針對UNGM模型的特性分析與濾波算法設計研究

盧山, 張世源

(1.上海航天控制技術研究所, 上海 201109; 2.上海市空間智能控制技術重點實驗室, 上海 201109)

隨著航天器在深空探測、國防、導航通訊等多個領域發揮著越來越重要的作用,人們對航天器導航、制導與控制精度的要求也越來越高。準確的狀態估計是航天器實現軌道、姿態自主控制、執行深空探測、在軌服務等空間任務的前提[1]。隨著任務需求的變化,航天器的運動學、動力學模型越來越復雜,在軌運行環境不確定性因素越來越多,許多研究機構和學者改進和提出了各類非線性濾波算法[2-3]以獲得更高的狀態估計精度。

單變量非平穩增長模型(univariate nonstationary growth model,UNGM)是用于驗證非線性濾波算法的基準模型,在濾波器設計與評估類文獻中被廣泛使用[4-10]。該模型的狀態方程具有很強的非線性,而且在觀測yk是關于狀態xk的偶函數時其狀態的后驗概率密度呈雙峰特性[11],即狀態量在2個不同區間內取值的可能性接近,這大大增加了對狀態量進行準確估計的難度?；谝陨显?UNGM的狀態估計是一個復雜的非線性遞推貝葉斯濾波問題,對于濾波器性能的要求非常高[12]。但是自文獻[13]首次將該模型應用于驗證非線性濾波器性能以來,鮮有文獻針對該模型的性質進行分析研究。由于該模型特性較為復雜,使得一些研究,如文獻[14-16]對該模型的使用存在不恰當之處。無跡卡爾曼濾波器(unscented Kalman filter,UKF)[17]是一種經典的非線性濾波器,經常在濾波器設計類文獻中被用作對比仿真試驗的基準濾波器。由于UKF屬于Sigma點卡爾曼濾波器,即采用確定性采樣的方式獲取采樣點,其采樣點的數量以及分布范圍均受限。當待估計狀態量的后驗概率密度呈雙峰特性時,UKF所使用的采樣策略無法同時獲得狀態量在2個概率密度峰值區間的統計信息,會使得UKF估計結果失準?；谏鲜鲈?UKF在對UNGM進行估計時,會出現模態估計錯誤、狀態方差發散等問題,同時會影響其作為對比仿真試驗中的基準濾波器時,對濾波器性能進行評估的合理性。

粒子濾波(particle filtering,PF)[18]基于Bayes原理的序貫Monte-Carlo模擬方法,采樣點數目與分布范圍不受限制,能夠對后驗概率密度呈雙峰分布的狀態量進行估計。在PF中引入重采樣以解決權值退化問題的濾波器稱為自舉粒子濾波器(bootstrap particle filtering,BPF)[5],是一種簡單易行的粒子濾波器。但BPF仍存在計算量過大、模型針對性不強等問題,不是一種高效的濾波方法。

狀態后驗概率密度呈雙峰特性的系統模型在工程應用領域也廣泛存在:Duffing振子在諧和與隨機噪聲聯合作用下的系統響應[19];油田產量和可采儲量的二重二參數Weibull混合分布預測模型[20];毛細管-環電極配置的高壓靜電霧化系統下水靜電霧化霧滴粒徑的分布[21]等的狀態量均具有顯著的雙峰概率密度分布規律。對UNGM模型的特性進行分析,設計一種能夠有效應對UNGM的濾波器對于工程應用領域具有一定的借鑒意義。

1 UNGM特性分析

UNGM的離散化狀態空間方程表示為

(1)

式中:a∈(0,1),b,c,α,β為模型系數,a與α對模型特性影響較大,可以根據研究所需的模型特性進行調整;w,v為過程噪聲和觀測噪聲。

將狀態方程中含狀態變量項定義為

(2)

令a=0.5,b=25,c=20,α=0。假設狀態初值x0服從均值為0的正態分布。UNGM的狀態方程曲線及狀態量在無噪聲影響下的遞推過程如圖1所示。

圖1 UNGM狀態方程曲線

由圖可知,當x0取值為一數值較小的正數時,由于f(x)在原點附近快速增長的特性,狀態量會在下一時刻遞推至一較大正數x1,并在后續時刻逼近狀態方程函數y=f(x)與直線y=x在第一象限的交點(7,7)。易知該交點為狀態量的一個平衡點,即處于該點的狀態量受擾動偏離該交點后,均有返回該點的趨勢。因此在系統噪聲的作用下,狀態量的值將圍繞平衡點上下波動。

