非對稱垂蕩式振蕩水柱波能轉換裝置的水動力性能

鮑錦濤，程一帆，鄧爭志，葉楊莎

（1.浙江大學 海洋學院，浙江 舟山 316021；2.南京水利科學研究院，江蘇 南京 210029）

隨著世界經濟的快速發展以及全球人口的不斷增長，傳統化石燃料資源日漸枯竭，人類正逐步向以可再生能源為主的綠色低碳、可持續能源時代邁進［1］。海洋擁有廣闊的表面積，蘊含的可再生能源儲存量非常豐富，而中國也有著豐富的海洋能資源，有著巨大的潛力［2］。其中波浪能具有能量集中、對環境負面影響小等優勢［3］，已受到很多國家和地區的重視［4］。20世紀70年代爆發的石油危機促使人類加快了對波浪能轉換裝置（WEC）的研究。為了高效提取海洋中的波浪資源，各式各樣的波能轉換裝置應運而生。在大量的研究中，振蕩水柱（OWC）型波能轉換裝置因其結構和機械上的簡單性而被認為是最有前景的一種［5］，在海洋工程領域得到了廣泛的應用。

當前對OWC型波能轉換裝置的研究方法主要有理論分析、數值模擬和物理試驗3種。理論分析主要基于線性勢流理論，建立一個解析模型來探究OWC裝置水動力性能的過程。早期，Evans［6］考慮氣室尺寸較小將內部的水柱振蕩近似為失重活塞運動，提出OWC的波能轉換理論。Sarmento和De O Falc?o［7］首先考慮了空氣壓縮性的影響，并指出其影響可用線性化方法表示。近十年，Deng 等［8］提出一種有助于裝置在較寬波頻范圍內實現功率高效提取的新型V 形通道OWC 系統。He等［9］通過理論模型，研究了氣室寬度、壁面吃水深度和空氣室體積對樁承式OWC防波堤波功率提取的影響。Rezanejad等［10］用匹配本征函數展開和邊界積分方程兩個不同的方法來求解相關邊值問題，表明階梯式海底有助于提高設備的性能。Wang和Zhang［11］基于勢流理論對前墻和后墻分別可縱蕩的海上OWC 裝置的波能提取效率性能進行探究，指出較小的彈簧剛度能顯著提高裝置整體轉換效率。在數模和物模試驗方面，López等［12］建立了一個基于RANS方程和流體體積法（VOF）的表面捕獲方案二維數值模型，對OWC渦輪室耦合進行深入研究分析。Ning等［13］通過時域高階邊界元法探究了OWC 裝置的水動力性能。Ning 等［14］從氣室寬度、前壁吃水深度和孔口尺度等方面對固定振蕩水柱波能轉換器的影響進行了試驗研究。此外，胡航輝等［15］結合理論分析和數值模擬的方法探究了在不同波浪條件下，結構幾何尺寸對離岸式OWC 裝置性能的影響。王鵬等［16］提出一種能有效提升消波性能，帶有水平底板的振蕩水柱式新型防波堤。Wang 等［17］基于勢流理論和時域高階邊界元方法，建立了一個全非線性數值模型，對陸基雙室OWC裝置的物理參數波浪力和彎矩展開研究。Kim等［18］提出了一種基于三維勢流的時域數值方法來分析傾斜振蕩水柱波能轉換器的性能，得到傾斜OWC 腔的主要幾何參數與水動力響應之間的關系。Chen等［19］研究了雙圓柱沉箱防波堤扇形振蕩水柱裝置的氣動阻尼特性和水動力性能，提出用壓力法來計算通過風管的氣流速度。郭權勢等［20］通過數值方法探究了垂蕩雙氣室OWC 的水動力特性，研究發現通過垂向彈簧的相位控制，可以增大氣室內水柱和裝置本身垂蕩運動的相位差，從而拓寬高效頻率帶。

傳統對稱式（前后墻吃水深度沿氣室中線對稱）單氣室透空式OWC 裝置的最大轉換效率只能達到0.5［7］，而合理的非對稱結構能起到收集波能并增強波振幅的作用。Deng等［21］通過試驗和數值模擬相結合的方式研究了樁基方箱式防波堤集成的非對稱OWC 裝置的水動力特性，結果顯示非對稱結構的存在有利于部分駐波的形成，從而提高波能轉換效率。Medina Rodríguez 等［22］理論分析了非對稱固定式OWC 裝置的水動力特性，結果顯示吃水較淺的前墻使得更多的能量傳播進氣室內被吸收，有效拓寬裝置的高效頻率帶?；趧萘骼碚?，應用匹配特征函數展開法對波浪與可垂蕩的非對稱OWC 裝置相互作用的邊界值問題進行求解，從后墻吃水（非對稱性）深度、墻體厚度和彈簧剛度3方面探究了裝置的各項水動力性能。

