，同時是經歷概念轉變的思維發展過程。因此“從一看幾”是面積測量過程中不可或缺的認知活動［6］。

二、從異看同

二維平面圖形與一維直線的一個區別是存在“形異量等”的情況，即兩個形狀不同的圖形可能面積相等。嚴格講這樣形異量等的兩個圖形并不是完全“相等（Equality）”的關系，正如“2+3”與“1+4”并不相同，而是諸多不同中某一屬性具有共性，數學中通常用“等價（Equivalence）”表達這種異中之同的關系。對于兩個分數，二者的讀法、寫法和意義均不相同，僅在所表達量的結果方面具有共性，因此二者的關系是等價關系。

“等價”表達的是兩個不同對象之間的關系。人們為了某種目的或需求，忽略二者的相異之處，僅關注其異中之同，如果這樣的共同點存在，就將不同對象視為在這一相同點上具有等價關系［7］?！?+3”與“1+4”等價，源于二者運算結果相同等價，基于所表達量相同。又如兩條直線相互平行，這時二者的空間位置不同，它們是兩條不同的直線，但如果想象某物沿著這兩條直線運動，會發現運動方向一致（如圖1）。因此“平行”作為兩條直線的關系，可以看作方向意義上的等價關系。概括地說，所謂等價實質是“從異看同”的眼光。

圖1 平行與等價示意圖

凡平面圖形都具有“形”與“量（面積）”的雙重屬性，根據二者的異同，可以將兩個平面圖形之間的關系概括為四種類型：形同量等、形同量異、形異量等和形異量異。其中的“形同量等”指的是形狀與大小完全一樣的“全等”關系；“形同量異”關注的是形狀相同的“相似”關系，全等可以看作是相似關系的特例；“形異量等”既不同于全等關系，也不同于相似關系，指形狀不同但面積相等。

圖2中大長方形由“甲、乙、丙、丁”四個長方形組成，其中長方形丙的對角線分出的兩個三角形“Ⅰ”和“Ⅱ”是全等關系；同樣，長方形丁的對角線分出的兩個三角形“Ⅲ”和“Ⅳ”也是全等關系。三角形“Ⅰ”和“Ⅱ”之一，與“Ⅲ”和“Ⅳ”之一是相似關系。而長方形甲和乙形狀不同，但面積相等，因此甲和乙既不是全等關系，也不是相似關系，屬于形異量等的等價關系。數學中的等價關系一般要求符合以下三個條件。

圖2 圖形等價關系示意圖

●自身性：自己與自己等價。

●對稱性：如果A與B等價，那么B與A等價。

●傳遞性：如果A與B等價，并且B與C等價，那么A與C等價。

平面圖形的全等關系、相似關系以及形異量等的關系，均符合這三個條件，因此這三種關系都可以視為等價關系，區別在于，“從異看同”的著眼點和其他兩者不同。相似（包括全等）關系是將形狀這一“質”的因素作為關注點，形異量等的等價關系則忽略形狀，僅關注“量（面積）”的屬性。

諸如此類的等價關系都會在圖形比較過程中出現。引導學生用“從異看同”的眼光觀察、思考、表達這樣的關系，就成為面積測量過程中必要的認知活動，以使學生在“從異看同”的過程中體會同中求異和異中求同的方法論。

三、從給定看確定

沿襲演繹推理的傳統，數學課程內容中習慣采用“從給定到確定”的推理形式?！敖o定”與“確定”對應的英文均為“Given”，在推理中使用這一術語時，默認的意義是表達某對象“存在（Existence）”并且“唯一（Uniqueness）”［8］。比如：如果平面上給定兩個不同位置的點，那么這兩點之間存在唯一的直線；如果給定三角形三條邊的長度，那么這個三角形的形狀和大小隨之確定，這樣的性質也叫三角形的穩定性；如果給定一個正方形的周長，那么這個正方形的面積隨之確定。但長方形的周長與面積就不具備這樣的關系，給定長方形的周長，其面積存在，但未必唯一。如圖3中兩個長方形的周長均為14cm，二者面積則不等。

圖3 周長相等，面積不等示意圖

作為條件的“給定”實質是假定，未必是真實的，是設想了一個推理的前提，目的是實施從給定到確定的推理。因此，從給定到確定建立了一種從原因到結果的因果關系，數學中的命題或公式是這種因果關系的表征形式。對長方形來說，如果僅給定長或寬之一，無法使得面積確定，需要同時給定長和寬的長度，此時才可以感覺到這個長方形的形狀和大小存在并且唯一，也就是長方形的面積是因長和寬同時給定而確定的，這樣“雙因一果”的關系可以用以下語言表述。

關系1：如果長方形的長和寬同時給定，那么這個長方形及其面積隨之確定。

這樣的關系顯示出“長方形的面積=長×寬”實質是人為建構的，即用長方形的長和寬人為規定出長方形的面積，規定的依據正是從給定到確定的因果推理。數學與科學中許多概念都具有這種從給定到確定的人為規定特征。比如勻速運動，如果同時給定時間和路程，那么運動的快慢就隨之確定，因此就用路程與時間這兩個異類量之比，人為建構出“速度”這一概念，將運動快慢這一質的屬性量化，成為溝通路程與時間兩個廣延量關系的強度量。

長方形的關系1可以利用“尺規作圖”過程直觀地感受。給定兩條相互垂直的線段，這里的給定意味著兩條線段的相對位置、夾角以及長度唯一確定。

圖4中實際已經給定了長方形的三個頂點A、B、C，如果第四個頂點存在并且唯一，那么長方形及其面積就隨之確定。用圓規和直尺作出第四個頂點的過程，可以顯示出第四個頂點的確定性。具體做法如下。