當x0取值為負時,遞推過程與上述分析相同,此時的平衡點為狀態方程函數y=f(x)與直線y=x在第三象限的交點。在不考慮余弦項與系統噪聲時,狀態方程為奇函數,故兩平衡點關于原點對稱。由于狀態初值服從均值為零的正態分布,故x0取值為正數、負數的概率各占0.5,后續時刻的狀態量將也以相等的概率圍繞第一、第三象限的平衡點上下波動,這即是UNGM中狀態量概率密度分布呈雙峰特性的原因。

令a分別取值為0.5與0.9,其余參數不變。從均值為0,方差為1的高斯分布中取10 000個樣本點作為狀態量在k=0時刻的初始分布,將這些點代入到UNGM狀態方程迭代5次,得到狀態量在k=5時刻的概率密度分布如圖2所示。

圖2 參數a對函數特性的影響

由狀態方程曲線可知,參數a對UNGM模型特性的影響主要在于狀態方程函數y=f(x)與直線y=x交點的位置,即狀態平衡點的大小。a取值越大,狀態平衡點距離y軸越遠。由概率密度曲線可知,狀態量在k=5時刻的概率密度分布呈明顯的雙峰特性。分布峰值關于x=0對稱,且a取值越大,峰值間距越大。

在a=0.5時,令β=1.2,α=8,其余條件不變。進行6次迭代,即令cos(1.2(k-1))近似變化一個周期,繪制k=1至k=6之間每一時刻的狀態方程與概率密度曲線,如圖3所示。

圖3 參數α對函數特性的影響

如圖3a)所示,αcos(β(k-1))的存在相當于在每一時刻的狀態方程中引入一大小不同的常數,使得狀態方程曲線沿y軸在[α,-α]的范圍內上下移動,平衡點也隨之上下平移,不再關于原點對稱。由于平衡點不斷發生變化,狀態概率密度的峰值也不再關于x=0對稱,同樣在一定范圍內呈類似周期性的變化。該變化范圍的閉區間邊界為αcos(β(k-1))=±α時,狀態方程函數y=f(x)與直線y=x交點的x軸坐標值。

2 UKF失準問題分析及UNGM的常見使用誤區

2.1 模態判斷錯誤

模態判斷錯誤這一失準問題的具體表現為:狀態估計誤差發散,狀態估計方差收斂,狀態估計值與狀態真實值近似關于x=0對稱。

模態判斷錯誤發生的情況共有2種。第一種是由UKF的狀態初值設置不當引起,文獻[14]由于忽略了此類失準情況,造成對比仿真結論不合理;第二種是由過程噪聲小概率發生的大幅跳變引起,文獻[15]由于忽略了此類失準情況,造成對比仿真結論不嚴謹。

真實狀態在系統隨機噪聲的作用下,可能由初始狀態x0=0跳變至正值或負值,并穩定在UNGM位于第一或第三象限的平衡點附近。由于UKF無法對初始隨機跳變的正負進行判斷,故濾波器中的一步預測值xk|k-1與狀態真實值xtrue可能正負異號,穩定于不同象限的平衡點。

圖4 模態判斷錯誤情況下的UKF估計情況

文獻[14]認為這種情況是由UKF估計誤差過大造成,進而得出UKF對非線性系統濾波性能不佳的結論。但該結論是不恰當的。由上述分析可知,UKF的模態判斷錯誤是存在隨機性的,并非在每一次仿真中都會發生。當UKF的模態判斷正確時,仍能對UNGM進行較準確估計,具體表現如圖5所示。

圖5 模態判斷正確情況下的UKF估計情況

圖6 模態判斷錯誤情況下的狀態估計誤差與方差

第二種模態判斷錯誤情況,如圖7所示。雖然過程噪聲w～N(0,10)的均值為0,但仍會有小概率出現幅值較大的情況。通常情況下,狀態量會在過程噪聲的影響下在某一平衡點附近波動。當濾波時間足夠長,狀態量便可能受到某一刻較大幅值的過程噪聲值影響,正負號發生跳變,并迅速穩定至另一平衡點。本文將這種情況稱為狀態量的“模態跳變”。同樣受量測方程為偶函數的影響,UKF無法識別這種模態跳變,發生模態判斷錯誤。

圖7 UKF模態判斷錯誤

由UNGM特性分析可知,a的值越小,狀態平衡點距離y軸越近,平衡點的值越小。這表示著w使狀態量發生符號跳變所需的值越小,狀態量在平衡點之間發生跳變的可能性越大,模態跳變越頻繁。

文獻[15]對狀態量進行了100個時刻的濾波估計后,在估計誤差收斂的情況下判定濾波器估計性能良好。這樣的結論仍是不夠嚴謹的,原因在于時間樣本過少,未能包含上述狀態量小概率發生模態跳變時模態判斷錯誤的情況。