1 控制方程與邊界條件

如圖1所示，二維單氣室透空式振蕩水柱（OWC）波能轉換裝置部署在靜水深為h的海面上，裝置前后墻厚度分別為b3，b4，吃水深度分別為d1，d2；氣室寬度為2b；氣室高度為c；其中裝置被彈性系數為K的線性彈簧連接于海底（用于近似模擬線性錨鏈系統）。

圖1 非對稱垂蕩式振蕩水柱波能轉換裝置示意Fig.1 Sketch of asymmetric oscillating water column device in heave

將氣室的中線與靜水面的交點作為直角坐標系的原點，x軸與靜水面線重合，z軸豎直向上，入射波沿著x軸正方向傳播。根據結構幾何特征，整個流場被劃分為5個子區域，分別記為Ω1，Ω2，Ω3，Ω4和Ω5。

記入射波的頻率為ω，可以將速度勢Φ和P分離出時間變量t：

其中，i = -1，pc表示壓強的復振幅?；跓o旋無黏的理想流體假設，速度勢?(x，z)在整個流場中滿足Laplace方程：

在自由表面區域，結合動力學及運動學邊界條件，速度勢應該滿足：

其中，g為重力加速度，n為指向流場外部的物面法向量，Un為和n同方向的物面法向速度。此外，速度勢?(x，z)在x→∞處滿足Sommerfeld輻射邊界條件。

對于上述線性邊值問題，速度勢可以分解為3個部分：

其中，?S表示為OWC 裝置固定不動且氣室內壓強與外部一致時，入射波與整個結構物相互作用產生的速度勢復振幅，?R1為在沒有入射波且裝置固定時，氣室內液面上的壓力振蕩在流體區域產生的速度勢復振幅，?R2為在沒有入射波且氣室內壓強與外部一致時，由于裝置整體上下垂蕩運動而產生的速度勢復振幅。因此，需關聯運動方程和功率輸出（PTO）模型求解。

2 運動方程和PTO模型

2.1 運動方程

該結構受到波浪、氣室內壓強、浮力、重力及彈簧共同作用，其中彈簧力均勻作用于整體裝置，不會產生傾覆的力矩，此時裝置只沿z軸做理想的垂蕩運動，由牛頓第二定律得：

2.2 PTO模型

對于氣室中空氣質量變化與線性PTO 裝置之間的關系，采用Sarmento 和De O Falca?o［7］提出的方程來計算，通過線性渦輪的質量通量和氣室內外壓差呈正比的關系，列出具體方程表達式：

式中：χ表示無量綱的透平參數，a11，a12，a21，a22，X1，X2為了使轉換效率的表達式更為簡潔。波能轉化效率的最大值可以通過對透平參數進行求導得出，即?E/?χ= 0，通過計算可得最優值為：

3 理論求解過程

3.1 勢函數表達式

由式（6）可知，整個計算的求解可以分為衍射和輻射問題來進行研究。上標S，R1和R2分別對應衍射和兩個輻射問題，不同問題下的邊界條件參數為：

3.2 結構物尖角處奇點的處理

在結構物尖角拐點處，由于附近流線的劇烈變形，在數值計算的過程中會出現有奇異性的病態矩陣而影響結果。在x= ±b，-b1和b2的OWC 裝置結構拐角處，流場出現了270°的變形，使得流動奇點表現為|z+di'|-1/3(i' = 1，2)的特征。因此采用Porter和Evans［23］、Deng等［24］的方法，引入以下4個輔助函數來表示公共邊界上未知的水平向速度：

3.3 重要參數計算

取勢函數和公共界面速度分布函數的截斷項分別為M，L，R，S，P和Q。再利用公共界面上速度和壓力連續的條件，可以得到一個方程和未知數個數都為R+S+P+Q+ 6的線性方程組，最終求解所有未知系數，由η= iω/g?(z= 0)，可得反、透射系數：

4 收斂性及結果驗證

4.1 計算收斂性驗證

表1 中取M=L= 400 和R=S=P=Q= 6，N的數值從35 增大到55 的過程中，各參照值的波動量基本維持在小數點后第3位，由此可見數值計算結果符合收斂性要求，在后續的數值計算過程中取N= 50。

