讓軸對稱彰顯“運動”本色
——小學“軸對稱”知識的內容分析與教學思考

□ 顧志能 倪森鶴

圖形的運動，又稱圖形的變換，小學階段主要涉及平移、旋轉、軸對稱、放大（縮?。┑戎R，前三者是全等變換，后者是相似變換。

關于軸對稱知識，教材體系很清晰，但學生對此的認識卻并不清楚。比如在六年級總復習時，倘若問學生“我們學過哪些圖形運動的知識”，學生往往會說“有平移和旋轉”，而不太會講到軸對稱和放大（縮?。?。不把放大（縮?。┛闯蓤D形運動的方式，尚可理解，因為相似變換與人們日常對“運動”的認識存在一些差異。但是，與平移、旋轉一樣，同是全等變換的軸對稱，學生也沒把它看作是圖形運動的方式，這個現象值得我們深思。

事實上，不僅學生如此，有些教師對軸對稱知識也認識模糊。曾多次遇到教師的表達存在疑義——“軸對稱，就是畫出一幅圖形的另一半”，這跟運動有什么關系？平移、旋轉是在運動，但軸對稱哪里有運動呢？還有教師存在這樣的誤解——在判斷一個圖形是否為軸對稱圖形時，都是采用“對折、重合”的方式，所以“對折”就是軸對稱中的運動。

軸對稱中的運動，究竟是怎么回事？師生為什么會產生認識上的模糊？在小學階段怎樣教好這塊知識？本文嘗試圍繞這三個問題進行闡述。

一、軸對稱知識的數學本質

現實世界中，物體發生運動和變化，是常見的現象。從數學的角度看，物體的運動和變化，都可以抽象為圖形的變換。在幾何學中，我們把幾何圖形按照某種法則或規律變成另一個幾何圖形的過程叫作圖形變換。［1］

如規定平面上任意一點P，如果P與其對應點P＇所連線段PP＇被給定直線l垂直平分，這樣的變換就叫作軸對稱變換，也叫軸反射變換［2］（如圖1），簡稱軸對稱或軸反射。

圖1

不同的法則會產生不同的變換，如平移變換、旋轉變換、相似變換等。限于篇幅，本文不細述各種法則，讀者可自行查閱相關資料。

圖形是點的集合，任意一個圖形的變換，本質上都是點的變換（或者說點集的映射）。如圖2所示，△ABC軸對稱變換為△A＇B＇C＇，實際上就是所有的點同時進行軸對稱變換。點的變換，在數學上被稱之為“運動”，因此“圖形的變換”也被叫作“圖形的運動”。

圖2

從上文可知，軸對稱與平移、旋轉一樣，都是圖形變換（運動）的方式，雖然方式不同，但其內在本質相同——都是點的變換（運動）。

若站在生活經驗的角度來看待這三種運動，常會讓人感到有些“差異”。因為一個圖形進行平移、旋轉，它們都是在一個平面內運動（滑動、轉動），這樣的現象在生活中比較常見，比較符合人們對運動的常規理解。而軸對稱似乎不是在一個平面上運動，如果非得要找尋生活經驗作支撐，那就需要人們改變思維方式，把看待運動的視野從平面拓展到立體，才能找到對應的實例——將整個圖形翻折過來（即沿著對稱軸在空間內翻轉180°）。所以，從生活經驗和學習心理的角度來看，軸對稱相比平移、旋轉，要略抽象和復雜一些，由此開展的學習自然也會曲折一些。

二、師生認識模糊的原因

（一）較多的相關數學名詞產生干擾

師生認識上的模糊，跟軸對稱知識中相關數學名詞比較多、容易混淆有關系。

上文中已經說到了好幾個數學名詞：軸對稱、軸對稱變換、軸對稱運動。事實上，我們還經常聽到對稱軸、軸對稱圖形、兩個圖形成軸對稱等數學名詞。這里，有必要把幾個數學名詞再理一理。

軸對稱是軸對稱變換（軸對稱運動）的簡稱，表達的是一種特定的運動法則。這個詞語如果換作更具動詞特征的“反射”，也許會更有利于人們理解和表達。事實上，在數學的專業領域，較多采用的是“反射”這個詞語，參見各種作圖軟件中的操作菜單。

而軸對稱圖形，它是指若關于一個圖形，存在這樣一條直線，使這個圖形上的每個點關于這條直線的對稱點仍是這個圖形上的點，則稱這個圖形關于這條直線對稱，或稱這個圖形是軸對稱圖形［3］。這個說法比較抽象，簡單地說，此處的“軸對稱”三個字，是一個定語，用其刻畫了這個圖形的性質（特征）。如長方形、等腰三角形等，都具有“軸對稱”的特征，所以都叫作軸對稱圖形。（注意：從定義可見，軸對稱圖形一般是指一個圖形。但是，當兩個圖形有軸對稱關系時，如果把它們合起來看成一個整體的話，這個圖形也是一個軸對稱圖形［4］，如圖2中兩個三角形組成的圖形。）

