一類分數階系統的有界H∞事件觸發跟蹤控制

吳 宇，李 平，李小華

（遼寧科技大學 電子信息與工程學院，遼寧 鞍山 114051）

近年來，關于分數階系統的控制問題越來越受關注。backstepping技術在解決這類問題上已得到廣泛使用［1-4］。但是，在許多實際過程中，系統的控制方向可能是未知的，這意味著輸入變化對輸出變化方向的影響是未知的，解決這個問題的常用方法是使用Nussbaum 函數［5］?；贜ussbaum增益函數，文獻［6］針對一類具有未知控制增益符號的分數階非線性混沌單輸入單輸出系統，提出一種改進的模糊自適應控制策略。文獻［7］研究了不確定分數階嚴格反饋非線性系統在未知輸入量化、未知控制方向和未知執行器故障情況下的自適應反演控制設計問題。因此，在設計過程中考慮未知控制方向這一限制因素是有必要的。

在實際工業系統控制中，外部擾動是最常見的影響控制效果的因素。1981 年，Zames 引入了H∞控制的概念［8］。對于分數階系統的魯棒H∞控制問題，也出現了許多研究成果［9-12］。目前，針對非線性分數階系統的魯棒H∞控制研究，一方面是通過對系統進行Lyapunov穩定性分析并求解得到黎卡提方程，從而獲得分數階系統的自適應模糊H∞控制器［9-10］；另一方面是直接采用Lyapunov穩定性分析方法和線性矩陣不等式方法得到系統的H∞觀測器和靜態輸出反饋控制器［11-12］。與上述方法不同，文獻［13］首次采用backstepping技術提出一種自適應神經網絡H∞跟蹤控制的設計方法，但在設計H∞控制器時，需要系統達到漸近穩定。而對于分數階系統在采用先進控制方法時通常只能獲得有界穩定的結果，難以設計其H∞控制器。為解決該問題，文獻［14］提出一種有界H∞控制方法，使得系統在有界穩定的情況下也能設計H∞控制器，從而保證系統對外部干擾具有H∞性能。因此可以考慮分數階系統在有界穩定情況下的H∞控制問題。然而，目前尚未看到有關具有未知控制方向的分數階系統的有界H∞控制的研究報道。

網絡控制能夠提高控制效率，降低重構和維護成本。傳統反饋控制信號在閉環網絡環境中的周期性傳輸需要較高的網絡帶寬，而事件觸發控制是減少網絡通信和控制器調整頻率的一種方法，并且涌現了大量研究成果［15-17］。目前，事件觸發控制中常用的有固定閾值策略和相對閾值策略。固定閾值策略的特點是無論系統控制量多大，事件采樣誤差ζ(t)總是受一個給定常數的限制，但是這可能并不適用于所有的系統。在實際系統中，考慮穩定性問題時，經常要考慮控制信號的值。因此，本文采用相對閾值控制策略進行系統設計，考慮控制信號對事件采樣誤差ζ(t)限制條件的影響。

受上述成果的啟發，本文針對一類帶有不確定外部干擾和輸入飽和的且控制方向未知的非同元次分數階嚴格反饋非線性系統，提出一種基于事件觸發機制的自適應神經網絡有界H∞跟蹤控制策略。應用該策略所得到的控制器能夠保證系統跟蹤誤差及閉環系統中的所有信號是有界的，并且對外部干擾具有很好的抑制性能。同時系統的控制輸入不再頻繁進行更新，更加節約通信資源。

1 系統描述

1.1 系統描述

考慮具有輸入飽和的非同元次分數階嚴格反饋非線性系統，其系統方程描述為

式中：0 ≤αi≤1(i=1,2,…,n)為系統階次；[x1,x2,…,xn]T=x∈Rn表示系統的狀態向量，且xi=[x1,x2,…,xi]T∈Ri；y∈R 表示系統的可量測輸出；fi(?):Ri→R 和gi(?):Ri→R 均為未知的光滑非線性函數；di(?)∈L2([0,T],R)為不確定外部擾動信號；u(v)表示控制器的飽和輸出。

