核心素養視角下的開放式圓錐曲線問題的研究

石義娜　丁紅云　夏小剛

［摘? 要］ 文章基于核心素養對一道典型的開放式圓錐曲線問題進行多角度思考、多層次探索、多方面推廣，主要途徑是運用一題多解、問題抽象、類比推廣使數學核心素養在知識理解中落腳、在知識遷移中生長、在知識創新中發展.

［關鍵詞］ 核心素養；圓錐曲線；問題研究

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（簡稱《課標》）提出的六大數學核心素養［1］，為中國基礎教育數學學科的研究與實踐指明了方向［2］. 圓錐曲線蘊含著豐富的數學思想和方法，涉及多種核心素養的考查，對學科核心素養的培育起著至關重要的作用. 不少研究顯示，師生均認為圓錐曲線內容“理解難、計算繁”，很重要但難學又難教［3］；多數師生認為圓錐曲線內容極為重要在于它在高考中的地位，而不是圓錐曲線本身的教學價值，難學難教關鍵在于知識本質未厘清，即未建構起內在聯系. 在現今教學中，強調多講題多練題，一味地進行解題訓練，注重解題技巧的傳授［4］，過于重視解題而忽視對數學知識特別是核心概念的真正理解，使學生難以綜合運用知識解決問題，導致解題能力下降的情況屢見不鮮. 此外，多數學生存在“就題論題”“唯分是從”的價值取向，僅重視解答是否正確、能否得分，對知識的理解十分片面，缺乏深入思考的意識，往往還沒有真正理解題目內涵及解題模型便將其丟棄. 基于此，文章寄托于一道開放式圓錐曲線問題的多角度思考、多層次探索和多方面推廣，注重解題模型的構建，提出更具一般性的問題，進而延伸到一般性結論的教學策略，揭示圓錐曲線的內在聯系，體現其教學價值；并以數學核心素養的水平劃分為依據，評價核心素養在問題教學過程中的達成情況，在圓錐曲線問題教學研究中逐步揭示核心素養如何落地、生根、發展.

開放式問題的價值及思考

開放式問題是時代發展的產物，它的方法不唯一、答案多樣化，能夠發展學生的創造思維. 培養學生的創新精神［5］，而高考題是實現課程目標的重要載體之一［6］，是基于學科知識的樹人、育人體系之一. 因此，本文選擇高考中的一道具有研究價值和教學價值的開放式圓錐曲線問題，即2019年全國高考Ⅲ卷（理科數學）中的壓軸題進行講述. 該題主要考查直線與圓錐曲線的位置關系，將方程、拋物線、切線等知識有機結合，富有思維訓練價值，是一道兼具探究性和創新性的開放式問題，考查學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象等核心素養. 該題的具體內容（第（1）問）如下：

已知曲線C：y=x2/2，D為直線y=-（1/2）上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B. 證明：直線AB過定點.

核心素養視角下的開放式問題的研究

在核心素養的視角下，對開放式圓錐曲線問題進行多角度、多層次、多方面的探究是實現“以人為本”理念的現實需求，也是將核心素養融入解題教學的重要嘗試. 如何使其落地、生根、發展？前提是理解落地、生根、發展的含義. “落地”指（物體）落在地上，落腳點指目的地，目的地與出發點相對［7］，教學中素養落地和落腳指基本達到教學目的，即學生理解了知識. “生根”比喻事物建立起牢固的基礎，教學中素養生根指在理解知識的基礎上牢固知識、遷移知識、運用知識. “發展”指事物由小到大、由簡單到復雜、由低級到高級的變化，教學中素養發展指類比拓廣知識，即讓學生學會創新. 《課標》在“數學學科核心素養的水平劃分”中，詳細地闡述了六大素養水平的三個層次，可概括為“水平一：在熟悉情境中，能解決具體問題，了解和體會數學知識”“水平二：在關聯情境中，能解決一類問題，理解和構建數學知識”“水平三：在綜合情境中，能形成新命題，即創造性解決問題，掌握和運用數學知識”. 綜上所述，若能夠正確解答問題，可以認為達到了數學核心素養水平一的層次，使數學核心素養在知識理解中落地；若能夠將已知數學問題推廣至更一般的情形，并給出相應且合理的解釋和證明，可以認為達到了數學核心素養水平二的層次，使數學核心素養在知識遷移中生根；若能夠理解知識本質，進而類比拓廣，形成一般性結論，可以認為達到了數學核心素養水平三的層次，使數學核心素養在知識創新中發展.

