養成“數感”核心素養教學設計探索

張 昆

(淮北師范大學 數學科學學院， 安徽 淮北 235000)

修訂義務教育數學課程標準所形成的“預審稿”(以下簡稱“預審稿”)結合《普通高中數學課程標準(2017年版)》，提出的6項具體的數學核心素養，再依據《義務教育數學課程標準(2011年版)》提出的10個關鍵性“核心詞”，抽繹出16項數學核心素養作為義務教育數學學科課程目標，其中“數感”被列為其中的第1項[1]。為了探究通過教學設計及課堂實施，幫助學生養成“數感”這項核心素養，這里首先從“預審稿”中關于這項“數感”核心素養的內涵說起。

一、辨識“預審稿”中“數感”數學核心素養概念的內涵

關于“數感”這項數學核心素養要素的概念內涵，“預審稿”選擇使用具體文字將其敘述與解釋為：“數感主要是指對數與數量、數量關系以及運算結果的直觀感悟。能夠在真實的情境中理解數的意義，能用數表示物體的個數或事物的順序；能夠在簡單的真實情境中進行合理估算，作出合理判斷；能夠初步體會事物背后簡單的規律，能用數表達這樣的規律。數感是形成抽象能力的經驗基礎。建立數感有助于學生理解數的意義和數量關系，初步感受到數學表達的簡潔與精確，增強好奇心，培養學習數學的興趣?！?“預審稿”頁10)

從這段文字中，能夠認識到其中的三個不同層次的內容與意義：首先，“數感主要是指對數與數量、數量關系以及運算結果的直觀感悟”，這句話其實界定了“數感”這項數學核心素養概念的內涵；其次，隨后出現的五個“能夠”所限制的內容，主要指的是“數感”這項核心素養在具體數學知識內容中的作用及其具體體現；最后，提出的內容是關于“數感”這項核心素養在學生學習數學知識中所能發揮的功能，也就是“數感”這項核心素養的教育教學價值之所在。

從“數感”這項數學核心素養的界定中，可以清晰地認識到，“數感”核心素養的作用方式是“直觀感悟”；作用對象的范圍，在于“數與數量”“數量關系”與“運算結果”等數學內容；“數感”的教學功能，在于“增強學生學習數學的好奇心，培養學習數學的興趣”。由此認識到，“預審稿”對于“數感”核心素養概念已經非常明確。雖然如此，筆者認為，還有很大的必要對于解釋“數感”概念中的“直觀感悟”內涵加以具體說明，才能幫助廣大一線數學教師比較徹底地理解作為義務教育課程目標核心素養之一的“數感”的本質內涵。

筆者在閱讀丹齊克的名著《數·科學的語言》時，偶然發現了丹齊克為了揭示一種關于人類感知數的心理活動內容，引入了“數覺”(著重號為引者所加——筆者注，下同)這一概念加以表達?，F將其相關內容摘錄到這里來：“人類在長期進化的蒙昧時期，就已經具有一種才能。對于這種才能，因為沒有更恰當的名字，我姑且叫它為數覺。由于人有了這種才能，當在一個小的集合里邊，增加或者減去一樣東西的時候，盡管他未曾直接知道增減，他也能夠辨認到其中有所變化?！盵2]很顯然，丹齊克將這種人類感覺到物件數量上的變化界定了“數覺”這一概念的內涵。

另外，為了幫助讀者理解與把握“數覺”概念的內涵，在《數·科學的語言》這本書中，丹齊克對“數覺”內涵予以具體例釋，現將其解釋的大意摘要地敘述。其一，大多數人或許具有這樣的體驗，當你上樓梯時，雖然并未計數已經上到了幾層樓，可是你的兩條腿會告訴你，知道已經到了四層樓還是五層樓，這是人的勞累程度提供的信息。其二，一瞥餐桌上所擺的食具你就可能知道它比平常多，這是擺列的圖形傳出的信息。其三，桌上擺出了五粒豆：若均勻排成一直線，彼此相當接近，乍看就不容易看出究竟是四粒、五粒、還是六粒；若排列疏密不勻，則較容易“猜中”；若排成梅花狀，則你大概能“猜中”。這種由于這些經驗，都可能會幫助人們形成了具體情境中的“數覺”。

很顯然，“預審稿”界定的“數感”這項數學核心素養的內涵與丹齊克所確定的經典的“數覺”內涵，既存在聯系，也具有區別。兩者的區別的具體表現為：一方面，“預審稿”關于“數感”數學核心素養概念的要求比丹齊克確定的“數覺”概念，從范圍上看要大得多，即除了對于數與數量的直接感悟與體驗外(這一意義，可以理解為丹齊克意義上的“數覺”)，還要求對于數量關系與運算結果(這兩項內容，超出了丹齊克意義上的“數覺”的范圍)的直觀感悟。另一方面，從其內涵所限定的質上看也要深入得多，因為“數感”這一數學核心素養課程目標，除了包含對于數與數量這些要素外，還要求對于數量關系與運算結果這些要素的直接感悟，這就一定是在受教育者熟練地掌握了十進制計數與具體數據運算以后學段的事情了。否則數量關系與運算結果便成了無源之水、無本之木。