本文中，飽和非線性被定義為

式中：v表示飽和非線性的輸入；uM代表飽和非線性的未知參數。

這里采用與文獻［18］相似的處理方法，借助一類光滑的雙曲正切函數去逼近上述的飽和函數，即

此時，飽和函數sat(v)被定義為

其中，Δ(v)是有界的，且

這里，D為Δ(v)的上界。

此時，利用中值定理，存在一個常數0

同時，令Υ(0)=0，則式（7）可以化簡為

因此，飽和函數sat(v)可以被轉化成

那么將式（9）代入式（1），系統方程可以改寫為

本文控制目標為：設計一個基于事件觸發機制的自適應神經網絡有界H∞跟蹤控制器，使得該閉環分數階系統輸出跟蹤給定的參考信號yd(t)且系統中所有信號均是有界的，同時對外部擾動具有H∞干擾抑制性能。

為了實現上述的控制目標，先對系統做如下假設：

假設1 參考信號yd(t)及其αi∈(0,1)階導數(t)(i=1,2,…,n)為已知連續且有界的函數。

假設3 對于式（8）中的函數Υv?，有0<Υv?<1。

本文中，利用徑向基函數（Radial basis function，RBF）神經網絡能夠在有界閉集ΩZ∈Rq上逼近未知的連續非線性函數F(Z)［19］，即

其中，W*T表示RBF神經網絡的最優權向量，定義式為

這里σ(Z)為估計誤差，對于任意的有界正常數σ*，都有|σ(Z)|≤σ*。

1.2 預備知識

為了獲得本文的主要結果，這里給出必要的定義及引理。

定義1［20］若系統（1）滿足下列條件：（1）對于任意的初始狀態，若存在一個連續可微的函數V(ε)>0，有V?(ε)≤-a0V(ε)+k0成立；（2）不等式

成立。則上述系統對于外部擾動d具有H∞抑制性能，同時，式（14）被稱為有界H∞性能指標。其中，a0,k0是正實數，ε1表示系統的跟蹤誤差，d(t)∈L2[0,t]是非零外部擾動，γ為給定的干擾抑制系數。

定義2（Caputo 分數階微分）［21］設函數f(t)在[t0,t]上n階可導，f(n)(t)在[t0,t]上絕對可積，則有

其中，t≥t0，n∈N，且n-1<α

定義3［22］對于滿足式（17）以及式（18）所示性質的函數N(ζ):R →R，稱為Nussbaum函數。

引理1［23］一個分數階系統Dαy(t)=u(t) ，其中，0<α<1，y(t)∈R，u(t)∈R 可被看成如下的連續頻率分布模型

引理2［22］ζi(?)為定義在[0,tf]上的光滑函數，且N(ζi)為光滑的Nussbaum 增益函數，考慮系統（1），若存在一個正定的，徑向無界的，連續可微的Lyapunov函數V:Rn→R，常數a0>0，b0>0，滿足

則V(t)，ζi(t)和?在[0,tf]上有界。其中，表示時變參數。

引理3（Gronwall不等式）［24］假設x(t)，χ(t)，?(t)是在t∈[a,b]上的實連續函數且χ(t)≥0，如果對任意的t∈[a,b]滿足

則有

為了簡化推導過程，在后面的設計中將非線性函數中的自變量略去，如：fi(i)，gi(i)，di(t)寫成fi，gi，di。

2 控制器設計

首先，采用式（23）及式（24）進行坐標變換

其中，ε1是系統的跟蹤誤差，yd是系統的期望信號，τi-1是系統的虛擬控制量。θ?i表示未知常數θi的估計值，且? 指的是θi的估計誤差，這里，θi可以描述為。那么可以得到

其中，0<β<1，則其對應的頻率分布模型為

根據跟蹤誤差的定義以及系統方程得到分數階微分方程為

由引理1可以得到Dα1ε1對應的頻率分布模型為

第1步 選取Lyapunov函數為

對Lyapunov函數求導得

根據式（26）和式（28），可以得到

由Young’s不等式可得

將式（32）和式（33）代入式（31）中得

定義函數F1為

采用RBF 神經網絡對未知非線性函數F1進行逼近，即

其中，Z1=[x1,yd,Dα1yd]T，借助Young’s 不等式可以得到

其中，λ1>0 為設計參數，將式（37）代入式（34）中得

選取虛擬控制τ1為

其中，c1>0 為設計參數，將式（39）和式（40）代入式（38）中得

選取自適應律Dβθ?1為

此時得到

第i步(i=2,…,n-1) 選取Lyapunov函數為

對Lyapunov函數求導得

由式（10）和式（24）得到分數階微分方程為

根據式（26）、式（43）和式（46），可以得到

由Young’s不等式可得

因此，將式（48）和式（49）代入式（47）中得

定義函數Fi為

類似于第1步，采用RBF神經網絡對其進行逼近，即

其中，λ1>0,i=2,…,n-1 為設計參數，將式（53）代入式（50）中得

選取虛擬控制τi為

其中，ci>0,i=2,…,n-1 為設計參數，將式（55）和式（56）代入式（54）得到

選取自適應律Dβθ?i為

此時得到

第n步 選取輔助Lyapunov函數為

p0>0 是一個輔助參數，引入它的目的是為了后續證明系統滿足有界H∞性能指標。由于它不影響基于Lyapunov 函數的穩定性分析，即不參與控制器設計，因此無需知道它的實際值。

