趨化NS系統的全局吸引子

尹艷瓊, 范小明

( 西南交通大學 數學學院, 四川 成都 610065)

0 引言

趨化現象刻畫的是生物在環境中某些化學物質的影響下產生的一種定向運動.關于它的研究可追溯到Patlak[1]和Keller等[2-3]的創造性工作,他們提出的趨化模型主要研究在化學物質的影響下細菌的聚集過程.而生物學中的許多問題都可以用趨化NS系統來進行模擬[4-10],因此對于數學家和生物學家來說,趨化NS系統已經成為重點的研究數學模型之一[11-13].至今對于此類方程的解的適定性問題已有了大量研究[14-20],但是有關其吸引子的研究甚少.因此本文主要考慮在二維有界域下的趨化NS系統的全局吸引子:

?tn+u·?n-Δn=
-?·(S(n)?S1(c))-?·(n?m)+
f(n,c,m),x∈Ω,t>0,

(1)

?tc+u·?c-Δc=-nc-c+k,x∈Ω,t>0,

(2)

?tm+u·?m-Δm=
-m+g(c,m),x∈Ω,t>0,

(3)

?tu+(u·?)u-Δu=?p+n?φ,x∈Ω,t>0,

(4)

?·u=0,x∈Ω,t>0,

(5)

其中未知函數u=(u1,u2),n,c,m,p分別代表流體速度,細胞種群密度,氧氣,化學引誘劑,流體壓力.k是一個常數.Ω?2是一個帶有光滑邊界Γ:=?Ω的有界區域.

針對以上方程,我們考慮n,c,m滿足Neumann邊界條件,u滿足no-slip邊界條件

(6)

其中ν(x)是x∈Γ上的單位外法向量.

初始條件

n(x,0)=n0(x),c(x,0)=c0(x),
m(x,0)=m0(x),u(x,0)=u0(x),x∈Ω,

(7)

同時假設φ是重力勢并且滿足?φ∈L∞(Ω),Δφ=0.

并滿足下列條件:

1)0≤f(n,c,m)≤-αn+βc+ηm,其中α是正的常數,β,η是常數.

其中γ≤1-2μ-μ1.

本文結構如下:第一部分給出所需的函數空間以及一些基本定義定理;第二部分證明系統吸引子的存在性;第三部分證明系統是一致漸近緊的.

1 預備知識

本章節將會給出一些符號和概念.

L2(Ω)是Hilbert空間,其內積和范數分別為

我們記

其中

定義1[21-22]設{S(t)}t≥0是算子半群,若緊集A?H滿足條件:

(1)A是不變集,即S(t)A=A,?t≥0.

(2)A是一致吸引的,即對于H中的任意一個有界集B,滿足

則稱A是半群{S(t)}t≥0的全局吸引子.

引理1[22]Ω是n上的有界開集,若對任意的

則有

‖u‖Lq(Ω)≤C‖?u‖Lp(Ω),

引理2[21]Ω是n上的有界開集,則對任意的

有

引理3[21](一致 Gronwall 引理) 設y,y1,y2,y′2在[t0,+∞)上均是正的局部可積函數, 若對于t≥t0,滿足

y′2≤yy2+y1,

其中r,a1,a2,a3是正的常數.則對?t≥t0,有

定理1假設S,S′,f,g,h滿足以上所給條件,初邊值條件滿足(6)-(7),則在二維空間上,趨化NS系統 (1)-(5)存在唯一的整體解(n,c,m,u),且?T>0,有

此定理的證明主要是運用Faedo-Galerkin方法[21],可參考文獻[23-26],在此不做過多贅述.

根據定理1,可在空間H上定義連續的算子半群{S(t)}t≥0:

下面運用Temam[21]的研究方法推出在空間H上半群{S(t)}t≥0的全局吸引子A存在.

2 吸收集

證方程(2)的兩邊分別與c作L2(Ω)的內積

故有

(8)

設B1是L2(Ω)中的一個有界集,包含在以RB1為半徑、0為圓心的球領域里面.則存在常數γ1>ρ1,以及

證由引理4可知,c從L2(Ω)的任一有界集出發,時間t1過后,總是會回到吸收集B1中,其中B1是ο(0,γ1)在L2(Ω)中的有界閉集,故可設c總在B1中.方程(3)的兩邊分別與m作L2(Ω)的內積

(-m,m)+(g(c,m),m).

由條件2)可得

(g(c,m),m)≤

再由引理4可得

即

(9)

故

由Gronwall不等式,有

設B2×B1是L2(Ω)×L2(Ω)中的一個有界集,包含在以RB2×B1為半徑、0為圓心的球領域里面.則存在常數

由引理5可知,(m,c)從L2(Ω)×L2(Ω)的任一有界集出發,時間t2過后,總是會回到吸收集B2×B1中,其中Bi(i=1,2)是ο(0,γi)(i=1,2)在L2(Ω)中的有界閉集,故可設(m,c)總在中B2×B1.