作為數學課程目標“數感”數學核心素養概念的內涵與丹齊克所界定的“數覺”概念的內涵也具有內在聯系。具體地表現為：一方面，丹齊克意義上的“數覺”是屬于“預審稿”中“數感”的，即“數覺”內涵是“數感”這項數學核心素養內涵的一項項目性的要素；“數覺”概念內容是“數感”概念內涵的一個項目。另一方面，“數覺”構成了“數感”這項數學核心素養中的其他內涵(如“數量關系”以及“運算結果”)的直接基礎。但是，需要特別注意的是，要想幫助學生養成“數感”數學核心素養內涵中的“數量關系”與“運算結果”這兩個項目性要素，一定需要學生某些數學能力(或數學素養)的介入，丹齊克意義上的“數覺”才有可能發揮相應的作用。這主要是因為，即使是感知某個具體情境中數量關系，也需要有“數學抽象”(乃至于使用數學符號表示等的)能力或素養的介入與輔助，即使是估計“運算結果”而不進行計算，卻也離不開“數學運算”的知識、技能或素養的介入與輔助。

因此，本研究建議應該將“數感”這項核心素養的內涵界定為，孩童及其成長為小學生對于使用數作為判斷客觀對象的思維活動的一項工具，即觀察客觀對象多少或程度(程度對應的應該是“量感”，也構成了“預審稿”的另一項核心素養課程目標，然而，對于孩童或小學生而言，數與量往往難以準確地區分開來)的一種心理傾向性，也可以這樣說，“數感”是對于數的意識與運用的一種心理傾向性，這種心理傾向性能夠發展成相關客觀對象之間的量性關系，或者進一步形成感悟或洞察(估計)相關數字運算的結果。那么，如何通過數學教學設計及其課堂實施，幫助學習主體養成“數感”的核心素養的教學目標呢？

二、幫助學生養成“數感”核心素養的教學設計示例

由于“數感”核心素養概念的基礎性內涵指的是使用數這一工具觀察客觀對象多少(或者說是對于數的意識與運用)的一種心理傾向性；在“預審稿”所提供的關于“數感”概念的內涵中還包括，依據“數感”的這種心理傾向性，隨著學生年齡的不斷增長，后來發展成為考察兩個或幾個客觀對象之間的數量關系與估計數據的具體運算結果。從這種界定“數感”核心素養內涵中，能夠清楚地認識到，“使用數觀察客觀對象多少的心理傾向性”是形成“數量關系”與估計“運算結果”的基礎。

因此，數學教師在教學設計及其課堂實施時，依據剛進入小學階段的學生的個性心理特點，培養他們透過數這一工具，觀察客觀對象的心理傾向性應該置于第一的位置，在此基礎上，數學教師要考慮到，如何幫助學生將這種“透過數這一工具觀察客觀對象的心理傾向性”過渡到形成“數量關系”與估計“運算結果”中去，這就需要數學教師統籌兼顧，整體安排，形成一種結構性教學的方案，而不能只顧一點、不及其他[3]。這樣才有利于從整體上幫助學生養成“數感”核心素養教學目標。因此，數學教師在自己具體的教學活動中，必須要將培養學生“對于數的意識與運用”，即“數感”核心素養置于基礎性的地位。

在發生知識認識的諸多設想的方案中，皮亞杰在其名著《兒童心理學》中指出，“在經驗主義者看來，發生知識認識只不過是現實的一種復寫，而理智則也只是單獨從知覺中派生出來的。甚至如偉大的萊布尼茨，他是保衛理智而反對感覺主義的，但他仍然采取了這個觀點：他認為即使觀念、判斷和論證的形式不是由‘感覺’產生，而它們的內容則完全是源于感覺”。接著，皮亞杰強調指出：“他們(指‘經驗主義者’與‘理智主義者’——引者注)竟忘卻了動作！”[4]

由此可以看出，發生認識論心理學的發軔者皮亞杰是關于“經驗主義者”與“智力主義者”之間的一個調和主義者，他認為，在學習主體發生具體知識認識時，既不純粹依靠感覺與知覺，也不純粹依靠理智，而是要依靠操作客觀對象的動作，將感覺或知覺與理智整合起來，從這種操作信息的整合活動中發生了知識認識。皮亞杰的發生認識論的理論與實踐的理論，對于剛剛進入校門的小學低年級學生學習數學知識，特別是形成數概念的教學活動具有極其重要的指導意義。為了說明如何幫助學生養成“數感”核心素養，這里實錄筆者在小學一年級數學起始課教學活動的關鍵環節：

在小學一年級上學期的開學之初，切合于具體進度的教學內容，筆者據此曾經設計了一個實驗性的幫助學生養成“數感”核心素養的一節課中的某些關鍵性環節：筆者使用20個蘋果作為教具，然后，給張汪同學1個蘋果，給李建軍同學2個蘋果。向全班學生提出了問題，是張汪的蘋果多，還是李建軍的蘋果多？幾乎全體學生立即回答張汪的蘋果多。筆者再給張汪與李建軍各1個蘋果，此時，張汪2個蘋果，李建軍3個蘋果，幾乎所有學生還是判斷李建軍的蘋果多。

