一種新的守時型原子鐘綜合時間尺度方法研究*

姜 萌

(1 西安科技大學機械工程學院 西安 710054)

(2 西安工程大學電子信息學院 西安 710048)

(3 浙江偉盈智能科技股份有限公司 諸暨 311800)

1 引言

高精度時間是一個國家綜合國力的體現之一,被廣泛應用于社會生活、經濟、軍事等領域[1-2].目前,國際原子時是利用全世界七十多家時間實驗室的六百多臺守時型原子鐘加權平均產生[3].守時型原子鐘主要分兩種類型: 氫原子鐘和銫原子鐘[4].氫鐘具有良好的短時特性,而長時間特性較差;銫鐘的長期穩定性良好,但短時波動性較大[5-6].如何合理利用兩類原子鐘優勢,是提升綜合時間尺度性能的關鍵.目前的氫銫聯合時間尺度模型主要采用加權平均方式產生,根據原子鐘歷史數據設置權重,更注重綜合時間尺度的長期穩定度[7].文獻[8]為了充分利用氫原子鐘的短期優勢,以氫原子鐘作為參考時間尺度計算銫原子鐘噪聲,接著對銫原子鐘濾波并扣去鐘速,其次估計氫原子鐘頻率及頻漂參數,將扣除頻漂和鐘速的氫原子鐘數據用于綜合時間尺度的計算.文獻[9]中以全銫鐘產生的時間尺度作為參考估計每臺氫原子鐘的頻率及頻漂參數,然后經小波濾波減弱氫原子鐘噪聲,最終產生綜合時間尺度.以上研究結果表明,以氫原子鐘為基準測量銫原子鐘的主要噪聲是高斯白噪聲,經過濾波去除噪聲后,其短期性能還是會受到銫原子鐘噪音的干擾.通過小波變換雖然可以有效減小銫原子鐘噪聲,但必須兼顧分解層數、小波函數的選取等問題,而這些主觀因素也直接決定了小波濾波的有效性,從而可能對綜合時間尺度性能產生影響.

本文進一步對守時型原子鐘綜合時間尺度產生方法進行了探索,并對不同類型時間尺度的聯合技術展開了深入研究.通過改進的二次指數平滑方法產生氫鐘時間尺度、利用加權平均算法產生銫鐘時間尺度,利用Vondrak-Cepek (V-C)平滑對兩類時間尺度有效組合,改善守時型原子鐘綜合時間尺度準確度和穩定度指標.首先基于最小誤差的理論基礎,對氫鐘頻漂參數預測進行數學建模,以更準確地估計該參數;然后利用二次指數平滑方法產生全氫鐘時間尺度;最后利用V-C平滑方法將兩類原子鐘組時間尺度進行結合,改善守時型原子鐘綜合時間尺度性能.

本文提出的方法的主要創新如下:

1.以最小誤差理論為指導,建立氫原子鐘頻率漂移參數預測模型,改善氫原子鐘鐘差預測的準確性;

2.提出在時間尺度層面對不同類型原子鐘數據進行融合的概念,設計V-C濾波方法,優選參數,并利用全氫鐘時間尺度的一階導數改善全銫鐘時間尺度性能,最終實現氫銫綜合時間尺度長短期穩定度性能的提升.

2 理論基礎

2.1 二次指數平滑鐘差預測方法

傳統的二次指數平滑方法的主要步驟是鐘差預測、鐘速預測及每臺原子鐘權重的確定.以當前時間t的鐘差測量數據為依據,對下一時刻的鐘差進行估計,

其中Xi(t)、Yi(t)分別是鐘i在時刻t的鐘差和速率,τ是測量的時間間隔,d是原子鐘頻漂參數,τ)是原子鐘i在(t+τ)時刻的鐘差估計.同時,根據原子鐘鐘差的數據特點,對應于n臺原子鐘可得到n個主鐘與“紙面時”的差.最后,對上述所得的n個主鐘與“紙面時”的差進行合理的加權產生最優的時間尺度,

其中Xj(t+τ)是原子鐘j在(t+τ)時刻的鐘差,wi為第i臺原子鐘權重,Xij(t+τ)表示在(t+τ)時刻原子鐘i和j的鐘差測量值.d的預測準確度直接影響原子鐘鐘差預測準確度,進而影響綜合時間尺度性能.

