關注知識內涵 促進思維生長

作者簡介：張波（1983— ），女，高級教師，主要從事高中數學教育教學研究.

摘? 要：以高三復習微專題“三角函數性質的應用”的教學為例，闡釋在課堂教學中如何關注知識的內涵，注重對學生思維的培養，以及提高學生的應用意識，組織學生充分挖掘知識的本質，把握數學基本思想方法，進行深度學習. 旨在提升學生的應用創新思維，發展學生的數學核心素養，從而提高高三復習課的教學質量.

關鍵詞：知識內涵；思維生長；深度學習

中圖分類號：G633.64????? 文獻標識碼：A???? 文章編號：1673-8284（2024）01-0042-04

引用格式：張波. 關注知識內涵? 促進思維生長：以高三微專題“三角函數性質的應用”的教學

為例［J］. 中國數學教育（高中版），2024（1）：42-45.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中指出，數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人能力發展的過程中發揮著不可替代的作用. 因此，在教育改革的進程中，落實核心素養的教學，發展學生的創造力，促進學生思維的發展，提高學生分析問題和解決問題的能力，是數學教育工作者面臨的一項意義重大的任務. 要想落實并完成這一關鍵任務，數學課堂是一個重要的平臺；要想使學生在數學課堂中學會對知識本質的探究，數學教師便要在課堂教學中不斷進行改進和調整，尋找有效途徑. 本文將圍繞“如何關注知識內涵，從而促進學生思維的發展”這一論題，以高三復習課“三角函數的性質與應用”為例，從以下四個方面進行闡述.

一、有的放矢，讓高三復習課具有針對性

高三復習課要著眼于需求，擇取“靶向”知識，使復習更具針對性. 在高三復習階段，學生的時間成本異常珍貴. 由于備戰高考時間緊、任務重，對此教師要科學調整課堂節奏，選取針對性知識，利用有限的課堂時間最大化提升學生的數學思維品質. 同時，要注重舉一反三，以培養學生靈活應變的能力，并為學生的思維發展和人生發展奠定基礎. 在擇取“靶向”知識的過程中，教師不能脫離學情，而是要明確學生在數學復習中存在的問題，了解學生數學能力提高過程中的最大阻礙. 唯有如此，才能加強課堂教學的針對性，真正提高學生的數學復習效率，讓學生感受到復習課的價值并產生獲得感.

有效的復習課應該幫助學生在已有的認知層面將已經掌握的基礎知識和基本方法進行“質”的提升. 因此，復習課絕不能對已學內容在時間維度上進行簡單重復，而是要根據學生真正的需求和提升點進行教學設計. 對此，教師可以通過“前測”的方式來了解學生對知識的掌握情況，如知識的誤區、思維的障礙點等.

“三角函數的性質”這部分內容在“三角函數”一章中具有重要的地位和作用，也是高考考查的重點內容. 為了充分了解學生對這部分內容的掌握程度，筆者設計了一份調查問卷，共8道題目，涉及對三角函數的圖象與性質的直觀描述，三角函數不同于學習過的其他初等函數的性質，三角函數對稱性與周期性的關系，以及三角函數性質的應用等內容. 通過對前測的8道題目進行分析，發現學生對于基礎知識掌握較好，但是從知識的應用角度來看還存在很大問題，尤其是關于程序性知識和具體的學科技能的問題. 現以一道試題的答題情況為例進行說明.

題目 ?如圖1，已知函數[y=sin2x+φ]的圖象的一部分，則[φ]的值為______.

此題學生的準確率僅為65%，問題就出現在三角函數性質的應用上. 不能夠靈活應用三角函數的性質的原因，在于學生不能夠理解其內在的邏輯關系和知識的內涵. 因此，在三角函數這部分內容的復習中，筆者設計了一個微專題——三角函數性質的應用，以幫助學生更好地理解三角函數的性質，提高對知識的應用能力.

二、探尋本質，讓高三復習課具有邏輯性

教育心理學中的“首因效應”放置在學生的高頻錯題的情境中十分適恰. 在高三復習時，教師經常遇到這樣的問題：學生總是在同樣的題目上頻繁出錯. 這是由于學生在初次學習知識時便沒有真正理解知識的本質，或存在認知偏差，對數學知識之間的邏輯聯系不清晰. 正如文獻［1］中指出：“數學學科的系統性和嚴謹性決定了數學知識之間深刻的內在邏輯關系，包括各部分知識的縱向聯系和橫向聯系，因此要做好數學的教學，就要善于從教學內容的本質上抓住這些聯系，進而通過分類、梳理、綜合，構建數學知識的邏輯框架結構.”

