半群APk(n,n-1)的極大正則子半群

劉木村，羅永貴，高榮海

(貴州師范大學 數學科學學院，貴州 貴陽 550025)

1 準備

設α∈APk(n,n-1),用im(α)表示α的象集,ker(α)表示dom(α)上如下等價關系:

ker(α)={(x,y)∈ dom(α)×dom(α):xα=yα}。對任意的t∈im(α),tα-1表示t的原象集。對0≤r≤n,文中用符號

表示半群APk(n,n-1)中元素的標準形式。

對任意α∈APk(n,n-1),記Dr={α∈APk(n,n-1):|im(α)|=r},0≤r≤n,則

為敘述方便,在半群APk(n,n-1)中引入如下二元關系[10-11]:?α,β∈APk(n,n-1),有αLβ當且僅當im(α)=im(β),αRβ當且僅當ker(α)=ker(β),αJβ當且僅當|im(α)|=|im(β)|。令H=L∩R,D=L∨R,則L,R,H,D,J都是半群上的等價關系。易見L?J,R?J,D=J。

設S是半群,對任意的a∈S，分別用La,Ra,Ha,Da,Ja表示a所在L-類,R-類,H-類,D-類,J-類。

Dn-1的冪等元有如下形式:

設n≥3,3≤k≤n,記

文中未定義的符號及術語參照文獻[10-11]。

2 主要結果及證明

為敘述方便,考慮奇異部分變換半群SPn的頂端Dn-1={α∈SPn:|im(α)|=n-1},對任意p,q,s∈Xn,定義

引理1設1≤r≤n-1,則APk(n,r)是正則半群。

引理2[10]設S是半群,對任意的a∈S,則Ha至多含有一個冪等元,若Ha含有冪等元,則Ha是群。

引理3[11]設D是半群S的正則D-類,a,b∈D,則H-類Hb包含a的逆元當且僅當H-類Ra∩Lb和Rb∩La包含冪等元。

引理4 設n≥3,α∈Dn-1,則1≤|E(Rα)|≤2,|E(Lα)|=n。

引理5設G是交錯群A*k的極大子群,則S1=G∪SPn為半群APk(n,n-1)的極大正則子半群。

證明第一步:證明S1是子半群。對任意的α,β∈S1,若α,β∈G,則αβ∈G;若α,β∈SPn,則αβ∈SPn?S1;若α∈G,β∈SPn,由|im(αβ)|≤min{|im(α)|,|im(β)|}可知,αβ∈SPn?S1。因此,S1是半群APk(n,n-1)的子半群。

第二步:證明S1是正則的。由于G是群A*k的極大子群,則對任意的α∈G,存在α的逆元α-1∈G,使得αα-1α=α,從而G是正則的,即S1是正則的。

第三步:證明S1是極大正則子半群。設S是半群APk(n,n-1)的極大正則子半群且S1?S,任取α∈SS1,則α∈A*kG。由于G是群A*k的極大子群,于是〈G∪{α}〉=A*k,從而〈G∪{α}∪SPn〉=〈A*k∪SPn〉=APk(n,n-1)。因此,S1是半群APk(n,n-1)的極大正則子半群。

引理6設1≤i,j≤k且i≠j,則S2=A*k∪Dn-2∪Dn-1(∪i,j∈[1,k]i≠jRT(i,j))是半群APk(n,n-1)的極大正則子半群。

3 主要結論

定理1半群APk(n,n-1)的極大正則子半群有且僅有如下6類:

(1)S1=G∪SPn;

證明由引理5至引理10可知，S1,S2,S3,S4,S5和S6是半群APk(n,n-1)的極大正則子半群。

用反證法證明APk(n,n-1)的極大正則子半群只有定理中的形式。假設S是半群APk(n,n-1)的極大正則子半群,且不是定理中的形式。以下分兩種情形討論:

綜上可知,半群APk(n,n-1)的極大正則子半群只有定理中的形式。