采用改進多目標灰狼算法的電力系統調度規劃

肖 嵐，溫麗麗，趙 靜，喻顯茂

（1.國網四川省電力公司信息通信公司，四川 成都 610041；2.國網四川省電力公司，四川 成都 610041）

1 引言

計及經濟、環境因素的發電調度問題（EED）是當前電力系統中重要的優化問題［1］，其目的是通過合理調度機組出力，達到發電成本、污染氣體排放量等指標綜合最優［2］，因此，EED問題可以歸結為具有多個約束條件的多目標非線性優化問題［3，4］。

近年來，由于群智能啟發式計算技術在不連續、非凸、不可導非線性領域具有較好的優化性能，粒子群算法（PSO）、蛙跳算（SFLA）等智能算法被逐漸應用于EED 問題，文獻［1］采用混沌粒子群算法對多目標發電調度進行研究；文獻［5］利用人工蜂算法求解多區域發電調度問題；文獻［6］將混沌蝙蝠算法應用于電力系統經濟調度領域；文獻［7］采用改進的差分進化算法求解閥點加載效應經濟負載調度問題；文獻［8］利用免疫遺傳算法實現虛擬電廠源-荷協調調度。上述研究工作取得了具有一定推廣應用價值的成果，但是如何進一步提升智能優化算法全局收斂性能，是值得進一步研究的問題。研究表明，智能優化算法存在局部深度搜索能力不強，容易陷入局部極值［3］；對初始解較為敏感，個體進化學習對象選取缺乏理論支撐［9］；尋優精度精度不高，尋優能力不穩定等缺陷。

針對上述問題，這里構建基于發電燃料成本、污染氣體排放量和節點電壓偏移量的多目標EED模型，采用改進的多目標灰狼算法對EED問題進行求解，通過設計多度量自適應FCM算法對GWA 種群多樣性進行聚類分析，根據聚類結果重新定義狼群層級結構和反向學習、變異進化策略，并證明改進后的GWA能夠保持較好的種群多樣性。對標準算例進行測試，仿真結果表明該算法具有優秀全局尋優能力，能夠得到更好的Pareto前沿和折中解。

2 發電調度數學模型

2.1 EED多目標函數

設定電力系統含有N個發電機、M個系統節點，以發電燃料成本、污染氣體排放量和節點電壓偏移量等指標的建立多目標EED模型。

發電燃料成本 定義發電燃料成本函數f1(PG)為：

式中：PG=[P1…PN]，Pi—第i發電機臺有功處理；

ai、bi、ci—發電機成本系數。

污染氣體排放量 定義污染氣體排放量函數f2(PG)為：

式中：αi、βi、χi、εi、λi—發電機污染氣體排放相關系數。

節點電壓偏移量 定義節點電壓偏移量函數f3(U)為：

式中：U=[U1…UM]，Ui—PQ節點電壓幅值；

—節點額定電壓幅值。

約束條件 為保證電力系統安全運行，需滿足功率平衡和運行約束條件，即：

式中：Q=[Q1…QN]，Qi—發電機無功出力；P'i、Q'i—節點有功、無功負荷；θ=[θ1…θM]，θi—節點電壓相角；θij—節點i、j之間電壓相角差值；Gij、Bij—電導和電納；Sfi、Sti—系統電路始端和末端視在功率；L—系統電路數。