對式（60）求導得到

由式（10）和式（24）得到分數階微分方程為

根據式（26）和式（62），可以得到

由Young’s不等式可得

因此，將式（64）和式（65）代入式（63）中得

類似于前面步驟，同樣用RBF 神經網絡進行逼近，即

其中，λn>0 為設計參數，將式（69）代入式（66）中得

其中，cn>0 為設計參數，并對該控制采用相對閾值的事件觸發機制設計，飽和非線性的控制輸入設計成如下形式

事件觸發機制定義為

這里，定義ζ(t)=w(t)-v(t) 表示事件采樣誤差，tk(k ∈z+)是控制器更新時間，0<Λ<1，κ>0，m>0且均是正的設計參數。

根據式（74）和式（75）中的定義ζ(t)=w(t)-v(t)，?t ∈[tk,tk+1)，可以得到

化簡得

其 中，η1(t) 和η2(t) 是 時 變 參 數 滿 足 |η1|≤1 ，|η2|≤1。將式（77）代入式（70）得

因η1(t)∈(-1,1)且η2(t)∈(-1,1)，可以得到

根據式（73）、式（78）、式（79）和式（80），可得

根據文獻［25］中的引理3 可知，0 ≤ |εn|-εntanh，又有，將式（71）和式（72）代入式（81）可得

選取自適應律Dβθ?n為

將式（83）代入式（82），并進一步整理得到

其中，g?j被定義為如下的形式

基于上述推導，可得到如下定理：

定理1 對于滿足假設1～3 的帶有外部擾動的非線性分數階系統（1），如果按照式（39）～（40）、（55）～（56）、（71）～（75）以及（42）、（58）、（83）來獲得系統的虛擬控制律、實際控制律及自適應律，則該閉環非線性分數階系統的輸出能夠跟蹤給定的參考信號yd(t)，且系統中所有信號均是有界的，同時對外部干擾具有H∞干擾抑制性能。

證明 （1）穩定性的證明。定義整個系統的Lyapunov函數為

結合式（43）、（59）以及（84），可得

對于式（87）中的最后一項0.557，由于=gnΥvζ的存在，使得該項正負均有可能。因此，將從如下的兩個情形進行分析，并對該項進一步處理。

情 形1 當gn∈[gn0,gn1]?(0,+∞) 時，∈[Υvζgn0,Υvζgn1]?(0,+∞)，根據假設2 和假設3 可知0.557是有界的，因此，存在一個正常數Θ，很容易得到0.557κBZ_41_1405_2129_1428_2174.pngn≤Θ 成立。

情 形2 當gn∈[-gn1,-gn0]?(-∞,0) 時，∈[-Υvζgn1,-Υvζgn0]?(-∞,0) ，那 么0.557<0 。則0.557可以消去。

按情形1考慮，式（87）可以整理為

將式（89）代入式（88）中得

考慮系統自身穩定性問題時，令dj=0 ，j=1,…,n，有

根據式（91），可以得到

其中，a0=2Θ+a0p0。由引理2 可知，?是有界的，此時可設其有上確界為Q>0 ，則有，同時所設計的控制器保證了系統（1）的所有信號是有界的。那么，式（92）可以進一步整理為