從上一段話中也可以看到，兩個圖形成軸對稱，無非就是在表達兩個圖形之間存在著的一種位置關系——軸對稱的關系。

因此，筆者猜測，部分師生沒有認識到軸對稱是一種運動方式，這與現實中人們常常把軸對稱圖形和軸對稱變換都簡單地稱為“軸對稱”有關?？梢约傧?，描述這個知識時，人們若規定這種變換一律叫“反射變換”，簡稱“反射”（即把作為動詞的“軸對稱”說法忽略），而形成的圖形叫作“軸對稱圖形”，混淆也許就可以避免。

（二）教材的內容編排帶來影響

當前的教材編排，遵循了《義務教育數學課程標準（2011年版）》的課程內容，第一學段是“感受軸對稱現象”“通過觀察、操作，初步認識軸對稱圖形”，第二學段則是“進一步認識軸對稱圖形……能在方格紙上補全一個簡單的軸對稱圖形”。這樣的編排思路，導致小學生把軸對稱與平移、旋轉“差別對待”。

如果分析教材的編排，我們可以清晰地看到這種“差別”是如何產生的。

以人教版教材為例。圖形運動相關知識第一次出現是在二年級下冊，單元名稱就叫“圖形的運動（一）”。整個單元有4個例題，分別教學軸對稱（如圖3）、平移（如圖4）、旋轉、軸對稱的運用。

圖3

圖4

仔細觀察教材，可發現軸對稱的引入情境，是“靜態存在”的一幅圖，而平移的引入情境，則是“動態發生”的一件事。軸對稱的例題，其教學的重點是軸對稱圖形的特征（對折后左右能完全重合），而平移的例題則讓學生感受一個圖形經運動后可得到另一個圖形。因此，學生學習后，并不理解“軸對稱就是圖形的運動”。

到了四年級下冊，教材安排了“圖形的運動（二）”，內容是再次教學軸對稱和平移（旋轉相對復雜，編在了五年級下冊）。圖5是軸對稱的例1，教材直接給出了一個軸對稱圖形，讓學生“看一看，數一數，發現了什么”。例題如此設計，不是從運動的角度揭示這個軸對稱圖形的形成，而是讓學生通過探究發現軸對稱圖形的性質——對稱點的連線與對稱軸垂直，到對稱軸的距離相等。緊接著的例2（如圖6）要求補全一個軸對稱圖形，學生運用從例1中獲得的經驗，借助觀察、數格子、找點、連線，補全圖形，此過程實質上就是性質的運用。

圖5

圖6

所以，通過例1、例2的學習，可以發現軸對稱就是研究一個圖形的性質（或是利用性質畫出一個圖形的另一半），這是學生學習軸對稱知識的最大感受，至于其中的“運動”特性，學生應該是沒有感覺的。

緊接著來看平移例題（圖略），其素材和教學實施，能讓學生切實地感受到圖形在運動，運動到其他位置，得到一個同樣的圖形。旋轉的教學與其相似，限于篇幅，本文不再贅述。

北師大版、蘇教版等教材的編排體系及例題形式總體與人教版教材類似。

綜上所述，按當前的教材編排體系實施教學，學生雖然經歷兩輪學習，但并不能獲得“軸對稱就是圖形的運動方式”的認知，這與學習平移、旋轉后形成的清晰認知是完全不一樣的。正因為如此，到了六年級“圖形的運動”總復習時，很多學生不認為軸對稱是圖形的運動方式。同時這三個知識點教學時形式的不一致，也使有些教師不知不覺間模糊了認識。

三、軸對稱知識的教學思考

根據上面的分析，在目前的教材編排體系下，小學階段教學軸對稱知識，若想讓學生較好地認識到“軸對稱就是圖形的運動方式”，教師可以從認識的提升和教學的改進兩方面入手。

首先，教師要準確把握軸對稱知識的數學本質——運動，“軸對稱就是圖形在運動，實際上就是點在運動”。只有教師具備了這樣的認識，那么無論是審視教材中的例題和習題，還是設計教學的內容和方法，或是進行教學中的語言表達和引領，才會凸顯這個本質。

其次，教師要利用現有的教材資源，在內容上作巧妙的處理，在教法上作大膽探索，讓軸對稱知識的教學能夠體現其運動屬性，并引導學生體驗和理解，實現認知的提升。根據筆者的實踐和思考，可以從三個教學節點上進行嘗試。