綜上，EED多目標函數可以描述為：

式中：X=[θ U P Q]—函數變量；

g(X)、h(X)—等式約束和不等式約束。

由于EED問題屬于多目標優化問題，求解式（6）得到結果為Pareto最優解集，決策者根據實際需求得到折中解即決策方案。

2.2 Pareto前沿和折中解

對于EED目標函數F(X)的解Xi、Xj，若：

稱Xj被Xi支配，記為Xi?Xj。對于解X*，若：

稱X*為Pareto最優解，所有Pareto最優解組成的集合為Pa‐reto最優解集（前沿）?(F(X))，記為：

采用權重決策方法［8］從?(F(X))中選取折中最優解：

（1）對?(F(X))進行規范化處理，得到規范化矩陣S=[sij]N×M（M、N分別為?(F(X))規模和目標函數個數）。

（2）分別采用層次分析法和熵權法確定N個目標函數的主觀權重集合ν=[ν1，…，νN]T和客觀權重集合τ=[τ1，…，τN]T。

（3）在ν=[ν1，…，νN]T和τ=[τ1，…，τN]T的基礎上，采用最小二乘法確定N個目標函數綜合權重ω=[ω1，…，ωN]T：

（4）根據ω=[ω1，…，ωN]T得到Pareto最優解Xi*對應的綜合評價指標集合ρ=[ρ1，…，ρi，…，ρM（]i=1，…，M）：

選取ρ中最小值對應的解為折中最優解XCO*。

3 改進的多目標灰狼算法

GWA［10］將狼群分為3級層次結構，通過模擬狼群進食行為，實現全局優化求解（GWA 基本原理參考相關文獻，不再贅述）。狼群個體在進化過程中，選取目標函數值最好的狼作為學習對象，一定程度上提升了算法收斂速度，但是，這種基于目標函數值選取進化對象的操作忽略了種群個體空間信息，具有很大的盲目性。特別的，當種群最優解在局部極值附近時，算法很容易產生“早熟”現象，導致算法收斂精度不高。以圖1為例，X2與X3目標函數值相同，但是空間位置不同，即X2、X3對進化個體X1的影響是不同的，因此，合理選取進化學習對象，對提升全局收斂能力具有重要意義，為此，這里設計多度量自適應FCM算法對種群空間特性進行聚類分析。

圖1 種群空間信息對算法進化影響Fig.1 Effect of Population Spatial Information on Algorithm Evolution

3.1 多度量自適應FCM種群多樣性分析

FCM 作為應用廣泛的聚類算法之一，其實質是通過歐式距離‖xk-vi‖2度量數據樣本xk與聚類中心vi的距離D(xk，vi)，并通過迭代計算聚類函數D實現數據分類。

式中：C—分類個數；n—數據規模；{xi}—隸屬度矩陣；V={v1，…，vC}—聚類中心。

研究表明，對于孤點多、高維度負責聚類問題，可以利用高維映射函數Φ(x)替代歐式距離度量［11］，即D(xk，vi)=‖Φ(xk)-vi‖2。借鑒這個思路，這里選取H個高維映射函數(Φ1(x)，…，ΦH(x))對D(xk，vi)進行加權度量，即：

定義加權度量矩陣Ψ=[A1，…AH]T：

將式（13）、式（14）代入D，令?J/?μik=0，?J/?vi=0，有：

自適應分類 對于狼群種群，事先并不知道具體的分類個數，為此，提出自適應分類數確定策略：設置分類數C在[Cmin，Cmax]范圍內依次執行多度量FCM操作，選取D取最小值時對應的C即為最佳分類數Cbest。

多度量自適應FCM實現過程可以描述為：

算法.多度量自適應FCM算法

輸入：Cmax、Cmin、Tmax、Ψ、m、n

輸出：Cbest、Ubest、Vbest

（1）對隸屬度矩陣{xi}進行初始化。

（2）forC=CmintoCmax

（3）While（終止條件不滿足）do

（4）｛

（5）根據式（15）計算V={v1，…，vC}，根據式（13）計算聚類目標函數J(U，V)，根據式（16）、式（17）計算新的隸屬度矩陣U；

（6）｝

（7）更新最佳聚類目標函數目標值集合{J(U，V)}C=1，…，C；

（8）C←C+1

（9）end for

（10）輸出結果，{J(U，V)}C=1，…，Cmax中最小值對應的C即為最佳分類數Cbest。

（11）returnCbest、Ubest、Vbest

3.2 改進多目標灰狼算法實現

提出改進多目標灰狼算法（Improved Multi-objective GWA，IMGWA），利用多核自適應FCM算法進行種群多樣性分析，重新定義狼群層級結構，并定義反向學習和變異進化策略。t時刻，狼群種群Ζ(t)={Xi}有Q頭狼，采用多度量自適應FCM對狼群進行聚類分析，得到Ct個分類(W1(t)，…，WCt(t))：

