讓學習有必要，讓學生想得到

夏繼平

摘? 要：“兩角和與差的余弦公式”是高中數學教學的一個難點，主要表現在公式引入、公式推導兩方面。在公式引入方面，從數學史的角度看，可通過求任意角的三角函數值；從高觀點的角度看，可通過基本初等函數研究的一致性，即給出定義之后都要研究運算性質。在公式推導方面，可以引導學生：先探究基于銳角三角函數定義的平面幾何方法，再推廣到一般，探究基于任意角三角函數定義的解析幾何方法，最后基于解析幾何方法的構圖，發散聯想到向量方法，并注意其嚴謹性。

關鍵詞：高中數學；兩角和與差的三角函數；公式引入；公式推導

“兩角和與差的余弦公式”是蘇教版高中數學必修第二冊第10章《三角恒等變換》第1節“兩角和與差的三角函數”第1小節的內容。在聽課過程中，筆者發現，教學這一內容時，“一個定理（公式），幾項注意，大量練習”這樣不重視知識理解、只關注解題訓練（知識應用）的舍本逐末的“短平快”現象十分突出。這部分內容確實是高中數學教學的一個難點，主要表現在公式引入、公式推導兩方面。本文試對其做一些分析，并尋找突破的方法。

一、公式引入的難點突破：依據數學史或高觀點，讓學習有必要

蘇教版高中數學教材在“任意角的三角函數概念（包括同角三角函數關系和誘導公式）、三角函數的圖像和性質”內容（必修第一冊第7章）之后安排了“函數的應用”內容（必修第一冊第8章）和“平面向量”內容（必修第二冊第9章），才安排“三角恒等變換”內容。所以，教材先由周期運動疊加的三角函數刻畫，引出sinx+cosx的計算（變形）問題；再由向量數量積的運算法則得到sinx+cosx=2cosx-π4，引出更一般的問題：cos（α-β）能否用α的三角函數和β的三角函數來表示？這樣做，承接了面前的“平面向量”內容，也體現了平面向量的工具作用。但是，從三角函數研究的角度看，不夠簡單自然：由三角函數概念想到周期運動的疊加繞得比較遠，而sinx+cosx的計算（變形）其實是cos（α-β）計算（變形）的逆問題。而且，這樣引入沒有解決“為什么先研究兩角差的余弦，而不先研究兩角和的余弦、兩角差的正弦或兩角和的正弦”的問題。

翻閱人教A版高中數學教材，發現其將“三角恒等變換”內容放在《三角函數》一章（必修第一冊第五章）中，緊跟在“任意角的三角函數概念（包括同角三角函數關系和誘導公式）、三角函數的圖像和性質”內容后。因此，教材從誘導公式出發，將其中的特殊角kπ2（k∈Z）一般化，引出兩角和與差的三角函數計算（變形）問題，然后讓學生先探究兩角差的余弦公式，再用它推導其他公式。這樣引入要簡單自然一些，但是仍然沒有解決“為什么先研究兩角差的余弦”的問題。

對于兩角和與差的三角函數的引入，我們可以從數學史和高觀點（現代數學的“抽象結構”方法與體系）兩個角度尋找必要性——知識產生與發展的邏輯與動力。

從數學史的角度看，三角學起源于天文學中的測量問題，而解決天文學中的測量問題需要求任意角的三角函數值。古希臘天文學家托勒密（C.Ptolemy，約100—170）在制作弦表（即求任意角的三角函數值）時，利用了相當于今天的兩角和與差的正弦、余弦公式的結果，從而根據已知角的正弦、余弦值來求未知角的正弦、余弦值。［1］因此，兩角和與差的三角函數可以通過求任意角（非特殊角）的三角函數值自然引入。

