復合運動激勵下吊裝多體系統振動分析與聯合控制

顏世軍，彭宇何，彭 劍，任中俊

(湖南科技大學 土木工學院，湖南 湘潭 411201)

起重機作業安全和效率是其結構設計和控制系統設計必須考慮的關鍵因素。隨吊裝高度和質量的提升，吊裝設備大型柔性化趨勢愈發明顯。柔性吊裝系統在作業時臂架剛體運動、吊臂彈性振動和吊物擺動同時存在，相互影響。為提升吊裝效率，起重機作業時往往多種運動同時進行，精確分析復合運動激勵下起重機的動力行為并給出合理的振動控制策略，對起重機追求高效作業并保證作業安全至關重要。

吊裝系統是吊物系統、支撐結構和行走裝置構成的多體系統。為滿足系統結構設計、疲勞分析以及振動控制等方面研究需求，面對不同吊裝設備，現有研究建立了大量針對性的動力學模型。對支撐結構彈性變形較小的剛性吊裝系統，Mori等[1]和Mohamed等[2]分別給出了橋式和門座式起重機在懸點歷經直線運動時的平面兩自由度動力學模型。Chen等[3-7]則針對塔式起重機、伸縮臂式起重機、轉向臂式起重機和海上浮式起重機分別建立了吊物懸點做空間曲線運動時的多自由度空間運動方程。上述模型忽略了吊裝過程中吊臂彈性變形對系統動力學行為的影響，難以模擬柔性吊裝系統的動力學行為。在設備大型柔性化發展需求下，多柔體動力學分析方法在吊裝系統動力學仿真中得以廣泛應用。劉華森等[8]針對橋式起重機給出了考慮支撐梁彈性變形與懸吊系統的耦合動力學分析模型。文獻[9-11]基于柔性多體動力學分析方法，建立了塔式、履帶式和輪式起重機的剛柔耦合動力學模型，并對回轉作業或變幅作業的耦合動力學行為進行了分析。面對細長型吊臂系統在重載作用下的大撓度效應，文獻[12-13]給出了考慮吊臂幾何非線性效應的多柔體動力學模型。上述考慮臂架彈性振動影響的多體動力學模型能較真實地描述吊裝系統耦合效應，但方程形式復雜，計算效率較低，在柔性吊裝系統振動控制領域難以得到有效應用。

建立合理的動力學模型能為結構設計及控制策略擬定奠定基礎，為有效抑制吊裝系統振動，保證作業安全和效率，控制算法的合理設計尤為關鍵[14]。以輸入整形[15], 指令平滑[16]和離線軌跡規劃[17]為代表的前饋控制法廣泛應用于起重機防擺控制，前饋控制法由于無需加載反饋裝置，控制成本較低，但當系統作業存有附加擾動時[18]，則表現較差的魯棒性。相比而言，反饋控制方法利用系統狀態的反饋，根據輸出響應實時調節系統的控制性能，具有較強魯棒性。以比例-積分-微分(proportion integral derivative，PID)[19]和線性二次規劃(linear quadratic regulator，LQR)[20]為代表的線性反饋控制法, 以模型預測控制(model predictive control，MPC)[21]和廣義預測控制(generalized predictive control，GPC)[22]為代表的優化控制方法,基于李亞普若夫穩定性理論所構建的非線性控制法[23]以及針對不確定參數和隨機激勵所發展的智能控制算法[24-26]在各類起重機振動控制方面得到了極大發展。反饋控制的成功實現，需要附加信息采集與反饋裝置，致使控制成本增加，且對人工操作控制與計算機反饋控制間的協調亦會帶來新的挑戰。特別是在大型復雜吊具系統的吊物偏擺角難以實時精準測量的前提下，極大限制了其實際工程應用。為兼固控制效果和成本，Mar等[27]與Jie等[28]分別針對橋式起重機和回轉式起重機，聯合前饋輸入整形控制和線性反饋控制法對吊物在單一運動激勵下的吊物擺動進行了控制，取得了較好的控制效果。上述研究集中在單一運動激勵下吊物防擺控制，但是在復合運動激勵下長柔吊裝系統的同時實現支撐臂彈性振動抑制和吊物防擺控制研究較少。

針對復合運動激勵下的吊裝多體系統，分別利用等效彈簧質量阻尼系統和空間懸吊系統描述吊臂振動和吊物擺動，在浮動坐標系上描述部件運動，采用多體動力學遞推列式建模法推導并給出了吊裝系統的多體動力學模型。根據耦合系統的吊物擺動和吊臂振動特征，聯合輸入整形和比例微分(proportional-differential，PD)控制法，設計了能同時抑制吊臂振動和吊物擺動的聯合控制器。針對某輪式起重機復合運動作業環境，對其開展了動力學響應和振動控制研究，分析了動力學模型及控制算法的有效性。