Wi(t)={Xj(t)}，i=1，…，Ct，∑‖Wi(t)‖=Q，‖Wi(t)‖≥0（18）式中：‖Wi(t)‖—分類Wi(t)中狼的個數。

依次對‖Wi(t)‖≠0的分類進行Pareto最優解判定操作，得到Wi(t)對應的Pareto最優解集?(Wi(t))和折中解(t)。狼群層級結構 將狼群重新定義為領頭狼層級Y1(t)、管理狼層級Y2(t)和跟隨狼層級Y3(t)三個層級：

從式（19）、式（20）看出，領頭狼層級由Ct個分類對應的折中解組成，管理狼層級由Ct個分類對應的Pareto最優解集除去折中解組成，剩余狼組成跟隨狼層級。在追捕獵物跟新操作中，跟隨狼層級中的(t)選取Y1(t)中的3 頭狼進行更新：

反向學習 對Y1(t)、Y2(t)內個體執行反向學習操作，以=(x1，…，xi，…，xn)為例，根據式（24）逐維進行反向學習更新：

算法.IMGWA

輸入：Q、Tmaxn、ω1、ω2、ω3

輸出：Y1(t)

（1）算法初始化，1 →t；

（2）While（t≤Tmax）do

（3）｛

（4）利用多度量自適應FCM對種群進行聚類分析，對每個分類進行Pareto最優解判定；

（5）根據式（19）、式（20）對種群進行層級劃分，分別根據式（21）、式（23）～式（25）、式（26）對不同層級狼進行更新操作，對違反約束條件的個體進行修正；

（6）更新種群信息。t←t+1

（7）｝

（8）returnY1(t)

3.3 IMGWA計算復雜度和種群多樣性

IMGWA在每次迭代過程中，都需要執行一次多度量自適應FCM，其計算復雜度為T(Cmax-Cmin)HO(nQ)（T為最大迭代次數）；IMGWA種群初始化復雜度為O(nQ)；每次個體更新復雜度為O(nQ)，因此，IMGWA計算復雜度為：

由此可見，引入多度量自適應FCM很大程度的增加了算法計算復雜度。

為了證明IMGWA能夠保持更好的種群多樣性，定義多樣性評價指標Θ(Ζ(t))：

式中：Xi=(xi1，…xin)—狼群Ζ(t)內的個體。

命題IMGWA具有良好的種群多樣性。

顯然，IMGWA群體多樣性的期望值與(t)有關，由于引用多度量自適應FCM對種群聚類分析，狼群個體在進化時選擇空間差異性更大的個體進行更新，使得IMGWA能夠保持更好的種群多樣性。

4 IMGWA優化EED模型實現

采用IMGWA 對EED 模型進行求解，每頭狼Xi代一個可行解。IMGWA目標函數設置為EED多目標函數，Xi設置為EED函數變量，即：

Pareto最優解集規?？刂艻MGWA每次迭代后，對Y1(t)內個體進行Pareto最優解判定，得到t時刻Pareto最優解?(t)，將?(t)與外部Pareto最優解?(F(X))進行Pareto最優解判定，并更新外部Pareto最優解。隨著進化次數增加，?(F(X))規模不斷擴大，設置Pareto最優解集規?？刂崎y值‖ ? ‖max，當超過‖ ? ‖max，利用公式（34）逐個計算?(F(X))內每個Pareto最優解的懲罰目標函數值F'(X)，并依次剔除懲罰目標函數值差的個體，直到滿足‖ ? ‖max為止。

式中：λ1、λ2、λ3、λ4、λ5—懲罰系數。IMGWA 優化EED 模型實現示意圖，如圖2所示。

圖2 IMGWA優化EED模型實現示意圖Fig.2 Implementation Diagram of IMGWA Optimized EED Model

5 實驗仿真

為進一步對比分析這里提出的改進多目標灰狼算法優化性能，分別采用經典單目標函數來驗證該算法全局收斂能力，采用EED優化問題驗證多目標實際優化問題求解效果。

5.1 經典測試函數仿真

單目標函數可以看作是多目標函數的特例，參考文獻［12］，選取f1：Sphere 函數、f2：Ackley 函數、f3：Griewank 函數、f4：Rastrigrin函數進行試驗仿真。IMGWA參數設置如下Q=350、Tmax=400、Cmin=5、Cmax=50、H=8、ω1=0.35、ω2=0.45、ω3=0.20。