2.2 優化的二次指數平滑方法模型

利用預測誤差動態估計氫原子鐘頻率漂移參數,相比傳統二次指數平滑鐘差估計,增加了預測間隔參數.在該時間段內,根據預測誤差RMS(Root Mean Square)最小原則對d和平均時間進行最優估計,從而提升鐘差估計的準確度.

預測算子表達式如下

預測誤差定義為

其中Δ(τ1)表示測量間隔為τ1時的鐘差值和預測值之差.

預測誤差RMS為

其中f為原子鐘頻率,sxx表示原子鐘鐘差的離差平方和.傳遞函數|H(j2πf)|2的定義如下,

2.3 Vondrak-Cepek平滑建模

優化的二次指數平滑方法產生氫鐘時間尺度,改善的加權平均方法得到全銫鐘時間尺度,最后對兩種不同類型的時間尺度進行有機結合.這里全銫鐘時間尺度(TA-Cs)用m(t)表示,它是時間t的函數,在t時刻的一階導數定義為

其中τCs表示銫原子鐘的鐘差測量間隔.M(t)表示全氫鐘時間尺度(TA-H),其一階導數定義為

其中τH表示氫原子鐘的鐘差測量間隔.m′(t)和M′(t)表示兩類鐘組時間尺度速率.如果銫原子鐘和氫原子鐘測量間隔相同,則m′(t)=M′(t).則有

其中MJD (Modified Julian Day)為簡化儒略日.銫鐘組時間尺度的估計計算如下:

其中Δt表示時間間隔.

本文在計算時,選擇的原子鐘數據測量間隔為1 h,因此兩種原子鐘的測量間隔相同.那么全銫鐘時間尺度在下一時刻的鐘差估計可以使用此時全銫鐘時間尺度鐘差值與全氫鐘時間尺度鐘速和時間間隔乘積的和產生.原子鐘數據測量間隔的選取也對時間尺度的性能有著很大的影響.測量間隔過大,對于氫原子鐘來說在該測量區間的頻漂變大,綜合時間尺度準確性將受影響;測量頻率過大,原子鐘自身的噪聲可能被測量噪聲所掩蓋,導致原子鐘準確建模更加困難,最終影響時間尺度性能.

2.4 算法優勢

文獻[8]中產生氫銫綜合時間尺度的方法是以高性能氫原子鐘作為測量參考,獲取每臺銫原子鐘相對于該高性能氫原子鐘的鐘差,然后對每臺銫原子鐘鐘差數據利用數學濾波方法去除噪聲,再利用最小二乘法對銫鐘鐘差數據進行擬合,估計每臺銫原子鐘鐘速,并將其扣除以備使用.同時氫原子鐘頻率和頻漂參數是利用二次擬合方法進行預測,最后將扣去鐘速的銫鐘和扣去鐘速頻漂的氫鐘組成守時鐘組,利用加權平均方法產生綜合時間尺度.而本文所提方法避免了使用氫鐘作為測量基準,利用改進的二次平滑動態估計氫原子鐘參數產生氫鐘組時間尺度,并利用加權平均算法產生銫鐘時間尺度,最后采用V-C平滑結合兩類鐘組時間尺度的長短期優勢.該方法利用最優估計方法動態預測氫鐘頻漂參數,較二次擬合方法的頻漂參數估計更為準確合理.同時,利用加權平均方法產生銫鐘時間尺度,利用二次平滑方法產生氫鐘時間尺度.算法選擇時考慮了加權平均方法依據原子鐘所有歷史信息來分配權重,更注重時間尺度的長期性能,適合長期性能更好的銫原子鐘組;二次指數平滑方法則更關注時間尺度實時性,更適合短期性能良好的氫原子鐘組.最終采用V-C聯合平滑方法綜合兩類時間尺度優勢,提升綜合時間尺度性能.