（一）初次教學時，引入“翻折”，滲透運動

各套教材都是從生活中的軸對稱現象引入，讓學生初步感知這些圖形的特點，然后再正式開展例題教學。以人教版教材為例，例題讓學生開展“對折→畫→剪→打開”的操作活動（如圖7），得到一個軸對稱圖形。借助操作和觀察，引導學生感知軸對稱圖形的特點，認識對稱軸。

圖7

應該說，這個學習素材是極有內涵的——直觀地說明了半個圖形運動后就可變成一個軸對稱圖形。但是，很多教師在教學時，都沒有領會剪紙活動中的這個內涵，他們把教學的重點放在了剪紙后對圖形特征的研究上（強調“對折、重合”），甚至有的教師覺得剪紙活動缺乏思維含量而直接棄用。這些做法，都會使學生錯失“軸對稱就是圖形的運動方式”的認識機會。

可以對原有例題教學進行改進，具體實施如下：

在剪紙活動后，先展示“打開——半個圖變整個圖”的過程，明確告知學生這就是對圖形進行“翻折”，相當于原來的圖形運動到了另一邊。

再讓學生借助類似的學習材料，反復進行翻折，進一步加深對軸對稱圖形的認識。翻折之前想象，翻折之后觀察（還可借助多媒體），充分體驗通過不同的翻折可得到不同的軸對稱圖形。

教學經如上改進后，學生不僅能較好地體驗軸對稱圖形的運動屬性，而且能深刻地認識到軸對稱圖形的特征及其原理（翻折與對折正好是相反的動作）。

另外，后續的練習中，不要都是憑借觀察或借助“對折、重合”來判斷一個圖形是否為軸對稱圖形，可以適當增加有關翻折的練習，以進一步強化運動的思想。如北師大版教材的一道習題就很有意思（如圖8）。

圖8

在這里特別要說明：“翻折”這個名詞，運動特征明顯，學生也容易理解和表達，教學軸對稱知識時，直接采用這個名詞來表達軸對稱運動。事實上，很多專家早就有此呼吁。［5］

（二）再次教學時，強調“找點”，凸顯本質

如果說軸對稱的初次教學，是讓學生直觀感知圖形的運動，那么再次教學時，就應該從直觀過渡到抽象，引導學生基于數學的本質去認識軸對稱運動。

人教版教材四年級下冊的例1、2，是先教學軸對稱圖形的性質，再利用掌握的性質畫出另一半。這個編排順序和要求不妨變化一下——通過翻折（想象、操作）找出另一半，在探究過程中得出性質。原來的例題可進行如下改變：

這個圖形沿著對稱軸翻折（如圖9），你能想象出A、B、C、D四個點分別會變到哪個位置嗎？請在圖上標出4個點變化后的位置，并補全整個軸對稱圖形。

圖9

這一過程，既鏈接了之前的學習經驗（翻折），又無痕地滲透了圖形的運動就是點的運動這個數學本質。教師要做的，就是在反饋時，借助實物操作或多媒體演示，讓學生說清楚并理解這些點會變到哪個位置，知道怎么想。（注意：圖中的點并不全是格點，這更有利于學生思考）經過這樣的學習，學生就能切實地體會到，一個圖形要進行軸對稱變化，只要找到各個關鍵點運動后的位置，然后把點連線即可得到它的另一半。如此，知識的本質得以凸顯，方法的聯系得以建立。

在此基礎上，引導學生進一步關注運動前后的點，“看一看，數一數，你發現了什么”，軸對稱圖形的性質自然得出。

這種思路，在北師大版教材五年級上冊的例題（如圖10）中有一定體現。筆者建議對這個例題進行兩點改進：一是在半幅圖上可用字母標注出幾個點，二是提示語可改為“先想象一下翻折的過程”。

圖10

經過如上教學后，學生理解了軸對稱運動的本質，找到了找點與翻折之間的關聯，基于此再去熟練技能（各種畫出軸對稱圖形另一半的練習），甚至探索對稱軸是斜線的情況，那就能高屋建瓴地認識圖形的運動了。

當然，如果二年級未教學過“翻折”，那么在四年級教學本課時，課始可先通過設計情境簡單補一下這個知識（四年級學生很容易理解和接受），然后按上述思路展開教學，效果也是很好的。

（三）綜合練習時，引導“建聯”，靈活運用

學完軸對稱、平移、旋轉三個知識之后，各套教材都設置了綜合運用這三個知識的內容。若仔細閱讀教材，會發現目前的編排中，對三個知識是“區別對待”的——講運動方式時只要求用平移和旋轉，而不提軸對稱。如北師大版教材六年級下冊中的一道例題（如圖11），很明顯，要求說說怎么通過平移或旋轉將圖片運動到指定位置。