多度量自適應FCM 性能驗證 采用文獻［13］提出的自聚類FCM 算法和文獻［14］隨機模糊聚類算法進行對比實驗，選取不同迭代次數的IMGWA種群進行聚類分析，評價指標設置為聚類有效性指數VD［15］、聚類精度Ω：

式中：Mj—與xj異類數據集合；Ej—與xj同類數據集合。

VD值越小聚類結果越優。不同聚類算法性能對比，如表1所示。

從表1可以看出，對于高維復雜函數f2、病態復雜函數f4，無論是聚類有效性指數VD還是聚類精度Ω，這里聚類算法都要好于其它2種算法，特別的，對于病態復雜函數f4，這里算法聚類精度都在95%左右，比其它2種算法提高了約（11.9～56.4）%；VD降低了約（54.1～63.2）%。這表明，多度量高維映射函數的引入，有效提高了聚類算法對復雜數據的聚類能力，聚類效果更優。

不同智能優化算法對比實驗 選取改進的布谷鳥優化算法（ICS）［9］、改進粒子群優化算法（IPSO）［16］進行對比實驗。評價指標設置為最大值Ymax、最小值Ymin、均值-Y和運算時間YT。函數收斂曲線，如圖3所示。評價指標對比結果，如表2所示。

表2 評價指標對比Tab.2 Comparison of Evaluation Indexes

圖3 函數收斂曲線Fig.3 Function Convergence Curve

從圖3、表2可以看出，收斂精度上，對于IMGWA、IPSO算法，兩種算法都能夠在收斂精度范圍為找到3個函數的最優解，但是IMGWA收斂精度明顯好于IPSO；對于ICS算法，能夠得到f1、f2和f3全局最優解，但是無法得到f4全局最優解，并且收斂精度要差于其它兩種算法。運算時間上，由于IMGWA迭代執行聚類分析操作，因此收斂時間要長于其它兩種算法。不同智能優化算法對比實驗，結果表明，通過引入多度量自適應FCM、重新定義狼群層級結構和設計反向學習、變異進化策略，有效提升了算法全局收斂精度，尋優結果更優。

5.2 EED算例仿真實驗

選取IEEE30節點、6個發電機組的經典測試系統［1］來測試這里所提發電調度規劃方案有效性。測試系統的總負荷為2.834pu，發電機組參數，如表3 所示。IMGWA 算法獲取的EED模型Pareto前沿，如圖4所示。

表3 發電機組參數Tab.3 Parameters of Generator Set

圖4 IMGWA獲取EED模型Pareto前沿Fig.4 IMGWA Obtains the Pareto Front of EED Model

從圖4可以看出，IMGWA 算法獲取的EED 問題Pareto 前沿延展性和均勻性都比較好，表明該算法能夠很好地的優化EED問題，最終得到折中解(617.12，0.2012，0.017)。

為進一步對比分析IMGWA性能，采取NSGA-II多目標優化算法［17］和改進多目標布谷鳥搜索算法（IMCS）［18］對IEEE30節點和IEEE2736節點（系統參數設置參考文獻［1］）進行對比試驗，折中解對比結果，如表4所示。同等發電燃料成本下污染物排放量對比結果，如圖5所示。

表4 折中解對比Tab.4 Comparison of Compromise Solutions

圖5 同等發電燃料成本下污染物排放量對比Fig.5 Comparison of Pollutant Emissions Under the Same Power Generation Fuel Cost

從圖5可以看出，在同等發電燃料成本下，對于不同測試算例，這里算法得到污染物排放量要好于其他兩種算法。特別的，當發電燃料成本615-630（$/h）和1.25-1.305×10（6$/h）范圍變動時，這里算法得到污染物排放量更有實際決策價值。從表4可以看出，對于不同測試算例，這里算法得到的折中解都能夠支配其他兩種算法得到的折中解，表明這里算法得到的Pareto前沿和折中解更具可行性和優越性。

6 結束語

對電力系統調度規劃問題進行了研究，提出一種采用改進多目標灰狼算法的發電調度規劃方案。通過引入多度量自適應FCM技術、改進灰狼智能優化算法和Pareto前沿規?？刂撇呗?，使得得到的電力系統調度決策方案更具有效性。下一步將重點圍繞提高算法運行效率方面進行研究。