接著，筆者將張汪與李建軍的蘋果都收回來了，一次性地給張汪4個蘋果，李建軍3個蘋果，放在筆者的講桌的兩端(兩個同學各在自己的一端)。再問，哪位同學的蘋果多？

這次，學生對于這個問題一段時間的沉默(順便說一句，筆者特別欣賞學生在這種問題面前的沉默，它說明學生正在深度思考)，說明了學生在短時間里對于4個蘋果與3個蘋果這兩個數分不開了。好在學生沉默了大約100秒，有學生張偉成找到了方法判斷出，張汪的蘋果多，李建軍的蘋果少。張偉成使用的是計數的方法，即他用3個手指指代了李建軍的3個蘋果，使用4個手指指代張汪的4個蘋果，他發現了4個手指比3個手指為多，從而據此作出了正確判斷。

這一判斷結束后，筆者這一次給張汪7個蘋果，給李建軍8個蘋果，擺放在講桌上他們的各自一端，向班級中的所有學生發問：張汪的蘋果多，還是李建軍的蘋果多？

由于前面的判斷所獲得的經驗，學生首先試著使用手指頭指代蘋果，但是依然不知道這兩位同學擁有的兩堆蘋果的多與少。當筆者使用比較3個蘋果與4個蘋果的一種途徑，從這兩堆之中，各自一個對著一個地拿去3個蘋果之后，由4個蘋果的那一堆中，還剩下1個蘋果，那就說明了4個蘋果的那一堆蘋果多。盡管剛剛進入小學一年級學生，也能比較好地理解并掌握這種方法，判斷出張汪的一堆7個蘋果較少，李建軍的一堆8個蘋果較多。

其實，不同的學生在進入一年級之前，就已經不自覺地使用一些不同的方法來判斷兩堆客觀對象“數目”的多少，對于大多數不同個性的學生來說，這些都沒有形成可操作的系統性的判斷方法，但即使如此，這些不同的方法都是來源于學生所存在的不同性質或層次的“數感”的外化。因此，學生進入學校接受教育以后，數學教師應該將這些方法選擇使用典型的例子，將學生在學前感受或接受的這些方法系統化，這是幫助學生養成“數感”核心素養的一種非常好的方法。

選擇合適的教具鼓勵學生按照一定的順序進行操作，對于幫助學生養成“數感”核心素養是一種基礎性的方法。皮亞杰指出，“兒童整個數量的構成是同序列密切聯系著的。我們不能因為小孩口頭上會計數，就認為已懂得數量了。在小孩心靈中，數的計量是長期同成分的空間排列聯結在一起的。有了被操作而得到的‘序列’以后，就會產生把一組物體按成分區別的幾種小組，各小組并無任何特殊的空間形式，而且小組本身還可分為更小的小組。這些操作客觀對象的活動及其結果，才是產生數的現實基礎?！盵5]

因此，按照羅素(皮亞杰也是一樣)的設想，數是經由操作客觀對象將一堆具體的對象形成序列，并通過序列進行分類的結果。但在教學設計及其課堂實施中，數不是“排列”與“分類”的自然結果，而必須要經由數學教師的教學設計處理，只有這樣，才能幫助學生養成“數感”核心素養。由“數感”外化為確定的數的心理途徑在于：“第一，根據序列與分類所得到的成分相類似的有限的對應(例如，一個模型同它的復制之間的對應，左手的大拇指與食指分別對應著右手的大拇指與食指等)；第二，任意的‘一對一’的對應。第二種形式的對應才能引入數量，因為它們已經包含著數量上的一致性。但是數量的起源必須從學生發生學上加以說明?！盵6]

從這個具體教學實例與理論分析的結果，數學教師應該認識到，“數感”的萌生，或者已經萌生了“數感”在教學啟發下外化為固定的數學知識，這相繼的兩步都繞不過教師啟發、鼓勵學生操作外在客觀對象的教學活動。其實，皮亞杰將知識分為兩個大類：一類是科學知識(物理、化學)知識——通過操作發現關于客觀對象本身的知識；另一類為邏輯數理知識——通過抽象操作客觀對象的操作活動所形成的知識，這種性質的抽象皮亞杰稱之為“反身抽象”，有時又被翻譯為“反省抽象”而得到的數學知識。因此，要幫助學生養成“數感”核心素養的教學中，數學教師需要特別注意操作對象中的操作的作用。

三、結束語

本研究將作為義務教育數學課程目標的“數感”核心素養的理解為，孩童及其成長為小學生對于使用數作為判斷客觀對象多少思維活動的一項工具，即觀察客觀對象多少或程度的一種心理傾向性，也可以這樣說，“數感”是對于數的意識與運用的一種心理傾向性。由于數學知識主要是學習主體通過“反身抽象”獲得的，因此，要幫助學生養成“數感”核心素養，就需要選擇合適數學教具(例如，本文中的蘋果)，有利于數學教師啟發學生進行操作，從操作活動本身及其操作對象的綜合中，發生數的認識，從這種認識過程中，養成“數感”核心素養?！?/p>