（2）H∞性能的證明。由式（90）可知

其中，外部干擾信號d=[d1,d2,…,dn]T，逼近誤差。此時得到

定義一個輔助函數

根據式（93）和式（95），可以得到

由式（86）可知V>0，則一定存在一個未知常數h>0，滿足

則

對式（99）從0到t積分可得

其中，ε(t)=[ε1,ε2,…,εn]T。根據引理3，令?(t)=V(ε(0))+(γ2‖d(s)‖2-ε(s))ds，χ(s)=η，則可得到

下面用反證法證明?(t)>0。首先假設?(t)≤0，則有

可見式（86）與式（102）矛盾，所以假設不成立，因此?(t)>0，即

根據定義2和式（103）可以說明該控制器設計滿足定義2 的有界H∞性能指標，即對外部干擾具有H∞抑制能力。

（3）排除Zeno 行為。對于任意t∈[tk,tk+1)，由ζ(t)=w(t)-v(t)可得

因為fi(?)和gi(?)都是光滑函數，即連續且可導，根據式（73）可知w(t)也是連續可導函數，且由式（73）可求得w?(t)，可知w?(t)也是關于x的函數，并且已經得到該閉環系統中x是有界的，所以|w?(t) |為 有 界 函 數，即 存 在 常 數?>0 ，使 得|w?(t) |≤?。在事件觸發機制的定義里，當tk時刻ζ(tk)=0 且tl→imtk+1ζ(t)=Λ |v(t) |+m。由式（104）可知事件觸發的時刻間隔滿足tk+1-tk≥(Λ |v(t) |+m)/?，即該時刻間隔存在下確界t*≥m/?，則該事件觸發機制不會發生Zeno行為。

3 仿真研究

為了驗證本文所提出控制方法的有效性，對文獻［17］中的分數階系統進行仿真研究，其數學描述為

其中，α1=0.96,α2=0.99。設計參數選為：β=0.95，c1=c2=4 ，λ1=λ2=5 ，δ1=δ2=1.5 ，，Λ=0.01，m=10，κ=1，m=0.01；系統的初始條件為[x1(0),x2(0)]T=[0,3,-0.2]T；飽和非線性的界為uM=10 ；參考信號為yd=0.3 sin(t) ；外部擾動為d1=sin(t)e-2t，d2=cos(t)e-0.5t。自適應參數的初始值均取0.1。RBF神經網絡的基函數均為高斯函數，寬度為2，神經網絡包含73個節點，均勻分布在區間［-3,3］×［-3,3］×［-3,3］上；神經網絡包含76個節點，均勻分布在區間［-3,3］×［-3,3］×［-3,3］×［-3,3］×［-3,3］×［-3,3］上。

根據上述參數，由定理1 得到系統的控制器，對系統進行仿真，其結果如圖1～圖6所示。

圖1 系統輸出跟蹤效果及對比Fig.1 System output tracking effect and comparison

圖1 表示無外部干擾和有外部干擾時的系統輸出跟蹤效果對比曲線。無論有無外部擾動，系統輸出y都能夠以較高的精度跟蹤給定的參考信號yd。圖2 表示系統跟蹤誤差ε1的對比曲線，表明兩種情況下系統的跟蹤誤差基本保持一致，能夠達到有界穩定的結果。圖3表示系統狀態x2的對比曲線，圖4表示具有飽和的控制信號u的對比曲線。圖3和圖4表明，閉環系統中的所有信號均是有界的，且外部干擾對系統控制效果基本沒有影響，證明所提出的控制方法具有H∞干擾抑制性能。圖5表示在事件觸發機制的作用下，控制信號w和v的曲線，圖6 表示觸發時間間隔圖。從圖5和圖6可以看出，該控制器避免了控制信號的不斷更新，減少了資源的浪費。上述仿真結果驗證了所提出控制方法的有效性。

圖2 系統跟蹤誤差ε1 曲線及對比Fig.2 System tracking error ε1 curves and comparison

圖3 系統狀態x2 曲線及對比Fig.3 System state x2 curves and comparison

圖4 具有飽和的控制信號u 曲線及對比Fig.4 Control signals u curves with saturation and comparison

圖5 事件觸發機制下控制信號w 和v 曲線Fig.5 Control signals w and v curves under event-triggered mechanism

圖6 觸發時間間隔Fig.6 Trigger time interval

4 結 論

本文研究一類帶有不確定外部干擾和輸入飽和且控制方向未知的非同元次分數階非線性系統基于事件觸發機制的自適應有界H∞跟蹤控制問題。采用backstepping 控制方法、RBF 神經網絡、有界H∞控制方法、Nussbaum增益技術以及相對閾值策略，提出一種自適應神經網絡有界H∞事件觸發跟蹤控制器的設計方案。該方案能夠使系統輸出較好地跟蹤給定的參考信號，同時保證跟蹤誤差及閉環系統的所有信號均是有界的，外部干擾對系統性能基本無影響，并且能夠減少控制信號的更新次數，避免資源的浪費。同時在系統中考慮了飽和因素的影響，所提出的控制策略也更符合實際情形。該方法利用頻率分布模型構造系統的Lyapunov 函數，設計過程中不用求解其分數階導數，使此類設計更加簡單方便。