1 力學模型

對文獻[29]所述的吊裝多體系統，回轉、變幅和吊物升降運動是三種主要運動形式，為提高吊裝效率，多種運動形式同時進行，其中回轉/變幅復合運動下起重機臂架與吊物系統極易引起大幅振動。如圖1所示，以連接于臂頭的等效彈簧質量阻尼系統模擬吊臂彈性振動，以鉸接于質點mt的空間懸吊系統模擬吊物擺動。在回轉/變幅復合運動下，對等效彈簧阻尼系統，質點mt在慣性系o-xyz的矢徑為

ub=R1R2(u0+ut)

(1)

式中：u0=[lb00]T為在臂頭浮動坐標系o1-x1y1z1上描述的吊臂無變形位置矢徑；ut=[utxutyutz]T為質點mt相對o1-x1y1z1的位置矢徑；R1為由臂尾隨轉坐標系o′-x′y′z′到慣性系o-xyz的坐標轉換矩陣，其表達式為

(2)

式中，θ1(t)為吊臂回轉角。R2為由坐標系o1-x1y1z1至坐標系o′-x′y′z′的坐標轉換矩陣，其表達式為

(3)

式中，θ2(t)為吊臂變幅角度。

圖1 復合運動激勵下吊裝多體系統等效動力學模型Fig.1 Sketch of the equivalent dynamic model of hoisting multi-body systems under compound motion excitation

式(1)對時間求導，可得慣性系描述下質點mt的速度

(4)

式中：Ω1，Ω2分別為吊臂回轉和變幅角速度所對應的斜對稱矩陣； 位移矢量utr=ut+r0。

在復合運動下，等效彈簧質量阻尼系統的動能為

(5)

式中，相關元素矩陣表為

(6)

彈簧質量阻尼系統的彈性勢、位勢和耗散函數分別表為

(7)

Ut2=mtg[(lb+utx)sinθ2+utzcosθ2]

(8)

(9)

式中：Kt=[k100;0k20;00k3]為系統剛度陣，k1,k2和k3分別為彈簧①、彈簧②和彈簧③的剛度系數，其值取決于吊臂在回轉和變幅平面內的彎曲剛度以及吊臂軸向拉壓剛度；Ct=[c100;0c20;00c3]為系統阻尼矩陣，c1,c2和c3分別為系統阻尼①、阻尼②和阻尼③的阻尼系數，等效質量、剛度和阻尼系數具體等效方法見顏世軍等的研究；g為重力加速度。

在不計吊繩質量和變形的前提下，懸吊系統能量包含了吊物的動能、勢能和耗散能。在連接于質點mt的浮動坐標系o-x2y2z2上描述吊物的擺動，在復合運動中，坐標系o-x2y2z2始終與隨轉坐標系o′-x′y′z′保持平行，任意時刻的擺動由法向擺角α和切向擺角β來表示。將吊物看成不計幾何尺寸的質點mp，在系統回轉/變幅復合運動中，考慮吊臂臂頭彈性變形和吊繩擺動，吊物在慣性系下的矢徑為

up=R3R2(u0+ut)+R3um

(10)

式中：um=[uqxuqyuqz]T為坐標系o-x2y2z2描述的吊物空間位置坐標列向量；R3為由坐標系o-x2y2z2至慣性系的坐標轉換矩陣。

由式(10)對時間求一階導數，考慮轉換矩陣R3與R1相等，可得吊物絕對速度為

(11)

懸吊系統動能表為

(12)

式中，mp為吊物質量，相關元素矩陣表為

(13)

在小擺動狀態下，吊物矢徑um與吊繩長度lr, 吊繩擺角α和β的關系表為

(14)

由式(14)對時間一階導數可得

(15)

(16)

懸吊系統的位勢和耗散函數分別為

Up=mpg[(lb+utx)sinθ2+
utzcosθ2-lrcosαcosβ]

(17)

(18)

式中，Cφ=[cφ0;0cφ]為阻尼陣，cφ為阻尼系數。

吊裝多體系統總的動能、勢能和耗散能由等效彈簧質量系統和懸吊系統共同組成，分別為

T=Tt+Tp,U=Ut1+Ut2+Up,Fc=Fct+Fcp

(19)

(20)

式中，質量陣相關項為

Muu=(mt+mp)I3×3

(21)

(22)

(23)

右端廣義力相關元素矩陣為

(mt+mp)g[sinθ20 cosθ2]T

(24)