從高觀點的角度看，數學中的很多概念（如數、式、向量、集合）都是運算對象——或者直接是運算對象，或者作為運算的結果是進一步運算的對象。對任何運算對象，給出它的定義之后，都要研究它的運算性質（運算法則或運算律）。這就是現代數學的抽象結構思想?；境醯群瘮刀际怯山馕鍪奖磉_的，作為運算的結果是進一步運算的對象，給出定義之后都要研究運算性質。比如，對冪函數f（x）=xα，由冪（指數）的運算性質可知（xy）α=xαyα、xyα=xαyα，即f（xy）=f（x）·f（y）、fxy=f（x）f（y）——可見，冪函數有“保持乘除運算不變”的功能（實際上，作為特殊冪函數四則運算結果的正比例函數還有“保持加減運算不變”的功能）。對指數函數g（x）=ax，由冪（指數）的運算性質可知ax+y=axay、ax-y=axay，即g（x+y）=g（x）g（y）、g（x-y）=f（x）f（y）——可見，指數函數有“變加減為乘除”的功能。對對數函數h（x）=logax，由對數的運算性質可知loga（MN）=logaM+logaN、logaMN=logaM-logaN，即h（xy）=h（x）+h（y）、hxy=h（x）-h（y）——可見，對數函數有“化乘除為加減”的功能。自然地，對三角函數f（x）=sinx，g（x）=cosx，h（x）=tanx，也應該研究相應的運算性質，即自變量加減乘除對函數值的影響（或者說自變量加減乘除與函數值加減乘除的關系）。當然，受到不同運算（解析式）本身意義（規則）的影響，有的函數只研究自變量的加減，有的函數只研究自變量的乘除。因此，考查三角函數的意義——有很明確的幾何意義，很容易發現：只需要研究自變量的加減。由此，便可引入兩角和與差的三角函數的研究。其實，這種引入方式也體現了《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》設置的“函數”主題（包括“三角函數”內容）下各種函數研究的一致性。

這里，需要指出的是，以上兩種引入方式都沒有說明應該先研究哪一種兩角和或差的三角函數（這時，最自然的其實是先研究兩角和的正弦函數）。對此，不應該強行規定，而應該讓學生自主探究：推導（獲得）兩角和與差的三角函數公式時，可以讓學生先分析公式之間的關系，發現只要獲得一個“弦”的公式，就可能由它推出其他“弦”和“切”的公式，再嘗試尋找最容易推出的“弦”的公式。

此外，值得一提的是，在高等數學中，相應的運算性質正是基本初等函數的公理化（形式化）定義。比如冪函數的嚴格（抽象）定義：如果函數f（x）滿足對定義域內任意的α、β，都有f（αβ）=f（α）f（β），那么就稱f（x）是冪函數。正弦函數和余弦函數的嚴格（抽象）定義也是基于兩角和或差的正弦或余弦公式的。［2］

二、公式推導的難點突破：從平面幾何方法到向量方法，讓學生想得到

蘇教版高中數學教材把α-β看成單位向量（cosα，sinα）和（cosβ，sinβ）的夾角，由向量數量積的定義和坐標表示，推出兩角差的余弦公式。這一方法同樣承接了前面的“平面向量”內容，也體現了平面向量的工具作用，并且非常簡潔。但是，從三角函數研究的角度看，同樣不夠直接自然：雖然向量數量積的定義中有夾角的余弦，但是，求兩角和或差的正弦或余弦時，怎么能一下子想到向量的數量積？特別是，向量數量積的定義中，只有余弦，沒有正弦。此外，這一方法不夠嚴謹，還要討論α-β不在［0，π］范圍內的情況。

翻閱人教A版高中數學教材，發現其利用單位圓上的點（cosα，sinα）和（cosβ，sinβ）之間的距離與（cos（α-β），sin（α-β））和（1，0）之間的距離相等，根據兩點之間距離的坐標公式，推出兩角差的余弦公式。這一方法是根據教材整體編排，在學生沒學過向量的情況下給出的方法——也是蘇教版高中數學教材補充的方法。這一方法同樣存在不夠直接自然的問題：由高中學習的任意角的三角函數的終邊上點的坐標定義想到單位圓上的點不難，聯系到點（1，0）發現兩條線段相等則有些難度——需要教師引導。此外，如何發現由兩點之間距離的坐標公式建立等量關系后化簡可得兩角差的余弦公式也是一個問題——畢竟沒有直接求解cos（α-β）。

對于兩角和與差的正弦與余弦公式的推導，筆者了解了相關的數學史，發現其大致經歷了從平面幾何方法（基于初中學習的銳角三角函數定義，可以推出四個公式）到解析幾何方法（人教A版高中數學教材的方法，可以推出兩個余弦公式）再到向量方法（蘇教版高中數學教材的方法，可以推出兩個余弦公式）的過程。