表1 針對N的收斂性驗證(M=L=400, R=S=P=Q=6)Tab.1 Convergence verification for N(M=L=400, R=S=P=Q=6)

同理，根據表2和表3中的數據可知，當設定R=S=P=Q= 6時，基本能夠滿足計算精度。

表2 針對R和Q的收斂性驗證(M=L=400, N=50, S=P=6)Tab.2 Convergence verification for R and Q(M=L=400, N=50, S=P=6)

表3 針對S和P的收斂性驗證(M=L=400, N=50, P=Q=6)Tab.3 Convergence verification for S and P(M=L=400, N=50, P=Q=6)

4.2 計算結果驗證

基于整個計算過程是依據勢流理論得出，所以不考慮黏性的耗散。波浪與OWC 裝置相互作用的過程中，入射波的能量會被分為3 個部分，第一部分是反射回來的反射波攜帶的能量，第二部分是通過PTO 裝置轉化為機械能，剩余能量則是透過該結構物繼續傳播的透射波攜帶的能量。因此入射波能量應該等于3 個部分能量總和，即Eopt+C2r+C2t= 1。取工況b/h= 0.25，c/h= 0.5，b3/h=b4/h= 0.1，d1/h=d2/h= 0.3，K= 0。觀察圖2不難發現，波能轉化效率Eopt曲線與波浪發生反射、透射后剩余的能量1 -C2r-C2t曲線吻合很好。

圖2 能量守恒驗證Fig.2 Verification of energy conservation

再將文中建立的模型取極限情況與前人的結果進行對比，即d2/h≈1，d1/h= 0.5，b3/h=b4/h≈0和b/h=1/16 且忽略氣室高度與Porter 和Evans［23］的計算結果進行對比。對比結果如圖3 所示，可以見其與參照結果吻合良好，證明了研究所用代碼的準確性。

圖3 與Porter和Evans[23]結果對比Fig.3 Comparison with the results by Porter & Evans[23]

5 結果與分析

前墻吃水和氣室寬度對OWC 裝置水動力性能的影響在文獻中已有大量研究［8，15］，文中重點關注后墻吃水深度d2，前后墻寬度b3=b4和彈簧彈性系數K這3 個參數對垂蕩式振蕩水柱波能轉換裝置水動力性能的影響規律。在以下的研究中，前墻吃水深度d1/h= 0.1，半氣室寬度b/h= 0.3，氣室高度c/h= 0.2 保持不變。為簡便，裝置豎向位置振幅|s?|和氣室內平均液面高程振幅|-η|分別用s和η表示。

5.1 后墻吃水深度（非對稱性）的影響

固定前后墻厚度為b3/h=b4/h= 0.2，彈性系數K= 0（自由垂蕩運動），分別討論后墻吃水深度d2/h= 0.1，0.2，0.3，0.4 和0.5 這5 種情況，其中d2/h取0.1 時，該OWC 裝置為對稱結構，而當d2/h＞0.1 時，裝置呈現非對稱特征。

從圖4 可以看出，隨著后墻吃水深度的增加，波浪的透射系數總體上在大幅減小。這是因為后墻變深，使得更多的波能被攔截在氣室內或反射回去，從而顯著增強該結構物整體的消波性能。

圖4 不同后墻吃水深度下的透射系數Fig.4 Transmission coefficient under different back-wall drafts

如圖5所示，裝置豎向位移振幅和氣室內平均液面高程振幅曲線都呈現明顯的多峰現象，且圖5（a）中曲線峰值對應的頻率與圖5（b）中峰值頻率基本相同，可見裝置豎向位移與氣室內平均波高相互影響。圖5（a）和5（b）中，從左往右第一個峰是由氣室內水柱與波浪發生共振產生的，峰值隨d2/h增加而增大并向低頻區移動。在波頻2.5 ＜ω2h/g＜4.5 區間上第二個峰是由裝置與波浪產生共振引起的，峰值隨后墻加深向左移動，數值變大，形態變陡。右側最小的峰是由氣室內水柱發生劇烈晃蕩而引起的，這是一種共振晃動現象，基本不隨后墻吃水而變化。

圖5 不同后墻吃水深度下的裝置豎向位移和氣室內平均液面高程振幅Fig.5 Amplitude of vertical displacement and average surface elevation inside chamber with different back-wall drafts