3 實驗及結果分析

3.1 算法設計

本文基于Fortran語言,在Visual Studio編譯環境開發了一套軟件系統來實現改進的二次指數平滑(OX)和V-C平滑(OX+V-C)氫銫綜合時間尺度算法.圖1為OX+V-C方法設計過程.OX+V-C實現主要包括如下幾個環節:d的估計、n臺原子鐘與“紙面時”的時差預測、每臺原子鐘取權、主鐘與“紙面時”的時差預測及鐘速預測、氫鐘組改進二次指數平滑時間尺度、銫鐘組加權平均時間尺度、全氫鐘時間尺度鐘速產生、V-C濾波器設計及結果評估.

圖1 OX+V-C氫銫綜合時間尺度算法流程Fig.1 The algorithm flow of the comprehensive time scale of OX+V-C hydrogen masers and cesium atomic clocks

3.2 實驗過程及結果分析

本實驗以氫原子鐘和銫原子鐘為研究對象,3臺氫鐘和3臺銫鐘構成守時鐘組.選擇MJD59945-59975 (2023年1月1日到1月31日)的原子鐘數據進行本文所提方法有效性驗證.首先,根據最小誤差理論估計每臺氫原子鐘頻率漂移參數并設計指數濾波器,計算改進二次指數平滑時間尺度TA-DH.為分析該方法對時間尺度性能的提升,與傳統二次指數平滑的全氫鐘時間尺度進行了對比.根據氫原子鐘最后5 d鐘差數據的二次擬合對頻率漂移參數進行估計,并計算二次指數平滑時間尺度TAH,結果如圖2.同時計算兩種時間尺度的阿倫偏差(ADEV),結果如表1所示.

表1 改進二次指數平滑時間尺度和二次指數平滑時間尺度阿倫偏差Table 1 The Allan deviation (ADEV) of improved quadratic exponential smoothing time scale and quadratic exponential smoothing time scale

圖2 改進二次指數平滑時間尺度和二次指數平滑時間尺度Fig.2 Improved quadratic exponential smoothing time scale and quadratic exponential smoothing time scale

由圖2可知,改進的二次指數平滑得到的時間尺度在31 d的時間間隔中,偏差在4 ns以內,而固定頻漂方法產生的時間尺度在相同時間段內的偏差在8 ns之內.故所提改進的二次指數平滑方法可有效改善全氫鐘時間尺度的準確度.由表1得,TA-DH較TA-H在不同的平均時間下的阿倫偏差值小,說明改進的二次指數平滑時間尺度長短期穩定度略優于相同鐘組采用傳統方法計算的時間尺度.TA-DH在1 h的穩定度為1.29 × 10-14,天穩定度為7.0×10-15.綜上所述,改進的二次指數平滑方法可以有效提升時間尺度的準確度,同時對穩定度指標也有所改善.

然后,通過加權平均算法產生銫鐘組時間尺度TA-Cs.全銫鐘時間尺度短期波動大,而長期波動較小;全氫鐘時間尺度則相反,這種情況與V-C平滑理論模型非常相符.最后,通過計算全氫鐘時間尺度一階差分,根據V-C平滑算法計算氫銫綜合時間尺度,時間尺度曲線見圖3.圖4是3臺銫鐘加權平均產生的時間尺度與OX+V-C時間尺度殘差分布情況.從圖3可得,兩條曲線走向一致,但OX+VC曲線較TA-Cs平滑很多,證明該方法有效改善了時間尺度的短期波動且保留了全銫鐘時間尺度的長期性能.同時,采用全銫鐘時間尺度與OX+VC時間尺度之間的均方根誤差(Root Mean Square Error,RMSE)對實驗結果進行評估,RMSE=0.02,表明V-C平滑方法得到的時間尺度能夠跟隨TA-Cs的趨勢,保留其大部分信息,以有效利用全銫鐘時間尺度長期優勢.圖4可得,兩種時間尺度殘差在0值左右波動,其殘差也服從正態時間分布規律,這與白噪聲特性吻合.