2.2 狀態估計方差發散

狀態估計方差發散的表現為:狀態估計方差大幅震蕩,在模態判斷正確的情況下狀態估計誤差仍不能收斂,濾波器失效。此類情況由UKF的Sigma點分布不合理引起,文獻[6,16]均由于忽略了此類失準情況,造成對比仿真結論不嚴謹。

按文獻[6,16]進行參數設置,令a=0.5,α=8,β=1.2,其余條件不變。在這種情況下UKF的狀態估計誤差與狀態估計方差曲線如圖8所示。

圖8 狀態估計方差發散情況

由圖可知,在該條件下UKF狀態估計誤差發散,估計方差也未能收斂,濾波器處于失效狀態。發生這種情況的原因分析如下。

由UKF濾波原理可知,該算法通過2n+1個采樣點來近似非線性變化后的狀態分布,其中n為狀態方程維數。故在UNGM中,UKF算法每一時刻在f(x)中取3個采樣點進行時間更新中一步預測值xk|k-1與方差Pk|k-1的計算。其中第一個采樣點為上一時刻的狀態估計值,另外2個采樣點根據Unscented變換法則關于第一個采樣點對稱分布。假設某一時刻狀態量位于平衡點附近,且估計值的絕對值與真實值接近,具體采樣情況如圖9所示。

圖9 UKF采樣情況示意圖

由UNGM特性分析可知,當a取值較大且α取值較小時,平衡點距離y軸較遠,如圖9中的x1,此時3個采樣點均位于同一象限。在這種情況下,當UKF發生模態判斷錯誤,即估計值與真實值處于不同象限時,由于f(x)關于原點對稱,UKF在估計值鄰域進行的采樣仍能很好地近似真實值鄰域內f(x)區段對狀態分布的影響。

但是當a取值較小且α取值較大時,f(x)沿y軸上下移動會使得某些時刻的平衡點距離y軸很近,如圖9中的x2。此時,3個采樣點將位于原點鄰域內的不同象限。由于f(x)在原點附近快速震蕩的特性,UKF采樣點的分布將發生畸變,不再能夠近似真實值鄰域內f(x)區段對狀態分布的影響。在這種情況下,即使模態判斷正確,UKF仍會估計失準,且狀態估計方差發散。具體情況如圖10所示。

圖10 狀態估計方差發散時的UKF估計情況

由上述分析可知,第二類狀態估計失準情況在任何確定性采樣濾波器(UKF、CKF等)的估計過程中均會發生。即使在此類濾波器基礎上做出算法優化,只要未改變采樣法則,都無法避免此類情況的發生。

由卡爾曼濾波基本原理[22]可知,濾波的目的在于融合狀態量與觀測量的信息,使得濾波結果的方差小于系統噪聲方差與觀測噪聲方差,以得到更為精確的估計值。故當濾波器估計值的方差無法收斂時,濾波器處于失效狀態,估計結果不可靠。

文獻[6,16]將優化后的UKF與UKF應用于本節參數設置條件下的UNMG,用以比較兩者性能。由上述分析可知,在這種參數設置狀態下,優化后的UKF與UKF均處于失效狀態,而在濾波器失效時對其估計精度進行比較是缺乏意義的。

3 SSUKF算法設計

由UKF失準情況的分析可知,UKF不適合作為使用UNGM對非線性濾波器進行性能評估時的基準濾波器。為解決這一問題,本文提出具有滑動采樣模塊的UKF(UKF with sliding sampling module,SSUKF),具體設計如下。

3.1 修正模態判斷錯誤

由UNGM特性分析可知,當α≠0時,狀態量后驗概率分布的雙峰將失去對稱性,本文將從這一特性著手進行研究。

狀態方程中cos(β(k-1))在同一時刻大小、符號相同,由于系統噪聲w服從均值為0的正態分布,故此時xtrue

當估計值與真實值正負異號時,下一步真實值與濾波器一步預測值分別為

在這種情況下引入系統噪聲w后,xtrue-2的概率約為74%;αcos(β(k-1))=0.8時,xtrue-1.6的概率約為70%。

需要注意的是,當選取樣本點的閾值,即αcos(β(k-1))的大小確定時,α的值越大,在一定時間范圍內,滿足閾值被選取的時刻點k越多,反之則越少;采樣數量n越小,對于模態錯誤的判斷越迅速,但可能發生誤判;n越大,對模態錯誤的判斷的延遲越長,但判斷結果也越準確。