圖6（a）和6（b）分別表示裝置豎向位移與氣室內平均液面高程振幅的相位差和波能裝換效率。圖6（b）中d2/h= 0.1曲線反映當裝置對稱時，波能轉換曲線只存在一個由裝置與波浪發生共振產生的峰值，且最大值僅為0.5，而隨著后墻吃水加深(d2/h＞0.1)，裝置前后墻吃水深度沿氣室中線的不對稱性使得效率曲線出現雙峰特征，且最大效率數值均大于0.5。同時，可以發現雙峰的波頻與圖5 中的裝置發生共振以及水柱發生晃蕩模態時的頻率相對應，說明波浪與OWC 系統中的某子部分發生共振時，轉換效率會顯著增加。結合圖5（b）可知，當波長較大(0 ＜ω2h/g＜2)，雖然氣室內水柱與波浪發生共振，圖6（b）中的轉換效率卻很低，是因為此時圖6（a）中相位差較小，氣室內水柱與裝置幾乎同步上下運動，使得氣室內氣體體積變化很小，從而影響了OWC裝置最終的波能轉換性能。

圖6 不同后墻吃水深度下的相位差和波能轉換效率Fig.6 Phase difference and optimal wave energy conversion efficiency under different back-wall drafts

當OWC裝置為非對稱結構時，轉換效率的最大值會突破0.5，同時也會使最佳轉換效率曲線出現一個新的峰值，合適的非對稱結構尺寸能夠拓寬OWC 裝置的高效頻率帶。根據不同地區的波浪條件，需要選擇合適的后墻尺寸，當后墻吃水深度取d2/h= 0.2 時，裝置在3.5 ＜ω2h/g＜6 波頻范圍內波能轉換效率均大于0.35，且高效頻率帶峰值處的轉換效率能超過0.7，因此在后續的研究中暫時選取d2/h= 0.2。

5.2 前后墻厚度的影響

在選取后墻吃水d2/h= 0.2，彈簧彈性系數K= 0 且前后墻厚度一致，即b3=b4的情況下，探究了墻體厚度對波能轉換裝置性能的影響，后續為簡便，圖例只用b3/h表示。

圖7中的透射系數曲線表明，當墻體厚度增加時，該波能轉換裝置對相對較長的波(ω2h/g＜3)以及較短波(4.8 ＜ω2h/g＜6)的消浪性能會加強。而在中頻波段(3 ＜ω2h/g＜4.8)，存在一個左移且峰值增大的峰，消浪性能會有一定程度的減弱。整體上，墻體厚度的增加會提高該裝置的消波能力。

圖7 不同墻厚下的透射系數Fig.7 Transmission coefficient under different thicknesses of wall

如圖8（a）所示，隨著墻體厚度的增加，裝置豎向位移振幅明顯減小，3個分別由氣室內水柱共振、裝置自身垂蕩共振和水柱晃動共振產生的峰都呈減小趨勢，并且向低頻區移動。圖8（b）中的每條曲線也存在與振幅s曲線對應的峰，隨著墻厚的增加，3 個峰都向低頻區移動，但第一個峰的數值逐漸減小，后兩個峰值反而增加。這是因為墻厚增加導致裝置整體質量變大，裝置的垂蕩運動對液面變化的影響加大，同時達到晃蕩頻率后氣室內的晃蕩運動也更為劇烈。

圖8 不同墻厚下裝置豎向位移和氣室內平均液面高程振幅Fig.8 Amplitude of vertical displacement and spatial-averaged surface elevation inside chamber under different thicknesses of wall

圖9（a）為相位差，結合圖8 可得相對氣室內氣體變化。圖9（b）中的波能轉換曲線同樣呈現雙峰特征，隨著墻體變厚，雙峰均向低頻區移動（裝置本身自然周期變大），左側由裝置與波浪共振引起的峰值會減小，右側因為氣室內發生晃蕩而共振引起的峰值會增加且形態變得更陡。結合圖7可以發現透射曲線的峰值與轉換效率曲線峰值的橫坐標一一對應，水柱發生共振時，透射系數也會增大。整體上，墻體厚度的增加會提高該裝置的消波能力?？紤]更好地吸收3 ＜ω2h/g＜5范圍內的波，后續取墻厚b3/h=b4/h= 0.2。

圖9 不同墻厚下的相位差和波能轉換效率Fig.9 Phase difference and optimal wave energy conversion efficiency under different thicknesses of wall

