由一道題談拋物線問題的解法

馬小鵬

拋物線問題經常出現在各類試題中.這類問題主要考查拋物線的定義、幾何性質、標準方程的應用.下面結合一道拋物線問題，研討一下解答此類問題的方法、思路.

一、定義法

定義法是解答數學問題的重要方法.在解答拋物線問題時，根據拋物線的定義，可快速建立拋物線上的點到焦點與到準線之間的距離的關系，從而快速確定動點的軌跡方程.

解：由題意可知[C：y2=4x]，

則[F（1，0）]，設點[B（x，y）]，

我們先根據[BQ⊥BF]求得B的坐標；然后根據韋達定理求得A點的坐標，即可根據拋物線的定義：拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離相等，求得[|BF|]、[|AF|]，從而求得問題的答案.一般地，對于與拋物線焦點弦有關的問題，都可以考慮運用拋物線的定義建立焦點弦之間的關系式，這樣能有效地減少運算量，提升解題的效率.

二、向量法

對于解析幾何問題，有時可以根據線段之間的關系構造向量，這樣便可利用向量的運算法則，如加減、數乘運算法則，根據向量的數量積公式、模的公式等快速建立關系式，順利求得問題的答案.

解：由題意可知[C：y2=4x]，則[F（1，0）]，

將[BQ⊥BF]用向量表示出來，即可快速建立關于B點坐標的關系式，從而求得B點的坐標，進而求得[|BF|、|AF|].運用向量知識解題，不僅可以將焦點弦和過焦點的直線的傾斜角聯系起來，還能得到一系列關于直線的斜率和焦半徑長度有關的結論，這樣能大大簡化運算.

總的來說，要想提升解答拋物線問題的效率，不僅需要掌握拋物線的定義、性質、方程，還需將其與向量、三角函數知識關聯起來，快速建立關系式.