圖11

教材的編排，再次錯失了引導學生認識軸對稱是圖形運動方式的機會。這當然是有原因的——一是圖中的七巧板若做軸對稱運動，會涉及“兩個圖形成軸對稱”，這超出了課程標準的要求；二是之前的教學沒有涉及軸對稱的運動本質，此時提這樣的要求，顯然不合邏輯。

那么，如果在這樣的題中加入軸對稱的要求，六年級學生能否進行學習呢？教學的效果又會怎樣呢？

筆者曾經改造了北師大版教材中的一個素材（如圖12），開發了一節效果不錯的練習課。

圖12

首先，將供學生操作的卡片全部雙面印刷——兩面圖案相同。其次，任務還是“打亂的圖形如何才能實現還原”，但對具體方法沒有限定。結果，當有學生想到運用軸對稱的方法之后（如圖中打亂后處在左邊的圖形，經過兩次翻折后也可實現還原），翻折（軸對稱）就成為了課中學生主動追求、非常喜歡的一種方法。尤其是對稱軸的個性化設定，使得變化過程得以創新出奇。整節課，不斷變化打亂的圖形及位置，逐步提升還原的要求（盡可能少的步驟），促使學生靈活地運用三種方法進行解決，在加深對三種運動認識的同時，較好地發展了空間觀念、創新意識。

從知識學習的角度而言，上這樣一節課是非常必要的，因為它可讓即將畢業的小學生從聯系的視角、整體的視角，實現對軸對稱、平移和旋轉的深度把握——都是圖形的運動，都是全等的變換，只不過變換形式不同而已。內在關聯一旦建立，知識就能整體建構并靈活運用。

四、進一步的分析與期待

行文至此，也許有讀者已經發現了本文所論及的師生認識模糊、教學改進建議等，追根溯源，都指向同一個原因——教材編排所遵循的數學課程標準沒有要求小學階段教學軸對稱知識要揭示其運動屬性。

為什么不對學生提出這樣的學習要求？筆者揣測，因為從理論上講，軸對稱刻畫的是兩個圖形之間的對稱變換關系，也就是只有在一個圖形變換成另一個圖形時（即兩個圖形成軸對稱），才能直觀地顯現出運動特性，并適合研究其性質。而這樣的內容，是要在初中階段才學習的，小學生不具備這樣的思維水平和能力，因此小學階段只安排了學習軸對稱圖形。

但從筆者的教學經驗和實證研究來看，上述想法也許過于理性了。

如圖13 所示，是筆者設計的一張調查問卷。這4道題目中，第④題就是初中才教的兩個圖形成軸對稱（該內容小學里不教，教材上也沒出現過）。對兩所學校338 名按當前教材學習過軸對稱知識的五年級學生進行測試，該題的正確率為99.1%。

圖13

小學里沒教過，但學生卻幾乎都會，可見，兩個圖形成軸對稱（當然是簡單的情況），對學生而言，并不是很難理解的知識。讀者更可馬上想到，倘若學生知道了軸對稱就是翻折，學會了翻折的方法，那么對他們而言，翻折半個圖形還是翻折一個圖形，沿著圖形上的邊翻折還是沿著圖形外的邊翻折，難道還是什么難事嗎？更何況，小學生探究翻折時還有方格紙作為支撐（這才是與初中的區別——初中學習時脫離了方格紙）。

由此可見，小學生只能學習軸對稱圖形，無法認識軸對稱運動，這樣的想法是值得探討的，數學課程標準在這個內容上的要求或許也可以再衡量。因為很明顯，只有課程標準做出調整，那么本文所講的問題才能真正得到解決，否則，無論怎樣的教學嘗試，都是缺乏“底氣”的。遺憾的是，在《義務教育數學課程標準（2022 年版）》中關于軸對稱知識的內容，只在編排體系上做了微調，但從目標表述來看，教學要求跟之前是相似的。

課程標準短期內已不可能更改，所以我們只能希望各套教材的編寫者能夠意識到本文所述問題的現實性，在不違背課程標準要求的前提下，通過教材編寫的優化和創新，巧妙地滲透軸對稱知識的運動屬性，讓教師意識到所教知識的內涵，讓學生能感悟所學知識的原理。事實上，我們做的三個課例，均是在使用當前教材的背景下進行教學的，其對教材的創新處理和對教學素材、手段及過程的精心設計，經實踐證明均是可行的——教師能教，學生可學。從這個意義上來說，本文表達的觀點和介紹的課例，也許能給接下去各套教材的編寫提供一些可用的思路和資源。

綜上，若要讓小學的軸對稱知識彰顯運動本色，既需要教師提升本體性知識，改進教學的過程與方法，也需要上級部門在課程目標設置、教學內容編制等方面進行優化。唯有上下一心，共同探索，才能讓學生更好地學習軸對稱知識，讓這個內容綻放出其特有的育人價值。