5.3 彈簧彈性系數的影響

固定前后墻吃水深度分別為d1/h= 0.1，d2/h= 0.2，墻體厚度為b3/h=b4/h= 0.2，半氣室寬度b/h= 0.3，氣室高度為c/h= 0.2 的前提下，分別探究了彈簧彈性系數（彈簧剛度）K= 0，104，105，106和108這5 種情況下垂蕩式振蕩水柱波能轉換裝置的透射系數Ct、相位差Θ和最佳波能轉化效率Eopt的變化情況。

觀察圖10可知，彈簧彈性系數越大，整體的透射系數越小，即該裝置的阻波能力就越強。

圖10 不同彈簧剛度下的透射系數Fig.10 Transmission coefficient under different spring stiffnesses

圖11（a）反映隨著彈簧彈性系數的增大，裝置的豎向位移振幅明顯在減小，當K= 108時，振幅數值均趨近于0，說明裝置近乎處于固定狀態。結合圖10透射系數曲線可知，相比于可上下垂蕩的裝置，固定的裝置有更好的阻波性能。圖11（b）中曲線反映出，彈簧彈性系數的增加，氣室內平均液面高程呈下降趨勢，且由于裝置豎向位移的減弱，η曲線的特征由三峰向雙峰轉變（裝置與波浪共振產生的峰值消失）。

圖11 不同彈簧剛度下裝置豎向位移和氣室內平均液面高程振幅Fig.11 Amplitude of vertical displacement and average surface elevation inside chamber under different spring stiffnesses

如圖12（b）所示，隨著彈簧剛度的增加(K= 0 →105)，氣室內水柱與波浪發生共振時裝置的垂蕩運動和氣室內波面運動不再是同步上下運動的（參考圖12（a）中0 ＜ω2h/g＜2 的波頻范圍），而是兩者間出現了一定的滯后現象，使得在氣室內水柱發生共振時，最佳波能轉換效率Eopt會有明顯提高（出現新的峰值）。而由于裝置還沒被完全固定，最佳波能轉換效率曲線中與圖11（a）中裝置豎向位移振幅曲線相對應的峰值也被保留下來。此時(K= 105)，水柱共振和裝置共振機制效應同時表現在了最佳波能轉換效率曲線上（出現雙峰特征），整體的高效率頻率帶被明顯拓寬。

圖12 不同彈簧剛度下的相位差和波能轉換效率Fig.12 Phase difference and optimal wave energy conversion efficiency under different spring stiffnesses

為了進一步探究，選取6個K= 105附近的彈簧剛度值進行驗證，結果如圖13所示。

圖13 彈簧剛度取值在K = 105附近的最佳波能轉換效率Fig.13 Optimum wave energy conversion efficiency around K = 105

可以發現在K從0.8 × 105增大至3.5 × 105的過程中，高效頻率帶的帶寬在不斷增加，但當彈簧系數從K= 1.5 × 105增大至3.5 × 105過程中在所研究的波浪中頻區間(2.5 ＜ω2h/g＜4.5)最優轉換效率逐漸減少。再觀察圖12（b）可知，當K取更大值時(K≥106)，裝置接近于固定狀態，由于缺少了整體裝置與波浪的共振機制，圖中對應裝置與波浪共振產生的波能轉換效率峰值消失，導致整體高效頻帶變窄。依據圖13可知，彈簧剛度K取1 × 105～3 × 105時，OWC裝置有較為理想的波能提取性能。

6 結 語

基于線性波理論建立了一套半解析理論模型來探究非對稱垂蕩式OWC 裝置的水動力性能。主要的結論有：

1）OWC 裝置自由垂蕩運動時，墻體厚度的增加會使裝置對長波的吸收能力增強，而對短波的吸收能力減弱，高效頻率帶雖然有一定拓寬，但整體數值上呈現明顯的減小趨勢。

2）OWC 裝置自由垂蕩運動時，后墻吃水深度的增加會促使轉換效率峰值向低頻區間轉移，合適的后墻吃水深度能有效提升裝置的整體能量轉換性能。

3）前后墻吃水深度的非對稱特征會引入新的晃蕩共振機制。在消波性能上，后墻吃水的加深和墻厚的增加有助于增強裝置整體的阻波能力。

4）線性彈簧的存在有助于調節水柱振蕩和結構垂蕩響應間的相位差，從而有效擴寬裝置的高效頻率帶寬。

以線性彈簧模型近似模擬錨泊系統，忽略了錨泊系統的阻尼及非線性特征，與實際工程問題有較大差距。此外，僅考慮了垂蕩運動響應對裝置轉換效率的影響。錨泊系統的非線性及其他運動響應模態對裝置轉換效率的影響將在接下來的研究工作中進一步展開。