1. 數學核心素養落地：一題多解，知識理解

針對本題，學生通常用切線方程求直線AB的方程，然后得出定點，其他解法考慮較少，這體現著學生思維的惰性和局限性. 因此，在解題教學中，教師不能只關注常規解法和解題技巧，還要多關注問題的本質和發散的思維，可通過一題多解促使學生全面理解問題的本質. 圖1列舉了三種思路、六種解法，涉及直線基本事實、共線方程、韋達定理、配級原則等知識，包含對稱、降次、轉化等數學思想. 無論運用哪種方法解題，學生都需要理解基本的拋物線知識，因此，若學生能給出正確的解題過程，可以認為學生達到了數學核心素養水平一的層次.

知識落腳在于理解，《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：描述對象的由來、內涵和特征，闡述此對象與相關對象之間的區別和聯系［8］. 講解該題時，先讓學生閱讀題目，理解問題指向，提取可用信息，再細化處理問題，推斷出隱含信息. 除了讓學生理解常規解法，教師還要追問是否存在其他不同的解法或思路，并給予提醒以及充足的時間讓學生去思考. 可讓學生上臺展示不同的解法，教師給補充，并系統匯總與歸納多種解法，讓學生認識到不同解法間的關聯與差異，從而真正理解知識的本質. 在教學中，教師要促使學生思考，如提出一些延伸性問題，或者跳出當下的知識點，追問學生放到學過的關聯知識中是否可行，讓學生在耳濡目染下形成發散和深度思考的好習慣，從而轉變學生“就題論題”“唯分是從”的價值觀念. 匯總時可以繪制圖1所示的解題路線圖，也可以使用圖表、表格等其他形式進行梳理，這羅列的不僅是解法，更是思維. 通過對問題的多角度思考，學生會嘗到“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”的味道，在不同解法或思路中“深刻理解”知識，使數學核心素養在知識理解中落地.

2. 數學核心素養生根：問題推廣，知識遷移

觀察法是人類發展史上最原始的方法，解決完問題不是結束而是開始，應多讓學生去觀察和反思，引導學生發現問題、提出新的問題.一個班有幾十個學生，總有不同的想法和做法，俗話說“三個臭皮匠抵一個諸葛亮”，他們千奇百怪的想法也許會給教師帶來意外驚喜. 當然，教師設問應極具技巧性，需具體無歧義、指向明確.例如本題，能發現點D恰好在拋物線的準線上，所求定點恰好與拋物線的焦點相同，于是可提問：其他拋物線準線上的點是否也有這樣的性質呢？定點還會是拋物線的焦點嗎？引導學生猜想后證明結論：對于拋物線C，D為拋物線C的準線上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB恒過拋物線C的焦點.

知識生長即理解知識間的關聯性、把握數學問題的本質、明晰數學的通性通法，即將知識遷移到一般化的關聯情境中. 對于有價值的數學問題，就應充分挖掘其價值，解題不流于表層，適時將具體問題抽象推廣至一般化，讓學生經歷感性猜想到理性證明的過程，從理解一道題上升為一類題，有效促進學生數學抽象、數學運算和邏輯推理等素養的提升. 學生若能在理解問題本質的前提下升華，即對知識進行遷移，可認為學生達到了數學素養水平二的層次，使得數學核心素養在知識遷移過程中生根.

3. 數學核心素養的發展：拓展延伸，知識創新

知識創新是在原有知識框架的基礎上，將知識進一步延伸，得出新的結論或命題. 延伸的最好辦法就是搭建知識框架，建立縱橫聯系——單元教學就是一個典型的例子. 回歸本題，考查的雖是拋物線，但圓、拋物線、橢圓、雙曲線均是圓錐曲線，其存在某些共同特征，因此教師可引導學生將上述問題類比延伸到圓、橢圓、雙曲線中，使學生形成研究問題的思路和方法，揭示其內在聯系，激活自身思維. 多數學生進行類比只是單純的模仿，形似而神不似，問其緣由卻說不出所以然，因此教學中教師要歸納本質、建立聯系，幫助學生實現“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越.