3.2 修正狀態估計方差發散

本文在UKF的基礎上對Sigma點采樣法則進行修正,以解決狀態估計方差發散的問題,方案如下。

4 仿真校驗

為進一步驗證SSUKF應對UNGM復雜特性的有效性,本文將SSUKF與UKF、BPF進行了仿真對比分析。

4.1 SSUKF與UKF的仿真比較

使用均方根誤差(root mean square error,RMSE)來定量比較各濾波算法的精度。狀態x在整個濾波時段的RMSE可以表示為

(7)

式中:x和xi分別為第i步時狀態量的估計值與真實值;k表示濾波總步數。SSUKF與UKF的仿真結果對比如表1和圖11所示。

圖11 SSUKF與UKF的狀態方差對比

表1 濾波器性能對比

由表1和圖11可知,與UKF相比,SSUKF在計算時間基本一致的情況下,狀態方差的收斂性與濾波精度都有較大提升。

4.2 SSUKF與BPF的仿真比較

已知BPF算法粒子數量多、分布范圍廣,能夠較為有效地處理UNGM問題?；贐PF的各種優化濾波算法也經常使用UNGM進行性能評估。本文通過2組不同參數設置的UNGM,對BPF與SSUKF進行比較分析,以進一步評估SSUKF的性能(BPF算法詳見文獻[5],本文不再贅述)。

1) 第一組參數設置

令a=0.7,b=25,c=20,α=4,β=1.2。SSUKF采樣數n=8,BPF粒子數為300。SSUKF與BPF的估計結果如圖12～13所示。

圖12 SSUKF的狀態估計情況1

圖13 BPF的狀態估計情況1

由圖可知,在這種參數設置條件下,狀態量在正負平衡點之間的跳變較為頻繁,SSUKF與BPF仍基本能夠對狀態量的變化進行跟蹤。此時很難從圖中直觀評價濾波器性能好壞。濾波器性能的定量比較如表2所示。

表2 濾波器性能對比

由表可知,在這種參數設置條件下,BPF的估計精度略優于SSUKF,但SSUKF的計算時間明顯小于BPF,此時2種濾波器性能接近。

2) 第二組參數設置

令a=0.9,α=1,β=0.4;由第3節分析可知,由于a變大,狀態量模態跳變頻次降低,故此時可以通過增加SSUKF采樣點的數量以提高其模態判斷的準確性,令n=100,其余參數不變。SSUKF與BPF的估計結果如圖14～15所示。

圖14 SSUKF的狀態估計情況2

由圖14可知,SSUKF在區域①發生初始模態判斷錯誤;UNGM模型在區域②中因系統噪聲而發生模態跳變。上述情形包含了2.1節中所描述的造成UKF失準的兩類模態判斷錯誤情況。當這兩類模態誤判發生時,SSUKF均正確做出判斷并迅速修正。

由圖15可知,BPF在區域①中迅速修正了模態判斷錯誤;在區域②中則經過了較長的延遲才對模態錯誤做出修正;在區域③中則發生了模態誤判的情況,估計值的符號發生錯誤跳變。這是由于當a較大時,UMGN后驗概率密度的雙峰分布間隔較大(詳見UNGM特性分析),BPF的粒子分布稀疏使得采樣信息充分,導致濾波器性能下降。這也體現了BPF對于具體模型針對性不強的特點。

圖15 BPF的狀態估計情況2

濾波器性能的定量比較如表3所示。

表3 濾波器性能對比

由上述分析可知,在這種參數條件下,SSUKF在模態判斷準確性以及模態修正速度上均優于BPF。

4.3 仿真總結

由仿真結果可知,SSUKF在狀態方差的收斂性與濾波精度上均優于UKF。此外,SSUKF可以根據模型特性的變化進行對應的參數調整。相較BPF,SSUKF的模型針對性更強且計算量更小。

綜上所述,SSUKF通過對UKF自身濾波數據的充分利用與適當處理,解決了UKF應用于UNGM時的失準問題,達到了較好的濾波效果。

5 結 論

1) 對非線性濾波器設計與研究過程中普遍使用的UNGM進行了詳細的特性分析,分析了模型參數對于模型特性的影響及其雙峰特性的成因;

2) 指出UKF應用于UNGM時失準的原因主要在于模態判斷錯誤與采樣點畸變引起的方差發散,同時結合上述原因分析了在以往研究中使用UNGM與UKF時的不當之處;

3) 提出了SSUKF,仿真結果表明SSUKF能夠有效解決UKF應用于UNGM時的失準問題。在使用UNGM對濾波器性能進行評估時,SSUKF彌補了UKF作為基準濾波器時論證不嚴謹的問題,更適合與各種非線性濾波器進行比較分析;

4) SSUKF在模態跳變的響應速度與模態判斷準確性的兼顧層面仍有改進空間;

5) 如何將SSUKF的模態判斷方法應用于實際工程模型中,有待進一步深入研究。