引理6從吸收集B2×B1出發的解(c,m)滿足

證方程(3)的兩邊分別與m作L2(Ω)的內積

(-m,m)+(h(n,m),m).

由引理4可得

從0到t對s進行積分,有

則

對方程(2)的兩邊分別與c作L2(Ω)的內積

(-nc,c)+(-c+k,c).

由引理5可得

從0到t對s進行積分,有

則

證對方程(1)的兩邊分別與n作L2(Ω)的內積,得到

再由條件3)可得

再由條件1)、引理4、引理5及Young不等式,可得

故

(10)

令

由引理6可得

其中

設B3×B2×B1是L2(Ω)×L2(Ω)×L2(Ω)中的一個有界集,包含在以RB3×B2×B1為半徑,0為圓心的球領域里面.則存在常數γ3>ρ3,

證由引理7可知,(n,c,m)從L2(Ω)×L2(Ω)×L2(Ω)中的任一有界集出發,時間t3過后,總會回到吸收集B3×B2×B1中,其中Bi(i=1,2,3)是ο(0,γi)(i=1,2,3)在L2(Ω)中的有界閉集,故可設(n,c,m)總在B3×B2×B1中.

(?p,u)+(n?φ,u).

此時壓力項將會消失,得到

因為?φ∈L∞(Ω),故存在一個常數C,使得‖?φ‖L∞

(11)

利用Gronwall不等式,得

定理2由方程(1)-(5)生成的解半群{S(t)}t≥0,在H上具有一個正向有界不變的吸收集.

引理9設(u,n,c,m)∈,其中 為有界吸收集,則對任意固定r>0,存在常數γ5(r)>0,γ6(r)>0,γ7(r)>0,γ8(r)>0,使得

證因為(u,n,c,m)∈,故式(8)-(11)成立.對任意固定r>0,將式(11)兩邊同時從t到t+r對s進行積分,有

由引理8可知,存在常數

使得

將式(9)兩邊同時從t到t+r對s進行積分,有

由引理5可知,存在常數

將式(8)兩邊同時從t到t+r對s進行積分,有

將式(10)兩邊同時從t到t+r對s進行積分,有

由引理7可知,存在常數

3 漸近緊性

本節證明半群{S(t)}t≥0是一致漸近緊的,設B?H是{S(t)}t≥0正向不變集, (n,c,m,u)是系統(1)-(5)的解.現只需證明從B出發,最終此系統的解進入K的有界集.

證將方程(4)兩邊同時乘以-Δu,并在Ω上積分,得

(?tu,-Δu)-(Δu,-Δu)=

((u·?)u,Δu)+(n?φ,-Δu).

由Young不等式和引理8,有

使用一致Gronwall引理可得

證將方程(2)兩邊同時乘以-Δc,并在Ω上積分,得

(?tc,-Δc)-(Δc,-Δc)=
(u·?c,Δc)+(nc,Δc)+(-c+k,-Δc).

其中k2是充分大的正常數.

故有

(12)

對上式關于s從0到r積分,可得

由定理8可得

證將方程(2)兩邊同時乘以-Δc,并在Ω上積分,得

(?tm,-Δm)-(Δm,-Δm)=
(u·?m,Δm)-(m,-Δm)+(g(c,m),-Δm).

其中k3是充分大的正常數.

從而

故,由引理11,有

(13)

對上式關于s從0到r積分,可得

證方程(4)兩邊同時乘-Δn,并在Ω上積分

(?tn,-Δn)-(Δn,-Δn)=
(u·?n,Δn)+(-?·(S(n)?S1(c)),-Δn)-
(?·(n?m),-Δn)+(f(n,c,m),-Δn),

其中k5為充分大的正常數.

從而

其中

則

任意的T>0,對式(12)、(13)分別在區間[0,T]上積分,可得

再由引理11和引理12,可得

定理3由方程(1)-(5)生成的解半群{S(t)}t≥0是一致漸近緊的.

由定理2和定理3可得以下定理.

定理4由方程(1)-(5)生成的解半群{S(t)}t≥0,在H上具有一個全局吸引子.

4 結論

本文利用Temam等人的理論,證明了在二維空間下趨化NS系統存在全局吸引子.一般地,在獲得系統的吸收集和算子{S(t)}t≥0的一致漸近緊性時,我們將幾個方程抽象為一個整體進行處理.而本文在證明過程中將方程分為四個部分,分別在對應的函數空間上進行證明,并且證明的順序是不可改變的.在以后的研究中,可進一步討論此類方程的吸引子維數,以及在三維空間下研究其吸引子的存在性問題和吸引子維數問題.