（1）類比橢圓.

對于橢圓C，D為橢圓C的準線上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B，求證：直線AB恒過橢圓與準線同側的焦點.

在原題結論的基礎上進行類比、改寫，合情推理出橢圓對應的結論，進一步考驗學生的數學抽象能力和邏輯推理能力，關鍵在于打開思維，將合情推理的結論演繹證明出來，彰顯數學的嚴謹性. 在教學中，教師要通過設問激發學生思考，引導學生通盤考慮、全盤整合橢圓和拋物線的相關知識，運算和處理相關數據，形成有邏輯條理的證明過程.

（2）類比雙曲線.

對于雙曲線C，D為雙曲線C的準線上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B，求證：直線AB恒過雙曲線與準線同側的焦點.

探究雙曲線的情況時，教師可以讓學生仿造橢圓情況下的研究思路和方法，給學生搭建合作交流的平臺，有的放矢地把控全局，將思維訓練和素養培育貫穿始終，進一步整合圓錐曲線知識.

（3）結論推廣.

通過總結，引導學生跳出單一的局面，從整體上去思考圓錐曲線，教師可以通過問題驅動引導學生提煉總結，揭示其中的內在聯系，更好地建構知識體系，完善認知結構，使知識從零散的記憶逐步走向完整、系統的理解.

結論1：一般地，對于任意拋物線，D為拋物線的準線上的一個動點，過點D作拋物線的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB恒過拋物線的焦點.

結論2：一般地，對于任意橢圓（雙曲線），D為橢圓（雙曲線）的準線上的一個動點，過點D作橢圓（雙曲線）的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB恒過橢圓（雙曲線）與準線同側的焦點.

綜上所述，從拋物線的相關結論延伸到橢圓與雙曲線（圓是特殊的橢圓，不再贅述），再到圓錐曲線整體認知建構，從局部到整體，從具體到一般，在綜合情境中高度概括出圓錐曲線的一般結論，形成數學命題，達到數學核心素養水平三的層次.

結語

在圓錐曲線問題教學中，教師要挖掘問題背后的知識本質以及所蘊含的思想方法，只有深入研究才能更清楚地認識到問題的價值，才能在教學中充分發揮問題的教育價值. 此外，要注重圓錐曲線整體認知建構，引導學生親歷理解、遷移、歸納類比和演繹證明的過程，揭示圓、拋物線、橢圓、雙曲線之間的內在聯系，感悟數學思想方法，將學習的外部知識內化為內部能力，形成個人素養. 本文利用一個典型的開放式圓錐曲線問題，通過多角度思考、多層次探索、多方面推廣，先由一題多解的方式促使學生理解知識，促使數學核心素養落地；再由問題的進一步拓展促使學生遷移知識，達成數學核心素養生根；最后由類比推廣形成一般性結論，達成數學核心素養發展.從整個過程體會數學核心素養在數學問題教學中如何落地、生根、發展.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 邵貴明，胡典順，柳福祥. 論數學核心素養在高中數學課堂落地生根——以人教版高中“對數”教學為例［J］. 數學教育學報，2020，29（06）：46-50.

［3］ 王海青. 問題驅動理論下“圓錐曲線與方程”教學重構［D］. 廣州大學，2019.

［4］ 王亞運. HPME視角下的橢圓教學設計與研究［D］. 華中師范大學，2017.

［5］ 張俊忠.數學開放題的起源、價值與運用［J］. 教學與管理，2020（31）：43-45.

［6］ 楊亮. 審讀高考題的三重境界［J］. 思想政治課教學，2017（04）：54-55.

［7］ 中國社會科學院語言研究所詞典編輯室. 現代漢語詞典［M］. 北京：商務印書館，2012.

［8］ 中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2011年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2011.

作者簡介：石義娜（1996—），碩士研究生，從事數學教育研究工作.