(25)

式中： 下劃線項為吊裝系統復合運動產生的廣義慣性力；單劃線項為離心力；雙劃線項為科式慣性力；三劃線項為切向慣性力。式(20)為回轉和變幅復合運動激勵下的吊裝系統5自由度動力學控制方程。方程以復合運動下的速度信息為系統輸入，其利用3個自由度描述吊臂彈性振動，2個自由度描述吊物偏擺運動。

2 聯合控制策略

圖2 吊裝系統振動控制流程Fig.2 Vibration control flow of the hoisting system

2.1 輸入整形控制

輸入整形屬于前饋控制技術，基本原理是將輸入參數與整形器產生的脈沖序列的卷積作為被控對象的輸入，進而驅動系統運行。輸入整形時域表達式為

(26)

式中：n為脈沖個數；Ai和ti分別為第i個脈沖的幅值和時滯。根據對殘余振動限制條件不同，常用輸入整形器有零階振動(zero order vibration，ZV)整形器和零階振動微分(zero vibration derivative，ZVD)整形器和極不靈敏(extremely insensitive，EI)整形器，這些整形器的參數通過求解不同限制方程獲得。ZVD整形器由三個脈沖構成，其響應幅值和時滯分別為

(27)

2.2 比例微分控制

對大型柔性起重機，吊臂在回轉與變幅復合運動的啟制動過程中，吊臂切向慣性力使其產生切向的彈性振動，而由于科氏力和離心力的影響，亦會產生法向方向的彈性振動。采用PD反饋控制策略對吊臂彈性振動進行控制，以切向和法向殘余振動為反饋量，以系統回轉和變幅角速度為受控輸入量。針對系統5自由度多體動力學方程，經反饋信息修正的回轉和變幅角速度為

(28)

式中：gp1和gp2分別為切向和法向位移反饋誤差的控制增益；gd1和gd2分別為切向和法向速度反饋誤差的控制增益，反饋增益取決系統振動特征。彈性變形和振動速度反饋誤差分別為

(29)

3 算例分析

忽略系統阻尼的影響，利用所給出的動力學分析模型對顏世軍等所述大型輪式起重機開展動力學仿真，對比分析了回轉、變幅單一運動下和復合運動下的動力學響應特征；采用聯合控制策略對系統進行了振動控制，對比分析了聯合控制法與傳統輸入整形控制法的控制效果。

3.1 振動分析

在系統吊物質量為5 000 kg，吊臂長為80 m，吊繩長為50 m，吊臂自質量為3×104 kg時，針對復合運動和回轉、變幅單一運動下的吊物偏擺和吊臂振動進行仿真分析。復合運動下回轉和變幅角度和角速度輸入時間歷程曲線如圖3所示，期間各經歷了啟動、恒速、制動和停機4個階段，其中恒速階段回轉角速度為0.2 r/min，變幅角速度為0.05 r/min，回轉和變幅兩種運動啟動和制動時間點一致，且啟制動時間均為5 s。復合運動過程中，回轉角由0°轉到190°，變幅角由30°升到76°。為了與單一運動激勵響應開展對比分析，回轉和變幅單一運動模式與復合運動模式中的回轉和變幅角速度時間歷程輸入一致。

圖4顯示了不同運動激勵下的吊物偏擺響應，可以看出在復合運動和回轉運動下，吊物擺動體現為空間球擺運動，而在變幅運動下，吊物擺動為平面單擺運動。復合運動與回轉運動在恒速階段，吊物的法向擺動幅值和切向擺動幅值均較為接近，但在停車階段兩者差距明顯，原因為恒速階段的切向擺動主要由啟動階段的吊物切向慣性力引起，法向擺動則主要由離心力和科氏力引起。在啟動前，復合運動和單一回轉運動下吊臂姿態相同，為此啟動時切向慣性力相當，致使恒速階段二者結果接近。但在停車階段的吊物擺動在主要取決于制動階段的吊物切向慣性力和二次疊加效應，制動時復合運動與回轉和變幅單一運動時吊臂姿態不同，致使其制動產生的切向慣性力不同，引起復合運動和單一運動下吊物擺動差別較大。

圖3 復合運動下系統角度與角速度Fig.3 Input data of rotary speed of system for the slewing/luffing compound motion