圖3 氫銫融合時間尺度和全銫鐘時間尺度Fig.3 The comprehensive time scale of hydrogen masers and cesium atomic clocks and time scale of all cesium clocks

圖4 氫銫融合時間尺度和全銫鐘時間尺度殘差分布Fig.4 Time scale residual distribution of hydrogen maser and cesium atomic clock and all cesium clock

為檢驗OX+V-C氫銫綜合時間尺度方法長短期穩定度是否有所改善,本文也基于AT1、ALGOS以及Kalman濾波的3種經典算法產生的綜合時間尺度相應指標進行了比較.首先將3臺氫鐘扣去頻率漂移對鐘差的影響,再與3臺銫鐘參與計算,并利用傳統AT1、ALGOS和Kalman濾波3種算法產生的綜合時間尺度.時間尺度結果見圖5.紅色曲線代表ALGOS方法產生的氫銫綜合時間尺度,藍色曲線代表AT1方法產生的氫銫綜合時間尺度,綠色曲線表示本文所提方法OX+V-C產生的氫銫綜合時間尺度,黑色曲線為Kalman濾波算法產生的氫銫綜合時間尺度.從圖5可看出,OX+V-C時間尺度曲線比其他3條平滑,且在一個月的時間間隔內,時間偏差量最小.同時,計算以上4種綜合時間尺度的阿倫偏差,數據指標和分布情況見表2和圖6.從表2和圖6可得,OX+V-C時間尺度在1 h穩定度為1.60 × 10-15,天穩定度為3.0 × 10-15,小于AT1、ALGOS、Kalman濾波3種方法產生的時間尺度對應指標.因此,進一步說明論文中所提方法的長短期穩定度均優于3種經典方法得到的時間尺度穩定度.同時證明了該方法能有效利用兩類原子鐘組時間尺度優勢,進一步提升綜合時間尺度性能.

表2 ALGOS、AT1、Kalman和OX+V-C算法方法綜合時間尺度穩定度指標Table 2 The stability indicator of comprehensive time scale for ALGOS,AT1,Kalman,and OX+V-C methods

圖5 ALGOS、AT1、Kalman和OX+V-C算法的氫銫綜合時間尺度Fig.5 Comprehensive time scales of hydrogen maser and cesium atomic clock for ALGOS,AT1,Kalman,and OX+V-C methods

圖6 ALGOS、AT1、Kalman和OX+V-C算法方法綜合時間尺度阿倫偏差趨勢圖Fig.6 The trend of Allan deviation of comprehensive time scale of ALGOS,AT1,Kalman,and OX+V-C methods

同時,本文也利用同樣的守時鐘組原子鐘數據,依據文獻[8]和文獻[9]中采用的氫銫綜合時間尺度計算方法分別產生兩種融合時間尺度TA1和TA2;利用優化的二次平滑方法分別產生氫鐘組和銫鐘組時間尺度,再經V-C平滑產生綜合時間尺度TAEF-VC.分別計算3類時間尺度的穩定性指標,并與本文所提方法進行了比較,結果見表3.從表3中可看出,本文所提方法OX+V-C產生的綜合時間尺度時穩及天穩都高于其他3種時間尺度的對應指標,進一步證明了OX+V-C算法在本文選定的6臺原子鐘數據計算中性能最優.而本文所提方法產生的時間尺度穩定性指標也比TA-EF-VC方法更好,分析原因是由于銫鐘無頻漂項,優化的二次平滑方法主要針對氫鐘的頻漂進行最優估計,關注時間尺度的短期穩定度,更適合短期性能較好的氫鐘組.

表3 TA1、TA2、TA-EF-VC、OX+V-C綜合時間尺度穩定度指標Table 3 The stability indicator of comprehensive time scale of TA1,TA2,TA-EF-VC and OX+V-C

4 結論

本文基于優化的二次指數平滑和V-C平滑方法,建立一種新的守時型原子鐘時間尺度產生模型,通過氫鐘組時間尺度的導數信息改善銫鐘組時間尺度短期噪聲大的問題,實現了全氫鐘和全銫鐘在時間尺度層面的結合.實驗結果表明,本文所提方法產生的綜合時間尺度1 h穩定度達1.60 ×10-15,天穩定度達3.0 × 10-15,較ALGOS、AT1和Kalman濾波3種傳統方法計算的綜合時間尺度長短期性能有明顯提高,達到了預期效果,證明了本文所提方法的有效性.