在課堂實施的過程中，對調研數據進行展示后，筆者以“已知函數[fx=sinx+φ]滿足[fπ3=1]，則[f5π6]的值為______”作為引入，與學生一起分析錯因. 這也是前測中的一個問題，通過師生間的交流，發現大多數學生都是將[π3，1]代入函數解析式，求出具體的[φ]值，然后再將[5π6]代入解析式，求出[f5π6]的值. 只有個別學生想到最值點與最近零點之間的距離為周期的[14]倍，所以[5π6]是函數的零點. 這說明學生在知識的應用層面仍然存在一些問題，其實也反映出學生對于三角函數性質的理解不夠深入. 例如，三角函數具有周期性的原因就在于其自變量是角這一獨特的變量：按照角的定義，角的大小可以不同，但角的終邊的位置卻能不斷重復. 正如函數的周期性的概念所揭示的那樣，當函數的任意自變量增加或者減少同一個常數的時候，函數值總是相等；三角函數具有對稱性，則是因為角的終邊具有對稱性所引發的. 這也是本節課設計的目的. 在對前測的數據和問題進行分析和解決后，教師出示例1.

例1? 已知函數[fx=Asinωx+φ A>0，ω>0]的圖象上的一段如圖2所示，在區間[0，2π]上，使[fx=f0]成立的[x]的取值集合為_________.

學生先獨立思考，分析問題，進而在小組內分享、交流解題思路，隨后學生代表板演解法，進行講解，運用不同解法求解的學生進行補充. 課堂中，學生的思維非常發散，共給出了三種解法.

解法1：由圖2可知，[A=1].

因為[T2=5π6-π3=π2]，且[ω>0]，

所以可求得[ω=2].

因為[fx]的圖象過點[0， 32]，

所以[f0=sinφ=32].

所以[φ=π3+2kπ，k∈Z].

故[fx=sin2x+π3]．

令[fx=f0=32]，

即[sin2x+π3=32，x∈0，2π]，

可得[x∈π6，π， 7π6]．

解法2：由圖2可知，[A=1].

因為[T2=5π6-π3=π2]，且[ω>0]，

所以可求得[ω=2]，

即[fx=sin2x+φ].

由圖2可知，[fx]的圖象關于[x=π3+5π62=7π12]對稱，

即[fx]的圖象過點[7π12，-1].

所以[f7π12=sin7π6+φ=-1].

解得[φ=π3+2kπ，k∈Z].

后同解法1.

解法3：由圖2可知，[T2=5π6-π3=π2].

所以[T=π].

因為函數[fx]的圖象關于[x=7π12]對稱，

所以由周期性可知函數[fx]的圖象也關于[x=7π12-][π2=π12]對稱.

結合函數[fx]的圖象可知[f0=fπ12×2=fπ=][fπ12×2+π=32]．

所以令[fx=f0]成立的[x]的取值集合為[π6，π， 7π6]．

此題是對前測結果的檢驗，同時讓學生體會了三角函數周期性和對稱性在解決問題中的應用. 在學生思考、求解的過程中，了解學生對問題的解決方法，讓解法具有代表性的學生分享解題思路，并展開學生間的交流、互動，教師進行小結提升. 然后應用幾何畫板軟件畫出函數[fx=sin2x+π3]的圖象與[y=32]的交點，讓學生觀察，找到兩個三角函數值相等的原因——有可能是周期性造成的，也有可能是對稱軸導致的. 引導學生結合具體問題體會周期性和對稱性在解題中的應用，培養學生的觀察和應用能力. 選擇這樣一道例題作為重點分析的內容，主要是因為該題解法比較靈活，可以從三角方程的角度進行分析，也可以從三角函數性質的角度進行深入剖析，得出多種解法之后，引導學生進行對比，從而得出最優解法，也就是解法3. 而這需要學生深刻理解三角函數的周期性與對稱性. 在三角函數中，利用周期性與對稱性都可以得到三角函數值相等，而在具體問題中需要靈活處理. 通過解決例1提高學生解決問題的能力，發展學生的邏輯推理素養.

三角函數是研究函數周期性的重要模型，三角函數的圖象和性質是此部分內容的核心知識，讓學生從圖形和代數運算兩個角度認識三角函數的性質，并依據三角函數的知識分析和解決問題，進而通過三角函數的學習理解函數周期性的概念是三角函數教學中最重要的任務. 因此，在教學過程中，要幫助學生從函數的知識邏輯角度掌握周期函數的本質.

三、直通高考，讓高三復習課具有實戰性

紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行. 高三的數學課堂要具有高考實戰性. 通過前文例1的分析，讓學生清楚三角函數值相等的原因有兩個，一是周期性，二是對稱性. 那么，高考到底會如何考查這部分知識的內在邏輯關系呢？如何考查學生的應用能力和創新能力呢？對此，在高三數學復習課中，要讓學生走進高考試題，進行實戰演練.