圖4 不同運動激勵下吊物擺角響應Fig.4 Time history of payload swing in different motions

圖5為不同運動激勵下臂頭變形振動響應?？梢钥闯龅醣壅駝禹憫问綖榈跷飶娖日駝雍妥陨響T性力引起的自激振動耦合形成。啟動和恒速階段，復合運動激勵下吊臂切向振動響應與回轉運動激勵下的響應結果較為接近，而復合運動激勵下的法向振動響應與變幅運動激勵下的響應趨勢相似，但復合運動下的法向振動幅值高于變幅運動下的振動幅值。啟動和恒速階段吊臂切向振動由吊物切向擺動拖拽力和吊臂切向慣性力引起，但吊臂法向振動則由吊物法向擺動拖拽力和自身法向慣性力引起，隨著吊臂變幅角度增大，吊物重力沿吊臂法向分量降低，引起吊臂法向撓度減小，但復合運動激勵下回轉引起的離心力和科氏力導致其法向振幅高于變幅單一運動激勵下法向振動幅值。制動與停車階段復合運動激勵下的吊臂切向振動幅值與法向振動幅值與單一運動激勵下的振動幅值均有較大區別，原因歸結于此時復合運動下的吊臂姿態有別于單一回轉運動下的吊臂姿態，制動產生的切向慣性力在二者間有明顯區別，且制動時的二次疊加效應對停車后的振動亦有一定影響。

圖5 不同運動激勵下吊臂振動響應Fig.5 Time history of boom vibration in different motions

3.2 振動控制分析

利用所給出的動力學模型模擬系統動態響應，采用第2章所述聯合控制器對系統進行振動控制。針對3.1節所述受控系統，復合運動初始輸入信息見圖3，忽略系統阻尼，其一階偏擺自然頻率為0.064 Hz，進一步利用式(26)可得ZVD整形器的控制參數。系統PD反饋控制器的控制增益分別?。篻p1=0.001，gd1=0.002，gp2=0.000 25，gd2=0.000 5。

圖6和圖7分別為復合運動激勵下吊物擺動和臂頭振動在不同控制方法及未受控狀態下的時程響應?？梢钥闯?，在傳統輸入整形器控制下, 吊物擺動幅值得到較好的抑制，吊物偏擺沿著切向和法向的殘余振動幅值分別18.1%和21.3%，但吊臂振動幅值抑制效果較差，吊臂沿著切向和法向振動的殘余振動幅值分別為33.2%和31.3%。主要原因為輸入整形控制器只能消除系統偏擺振動，對吊臂彈性振動無法進行抑制。而在聯合控制器作用下，吊物切向最大擺幅相比ZVD控制器作用下的最大擺幅降低15%，吊臂切向最大振幅相比ZVD控制器則下降41.2%，結果顯示吊物法向最大擺幅和吊臂法向振動幅值下降效果顯著。吊物的切向和法向擺動在啟動和制動15 s后，其振動幅值即衰減為未受控系統振幅的8%之內，而后振動將快速收斂至目標點，且從圖7可以看出，聯合控制器在抑制吊物擺動的同時也較快地消除了吊臂彈性振動。比較恒速階段和停車階段的振動抑制效果可以看出，恒速階段的系統的收斂速度慢于停車階段，這是因為復合運動過程中產生的科氏力導致切向振動和法向振動相互影響，致使控制器收斂速度放慢?？傮w而言，本文所設計的聯合控制器相對傳統整形控制器既能同時抑制復合運動激勵下系統的吊物擺動和吊臂彈性振動，且其振動幅值抑制效果和控制收斂速度較傳統控制器有極大提升。

圖6 不同控制方法下吊物擺動歷程Fig.6 Time history of payload swing under different control methods

圖7 不同控制方法下吊臂振動時程Fig.7 Time history of boom vibration under different control methods

4 結 論

針對復合運動激勵下的吊裝系統，推導并給出了系統5自由度多體動力學模型，考慮系統的耦合振動特性，給出了能同時抑制吊物擺動和吊臂振動的聯合控制策略，并對某大型輪式起重機在復合運動下的動力學響應和控制器振動控制效果進行了分析。

振動分析表明，復合運動激勵下的5自由度多體動力學模型，可較準確反映系統復合運動激勵下的慣性力效應以及吊臂彈性振動與吊物擺動耦合效應。復合運動激勵下的吊物擺動在啟動與恒速階段與單一回轉激勵響應結果較為接近，而吊臂振動則不同于單一運動激勵下的振動響應，在制動與停車靜止階段不同運動激勵下系統振動區別顯著。

振動控制分析結果表明，基于ZVD輸入整形和PD反饋的聯合控制器相比傳統整形控制器的控制效果得到極大提升，聯合控制器既能抑制系統在復合運動激勵下吊物偏擺振動，又能有效抑制吊臂彈性振動，且控制器收斂速度快，魯棒性強，可有效提高大型柔性臂架系統復合運動下的作業效率和安全。