圖4 給定長和寬示意圖

第（1）步：用圓規截取線段AB的長度為半徑，以點C為圓心作圓，此時圓上每一個點到點C的距離都等于線段AB的長度，因此第四個頂點的位置應當在這個圓周上。（如圖5）

圖5 尺規做圖（1）

第（2）步：用圓規截取線段BC的長度為半徑，以點A為圓心作圓，這個圓上每個點到點A的距離都等于線段BC的長度。第四個頂點應當同時位于兩個圓上，因此兩個圓所形成的交點D就成為長方形的第四個頂點。用直尺分別連接AD與CD，構造出唯一確定的長方形ABCD。（如圖6）

圖6 尺規做圖（2）

綜上，“長方形的面積=長×寬”這一公式的意義并不限于計算，實質反映的是長方形邊的長度與面積從給定到確定的因果關系。值得注意的是，這一關系具有單向的特點，即“如果給定長和寬，那么長方形及其面積隨之確定”。但反過來的關系并不成立，如果給定長方形的面積，那么這個長方形的長和寬并不能唯一確定。這一點與正方形不同，如果給定一個正方形的面積，那么這個正方形的邊長就隨之確定。

“從給定看確定”是數學中廣泛使用的推理形式，自然應當成為在數學學習過程中逐步形成并提高的能力，需要在教科書編修以及教學中有所體現。特別是要將尺規作圖融入到這樣的認知過程中，讓學生有機會在尺規作圖的具身活動中體會這樣的推理形式，讓尺規成為認知的工具，讓作圖成為認知的具身活動。

四、從變化看規律

這里的“規律（Pattern）”指的是運動與變化過程中相對穩定的關系［9］。用動態的眼光看，長方形面積與長和寬表現為相互關聯的協變關系［10］。舉例來說，如果將一張長方形紙沿著長所在邊對折，實際上寬不變，長縮短為原來的二分之一，這時長方形面積同時也縮小為原來的二分之一。（如圖7）

圖7 折紙示意圖（1）

如果繼續沿著寬對折，得到的小長方形面積就成為二分之一的二分之一，即四分之一。（如圖8）

圖8 折紙示意圖（2）

同樣如果長方形的長擴大為原來的2倍，寬不變，那么長方形面積也隨之擴大為2倍；如果長和寬同時擴大為原來的2倍，那么面積則擴大為原來的4倍。因此可以知道，長方形的面積與長（或寬）具有穩定的正比例關系，表述如下。

關系2：長方形面積與長（或寬）的長度成正比例。

這樣的正比例關系在人們的日常經驗中普遍存在。比如，如果把墩布擦地板的過程看作平移運動，把擦過的地面（長方形）的面積視為結果，這個結果由墩布的寬度和平移運動的距離兩個因素決定。

如果給定墩布寬度，那么擦過地面的面積與平移運動的距離成正比例。同樣，如果給定運動距離，那么擦過地面的面積與墩布寬度成正比例。

像這樣用擦地的過程認識面積的方法,是將“面”視為“線”運動過程中所產生的軌跡，是用動態的眼光看待圖形，這樣的方法通常用于連續量的認識與測量，叫作面積的“動態度量（Dynamic Measurement，簡寫為DYME）”［11］。相對于靜態的眼光，動態度量不是將平面區域看作面積單位填充的“容器（Container）”，而是運動“路徑（Path）”中軌跡的生成或積累［12］。動態度量的眼光對于數學的發現與發明意義重大，偉大的科學家、數學家牛頓（Isaac Newton，1643—1727）發明的“流數法”是微積分誕生的一個標志。論及流數法的基本原理，牛頓在其名著《流數法與無窮級數》的前言中說：“可以把數學中的量看作是連續運動產生出來的?！保?3］可以說，牛頓發明的微積分實際是以動態度量為思想基礎的［14］。

動態的眼光使得長方形面積與長和寬的因果關系，與行程問題中路程、時間和速度之間的關系具有了思想的一致性。14世紀法國哲學家、科學家尼克爾·奧里斯姆（Nicole Oresme，約1320—1382），在研究如何將運動的快慢進行量化的時候，就是用長方形作為模型表達勻速運動各個量之間的關系［15］［16］?！伴L方形的面積=長×寬”與“路程=速度×時間”思想的一致性，可以進一步拓展到諸如工程問題、購物問題、利率問題、濃度問題等問題中（如表1）。

表1 數量關系一覽表

其中的因數a與因數b以及乘積c，都體現出長方形中長、寬與面積雙因一果的關系，即“c=a×b”表達的是以a與b作為原因產生結果c的過程，遵循的規律是：

●給定a與b，則c隨之確定。

●給定a，則b與c成正比例。

●給定b，則a與c成正比例。

法國著名的數學教育家杰勒德·懷爾格（Gerard Vergnaud，1933—2021），把諸如此類乘法運算所表達關系在思維中的表現，稱作“乘法概念域（Multiplicative Conceptual Field，簡寫為MCF）”［17］。綜上可知，乘法概念域中的思維過程至少應當包括“從給定到確定”以及“從變化看規律”的推理過程。

總之，小學數學課程中面積測量與計算的內容具有豐富的育人功能。因此，本文從認知過程中提取出“從一看幾、從異看同、從給定看確定、從變化看規律”的認知活動。這些活動著眼于量以及量之間關系，弱化套用公式的數與計算，將數字符號及其關系降為次要地位。美國的帕特里克·湯普森把這樣的認知活動稱為“量推理（Quantitative Reasoning）”［18］。像這樣針對量以及量之間關系的量推理，是學生在數學學習中需要逐步提升的認知能力，也是今后數學學習的基礎，因此應當成為教科書以及教學設計需要重視的課程內容。