實際上，三角函數有很明確的幾何意義，如直角三角形中邊長的比值（其實是圓中弦長與直徑的比值）、單位圓中的三角函數線（可分別看成半弦長、弦心距、切線長的數量）。用平面幾何方法求解兩角和與差的正弦與余弦，思路十分直接自然，很容易想到（雖然過程可能有點煩瑣），因此，在教學中，可以引導學生先探究這種方法。不過，平面幾何方法的問題在于限制在銳角（第一象限角）的范圍，推廣起來比較繁難，需要結合三角函數線或誘導公式，分多種情況討論。對此，可以引導學生從任意角的三角函數的終邊上點的坐標定義出發，逐步探究發現解析幾何方法。至于向量方法，則可在教師的提示下作為補充，讓學生與之前的方法比較，充分感受其簡潔性，同時注意其嚴謹性。

首先，不難發現：無論是求兩角和的三角函數，還是求兩角差的三角函數，都涉及三個角，且其中一個角是另外兩個角的和。這樣，便可以把“兩角和”與“兩角差”統一起來看成一種情況——這也是模型思想的體現。然后，便可以從特殊到一般地探究多種推導方法。

（一）平面幾何方法的探究

考慮三個角都是銳角的情況——這是從特殊性看問題，即特殊化這種重要解題思想的體現。這時，可將兩個小角拼在一起得到大角，如圖1所示。然后，可以在一條靠外的邊上任取一點，向另一條靠外的邊作垂線，從而構造出分別以大角和一個小角為一個銳角的兩個直角三角形，如圖2所示。接著，構造以另一個小角為一個銳角的直角三角形，有四種方式：如圖3，過靠外邊上的點作中間邊的垂線、自身的垂線，過中間邊上的點作靠外邊的垂線、自身的垂線。利用圖3中的任意一個圖形，都可以推導兩角和與差的正弦與余弦公式。其思路十分自然清楚：確定一條線段的長度（設為1），再逐步用已知的兩個角的三角函數來表示圖中的其他線段。

（1）

（2）

（3）

（4）

比如，在圖3（1）中，設∠AOB=α，∠BOC=β，OC=1，則CD=sinβ，OD=cosβ，BD=CDtanα=sinβtanα，BC=CDcosα=sinβcosα，OB=OD-BD=cosβ-sinβtanα，AB=OBsinα=（cosβ-sinβtanα）sinα=sinα·cosβ-sin2αsinβcosα，所以sin（α+β）=AC=AB+BC=sinαcosβ-sin2αsinβcosα+sinβcosα=sinα·cosβ+cosαsinβ，cos（α+β）=OA=OBcosα=（cosβ-sinβtanα）cosα=cosαcosβ-sinα·sinβ，即得兩角和的正弦與余弦公式。

再如，在圖3（2）中，設∠BOC=α，∠AOB=β，OC=1，則CD=tanα，OD=1cosα，過點D作DE垂直BC于E，則DE=CDsin（α+β）=tanαsin（α+β），CE=CD·cos（α+β）=tanαcos（α+β），BE=DEtanβ=tanαtanβsin（α+β），BD=DEcosβ=tanαsin（α+β）cosβ，OB=OD-BD=1cosα-tanαsin（α+β）cosβ，AB=OBsinβ=1cosα-tanαsin（α+β）cosβsinβ=sinβcosα-tanαtanβsin（α+β），所以sin（α+β）=AC=AB+BE+CE=sinβcosα-tanαtanβsin（α+β）+tanαtanβsin（α+β）+tanαcos（α+β）=sinβcosα+sinαcos（α+β）cosα，cos（α+β）=OA=OBcosβ=1cosα-tanαsin（α+β）cosβcosβ=cosβcosα-sinαsin（α+β）cosα，代入化簡可得兩角和的正弦與余弦公式。

又如，在圖3（3）中，設∠AOC=α，∠AOB=β，OB=1，則AB=sinβ，OA=cosβ，AC=OAtanα=cosβtanα，OC=OAcosα=cosβcosα，BC=AC-AB=cosβtanα-sinβ，CD=BCsinα=sinαcosβtanα-sinαsinβ，所以sin（α-β）=BD=BCcosα=cosαcosβtanα-cosαsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ，cos（α-β）=OD=OC-CD=cosβcosα-sinαcosβ tanα+sinαsinβ=cosαcosβ+sinαsinβ，即得兩角差的正弦與余弦公式。