例2? 設函數[fx=sinωx+φ]，[A>0，ω>0]，若[fx]在區間[π6， π2]上具有單調性，且滿足等式[fπ2=][f2π3=-fπ6]，則[fx]的最小正周期為_______.

學生先獨立思考此題，在獨立思考的基礎上，進行小組內的合作交流，小組代表進行板演講解. 下面是學生在課堂中給出的解法.

解：由已知，[fx]在區間[π6， π2]上具有單調性，

則[T2 ≥ π2-π6=π3]，即[T ≥ 2π3]．

因為[fπ2=f2π3]，

所以[fx]的圖象關于[x=7π12]對稱．

因為[fx]在區間[π6， π2]上具有單調性，且有

[fπ2=-fπ6]，

所以[fx]的圖象的對稱中心為[π3，0]．

因為[7π12-π3=π4

所以[T4=7π12-π3=π4]，

即[T=π]．

對于無圖問題，要能夠應用對稱等性質，畫出函數圖象，從而進行求解. 此題難度較大，屬于對稱性和周期性的綜合應用，但是學生可能會忽略“若[fx]在區間[π6， π2]上具有單調性”這一條件，所以教師可以在學生求解之后提問：“老師有三個困惑，需要你們的幫助. 第一，[fπ2=f2π3]，為什么不是周期性造成的呢？第二，為什么選擇用[fπ2=-fπ6]來確定對稱中心，而不是用[f2π3=-fπ6]確定對稱中心？第三，為什么[x=7π12]與[π3，0]是相鄰的對稱軸和對稱中心呢？”這三個問題的提出，實際上是希望學生能夠進一步深入理解三角函數的周期性和對稱性，以及進一步培養思維的連貫性和嚴謹性.

通過例2，既鞏固了例1所分析的周期性和對稱軸是造成函數值相等的原因，也提出了新的問題：對稱中心是造成函數值相反的原因. 同時，學生能夠經過自己的思考，發現這一事實，說明學生發現問題和分析問題的能力有所提高.

三角函數[fx=Asinωx+φ]的圖象和性質是三角函數的核心知識，要能從圖形與代數兩個角度來認識三角函數的性質，并能依據三角函數的知識邏輯分析問題和解決問題. 例2充分考查了正弦型函數的性質，如何理解其性質的邏輯關系，以及其內在的豐富的知識邏輯，正是這道題的魅力所在. 這就是我們需要的關注本質的教學，以促進學生思維的發展.

四、總結提升，讓高三復習課具有整體性

在本節課的最后，教師提出如下四個問題.

問題1：通過今天的學習，你認為三角函數部分所考查的知識內容是什么？

問題2：知識內容之間有怎樣的區別和聯系？

問題3：解決這類問題的關鍵是什么？

問題4：在三角函數的性質的應用過程中，有自己的想法嗎？課后做一個思維導圖來呈現你的思維過程.

設置這四個問題，目的是要讓學生思考“是什么？為什么？怎么用？”這三個問題，從而使學生對本節課的學習進行反思與重現，喚醒學生的思維，從思考與內化中獲得力量，提升解決問題的能力.

本節課的探究，從有圖到無圖，層層遞進，難度逐漸加大，但是都緊緊圍繞三角函數的周期性和對稱性的應用進行求解. 讓學生能夠理解在三角函數中，造成兩個三角函數值相等的原因有兩個，一是周期，二是對稱軸；導致兩個函數值互為相反數的原因是對稱中心. 同時，培養學生嚴謹的邏輯推理能力. 最后讓學生以思維導圖的形式對本節課的內容進行小結和梳理，幫助學生對知識的整體架構有更深的理解和掌握，加深學生對知識內涵和本質的理解，杜絕碎片化的學習和復習. 在這樣的教學中提升學生的思維品質，發展學生的數學核心素養.

總之，作為高中數學教師，應該充分認識到高三復習課堂對培養學生創造性思維的重要性. 在復習課中，關注數學本質的教學與引導，適應如今時代對人才培養的需求. 當然，關于數學本質的教學與創造性思維的培養絕不僅僅是通過一節或者幾節數學課的教學就能完成的，這將是一項任重而道遠的任務，教師要做的第一步便是從思想上重視起來，再有計劃、有方案地行動起來，讓學生在數學的學習中把握知識的內涵與本質，促進思維的提升與發展.

參考文獻：

［1］張鶴. 數學教學的邏輯［M］. 北京：首都師范大學出版社，2016.

［2］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.