求解數列最值問題的三種途徑

朱燕

數列最值問題具有較強的綜合性.這類問題側重于考查對數列的定義、通項公式、性質、前n項和公式的應用.常見的數列最值問題有：（1）求數列的最大（?。╉?；（2）求數列的前n項和的最大（?。┲?下面主要介紹三種求解數列最值問題的途徑.

一、利用數列的單調性

數列是一種特殊的函數，其自變量為正整數，因此數列也具有單調性.通?？梢詫⒛繕耸娇醋麝P于n的函數式.在判斷出函數的單調性后，即可利用函數的單調性來求解數列最值問題.也可以先根據數列的通項公式來判斷出數列的單調性，再利用數列的單調性來求最值.

解：（1） an＝3n－2；（過程略）

所以Tn＋1>Tn，所以數列{Tn}是遞增數列．

所以實數t的最大值是1.

一般地，若數列的前一項總比后一項小，則該數列為遞增數列；若數列的前一項總比后一項大，則該數列為遞減數列.由Tn＋1>Tn，可判斷出數列的單調性，即可根據數列的單調性得出Tn≥T1，從而求得t的最大值.

例2.在等差數列[an]中，[a1<0]，[S9=S12]，則數列[an]的前幾項和最??？

解：因為[S9=S12]，

解得[a1=-10d].

由于[a1<0]，所以[d>0]，

所以當[n=10]或[n=11]時，[Sn]的值最小，即數列[an]的前[10或11]項和最小.

二、運用放縮法

有些數列中的項有無限多個，我們很難快速求得數列的和，此時不妨運用放縮法，通過增減某些項、放大分母、縮小分子等方式，將數列的前n項和放大或縮小，即可順利求得最值.

解答數列最值問題，往往需根據題目中所給的條件，仔細研究數列的特點、性質，將問題與數列、函數、不等式知識相關聯，以快速找到解題的思路.