還如，在圖3（4）中，設∠AOC=α，∠BOC=β，OB=1，則……也能得到兩角差的正弦與余弦公式。

這一思路下的具體方法很多，學生可以自由探究。在探究的過程中，學生能充分感受到“數學是自然的，數學是清楚的”（劉紹學語）。在具體方法的比較中，學生還能發現怎樣使求解過程更加簡潔。比如，最好設要求的角所在的直角三角形的斜邊長為1，從而該直角三角形的直角邊長就是要求的角的正弦與余弦。再如，求解過程的關鍵環節是用好構造第三個直角三角形時“補”或“割”出的小三角形——△BCD中的邊角關系：圖3（1）和圖3（3）中的△BCD是直角三角形，處理起來比較方便；圖3（2）和圖3（4）中的△BCD不是直角三角形，處理起來就比較麻煩（要分割成兩個直角三角形）；圖3（1）中∠BCD=∠AOB，圖3（4）中∠CBD=∠AOB，因此利用這兩個圖形時，不宜讓∠AOB成為要求的角，即如果要推導兩角差的正弦與余弦公式，應該設∠AOB=β；圖3（2）中∠BCD=∠AOC，圖3（3）中∠CBD=∠AOC，因此利用這兩個圖形時，不宜讓∠AOC成為要求的角，即不宜利用這兩個圖形推導兩角和的正弦與余弦公式。

一些學生甚至還能在簡潔解法的基礎上，發現更加直觀的“無字證明”（把相關線段的長度表示直接標示在圖上）。比如，圖4就是基于圖3（3），設∠AOC=α，∠BOC=β，OB=1得到的兩角差的余弦公式的“無字證明”。

當然，若學生對具有一般性的符號表示（計算）感到抽象、困難，則還可以進一步特殊化，比如設α=45°，β=30°。其實，推導兩角和與差的正弦與余弦公式的困難還在于沒辦法用特殊值探路，根據算出的結果猜想一般的情況，然后證明。比如，即使學生算出sin75°（cos15°）=6+24，cos75°（sin15°）=6-24，也很難猜出它們和sin45°、cos45°、sin30°、cos30°的關系。但是，取特殊值仍有探究價值：學生在結合圖形（圖3中的任意一個），利用已知角計算未知角的三角函數值的過程中，能體會到線段之間的關系以及求解的先后順序。

（二）解析幾何方法的探索

考慮完三個角都是銳角的情況后，教師可以引導學生嘗試將它們推廣到任意角。首先可以將不是“和”的兩個角都限制在［0，2π）范圍內——當某個角超出這個范圍時，可以通過“+2kπ（k∈Z）”在這個范圍內找到與其終邊相同的角，它們所有的三角函數值都一樣。這時，是“和”的角落在［0，4π）范圍內，且是三個角中最大的。然后，可以在平面直角坐標系xOy中，以x軸的非負半軸為始邊，通過旋轉得到三個角的終邊，進而得到三條終邊與單位圓O的交點，則三個交點的縱坐標與橫坐標分別是三個角的正弦與余弦。設x軸正半軸與單位圓的交點為P0，三個角從小到大終邊與單位圓的交點依次為P1、P2、P3，則P3對應的角是P1對應的角與P2對應的角的和。

在圓中，（圓心）角之間的關系可以轉化為弧之間的關系，但這樣還是用不到三角函數。所以，考慮將（圓心）角之間的關系轉化為弦之間的關系——弦長即端點之間的距離，可以用端點的坐標表示，這樣便用得到三角函數了。但是，“一個角是另外兩個角的和”并不等價于“一條弦是另外兩條弦的和”。所以，要進一步分析角之間的直接相等關系。根據“得到兩個正角的和可以將一個正角的終邊逆時針旋轉另一個正角的大小”，可以發現：如圖5所示，P1對應的角（從OP0到OP1的角）等于P3對應的角與P2對應的角的差（從OP2到OP3的角），P2對應的角（從OP0到OP2的角）等于P3對應的角與P1對應的角的差（從OP1到OP3的角），它們是等價的，分別可以轉化為弦之間的直接相等關系P0P1=P2P3和P0P2=P1P3。根據“得到兩個正角的和也可以將一個正角的始邊順時針旋轉另一個正角的大小”，可以作出P1、P2關于x軸的對稱點P′1、P′2，則它們對應的角分別是P1、P2對應的角的相反角，從而發現：如圖6所示，P3對應的角（從OP0到OP3的角）等于P1對應的角與P′2對應的角的差（從OP′2到OP1的角），等于P2對應的角與P′1對應的角的差（從OP′1到OP2的角），它可以轉化為弦之間的直接相等關系P0P3=P′2P1=P′1P2。

由此，對三個角作出適當的假設，便可以通過將P0P1=P2P3、P0P2=P1P3、P0P3=P′2P1或P0P3=P′1P2用兩點之間距離的坐標公式表示，化簡得到相應的三角恒等變換公式。比如，在圖5中，設P1對應的角為α-β，P2對應的角為β，則P3對應的角為α，由P0P1=P2P3，可得［cos（α-β）-1］2+sin2（α-β）=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2，化簡即得兩角差的余弦公式。再如，在圖6中，設P1對應的角為α，P2對應的角為β，則P3對應的角為α+β，由P0P3=P′2P1，可得［cos（α+β）-1］2+sin2（α+β）=［cosα-cos（-β）］2+［sinα-sin（-β）］2，化簡即得兩角和的余弦公式。

在自由探究的過程中，學生能發現：必須表示出α-β或α+β的終邊與單位圓的交點到P0（1，0）的距離，才能得到兩角差或和的余弦公式。教師可以引導學生進一步思考：為什么這種方法得不出兩角和與差的正弦公式？學生可以猜測：這和角的始邊設定為x軸有關。由此，教師可以引發學生的直覺：如果把α的終邊逆時針旋轉π2，那么α-β和α+β的終邊也逆時針旋轉π2，于是利用誘導公式便可得到兩角和與差的正弦公式。這樣思考正弦公式的推導，可以幫助學生充分認識正弦與余弦之間的關系，并且培養學生的數學直覺。

（三）向量方法的補充

將三個角推廣到任意角后，有了解析幾何方法的構圖（圖5、圖6），向量方法便容易引出了。一方面，教師可以引導學生回憶所學的知識中還有哪個（些）涉及正弦或余弦的；另一方面，教師可以引導學生觀察圖5或圖6，思考有關的終邊形成的角還可看成什么形成的角。學生可能想到向量數量積的定義涉及向量夾角的余弦，發現終邊形成的角也可看成向量的夾角，從而嘗試利用向量數量積的定義和坐標表示，推導兩角和與差的余弦公式。比如，在圖5中，設P1對應的角為α-β，P2對應的角為β，則P3對應的角為α，向量OP2和OP3的夾角也為α-β，所以cos（α-β）=OP3·OP2|OP3||OP2|=OP3·OP2=（cosα，sinα）·（cosβ，sinβ）=cosαcosβ+sinαsinβ。再如，在圖6中，設P1對應的角為α，P2對應的角為β，則P3對應的角為α+β，向量OP′2和OP1的夾角也為α+β，所以cos（α+β）=OP1·OP′2|OP1|·|OP′2|=OP1·OP′2=（cosα，sinα）·（cos（-β），sin（-β））=cosαcosβ-sinαsinβ。

這時，教師可以提醒學生：上述推導中，α-β或α+β一定是兩個向量的夾角嗎？這里的α-β或α+β的范圍是什么？向量夾角的范圍是什么？學生便能注意到：這里的α-β被限制在［0，2π）范圍內，α+β則落在［0，4π）范圍內，但是向量夾角的范圍為［0，π］。怎么辦？對此，蘇教版高中數學教材的解釋有些含糊：“由于余弦函數是周期為2π的偶函數，所以，我們只需考慮0≤α-β≤π的情況?！苯處熆梢岳谜T導公式做進一步解釋：當α+βSymbolNC［2π，4π）時，通過“-2π”，即去掉多轉的一圈（可以作圖演示），使之落在［0，2π）范圍內，即cos（α+β）=cos（α+β-2π）；當α-β或α+βSymbolNC@［π，2π）時，通過“2π-”，找到其組角［例如圖7中的2π-（α-β）］，使之落在（0，π］范圍內，即cos（α-β）=cos［2π-（α-β）］或cos（α+β）=cos［2π-（α+β）］。

參考文獻：

［1］張益明，丁倩文.“兩角和與差的余弦公式”：從歷史中找價值、看證明［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2018（6）：34.

［2］劉云章，馬復.中學數學的現代思想［M］.北京：人民教育出版社，1986：15.