例談與幾何圖形有關的計數問題

李迎春

［摘 要］與幾何圖形有關的計數問題，一般以幾何圖形為載體，考查兩個計數原理、排列與組合知識的應用，題目新穎獨特，體現了在知識交匯處命題的特點。文章結合幾個典型例題，歸納總結這一類問題的求解策略，以幫助學生突破難點，提高學生解決問題的綜合能力，發展學生的數學核心素養。

［關鍵詞］幾何圖形；計數問題；排列；組合

［中圖分類號］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻標識碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號］ ? ?1674-6058（2024）02-0028-03

在各類數學考試中，與幾何圖形有關的計數問題頻頻出現。這類問題一般以幾何圖形為載體，考查兩個計數原理、排列與組合知識的應用，題目新穎獨特，體現了在知識交匯處命題的特點。這類問題該如何破解？本文結合具體例題進行分類解析。

一、“位置關系”問題

“位置關系”問題是指結合幾何圖形的某種特征，利用兩個計數原理、排列與組合知識加以計數的一類計算問題，通常是計算圖形中含有多少對異面直線、含有多少個三角形、含有多少個平面等。

［例1］（1）若把兩條異面直線叫作“一雙”，則在一個正方體的十二條棱中可以構成異面直線（ ）。

A. [12]雙 B. [24]雙 C. [36]雙 D. [48]雙

（2）從正方體[ABCD-ABCD]的8個頂點中選取4個作為四面體的頂點，可得到不同的四面體的個數為___________。

（3）在如圖1所示的四棱錐中，頂點為[P]，從其他的頂點和各棱中點中取3個，使它們和點[P]在同一平面內，則不同的取法種數為___________。

解析：（1）畫出正方體，如圖2所示，與[AB]異面的直線有[B1C1]，[CC1]，[A1D1]，[DD1]，因為各棱具有相同的位置且正方體共有[12]條棱，排除重復計算的棱，則共有異面直線[12×42=24]（雙）， 故選B。

（2）從8個頂點中任取4個有[C48]種方法，從中去掉6個面和6個對角面，所以有[C48-12=58]個不同的四面體。

（3）求不同的取法種數可分為三類。第一類，從四棱錐的每個側面上除點[P]外的5個點中任取3個點，有4[C35]種取法；第二類，從每個對角面上除點[P]外的4個點中任取3個點，有2[C34]種取法；第三類，在過點[P]的側棱中，每一條棱上的3個點和與這條棱成異面直線的底面棱的中點也共面，有4[C12]種取法。因此，滿足題意的不同取法共有[4C35+2C34+4C12=56]種。

點評：解答這種幾何背景下的排列組合應用問題的思路與一般的排列組合應用題一樣，把圖形中隱含的條件轉化為點、線、面位置關系有限制條件的排列組合應用問題。計算時可用直接法，有時也可用間接法。當限制條件較多時，要合理分類計算，分別計算符合題意的排列組合數。

變式：已知正方形[ABCD]的中心為點[O]，以[A]、[B]、[C]、[D]、[O]中三個點為頂點的三角形共有 ? ? ? ? ?個。

解析：根據題意，如圖3所示，在[A]、[B]、[C]、[D]、[O]中任取3個點，有[C35=10]種取法，其中不能構成三角形的有[AOC]和[BOD]兩種取法，則以[A]、[B]、[C]、[D]、[O]中三個點為頂點的三角形共有[10-2=8]個。

二、涂色問題

涂色問題主要包括對幾何圖形中的平面區域或線段或點進行涂色。題目常給出涂色要求，要求求出滿足題意的涂色方案的總數。

［例2］（1）現有紅、黃、青、藍四種顏色，對如圖4所示的五角星的內部涂色（分割成六個不同部分），要求每個區域涂一種顏色且相鄰部分（有公共邊的兩個區域）的顏色不同，則最多使用三種顏色的不同涂色方案有___________種。

（2）五行是華夏民族創造的哲學思想。多用于哲學、中醫學和占卜方面。五行學說是華夏文明重要組成部分。古代先民認為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在相生相克的關系。五行是指木、火、土、金、水五種物質的運動變化。圖5是五行圖，現有[4]種顏色可供選擇給五行涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如木生火，木與火不能同色；水生木，水與木不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如火與水相克可以用同一種顏色），則不同的涂色方法的種數是（ ）。

A. [30] ? ? ? ? ? B. [120] ? ? ? C. [150] ? ? ? ? D. [240]

解析：（1）若使用三種顏色，從4種顏色中選3種，有[C34=4]種方法，從3種顏色中選一種涂在[A]處，有3種方法，剩下的[B]、[C]、[D]、[E]、[F]，每塊區域都有兩種涂色方案，共計[25]種方案，再減去只是用兩種顏色的情況，則由分步計數原理可知，不同的涂色方案數為[4×3×（32-2）=360]種涂法。若只使用兩種顏色，則有[C24C12=12]種涂法，所以符合要求的涂法種數有[360+12=372]種。

（2）不妨設四種顏色分別為[A]、[B]、[C]、[D]。先填涂區域“火”，有[4]種選擇，設區域“火”填涂的顏色為[A]。接下來，填涂區域“土”，有[3]種選擇，分別為[B]、[C]、[D]。若區域“土”填涂的顏色為[B]，則區域“金”填涂的顏色分別為[A]、[C]、[D]；若區域“土”填涂的顏色為[C]，則區域“金”填涂的顏色分別為[A]、[B]、[D]；若區域“土”填涂的顏色為[D]，則區域“金”填涂的顏色分別為[A]、[B]、[C]。綜上所述，區域“金”填涂[A]、[B]、[C]、[D]的方案種數分別為[3]，[2]，[2]，[2]。接下來，考慮區域“水”的填涂方案。區域“水”填涂[A]的方案種數為[2×3=6]，填涂[B]的方案種數為[3+2×2=7]，填涂[C]的方案種數為[3+2×2=7]，填涂[D]的方案種數為[3+2×2=7]。接下來，考慮填涂區域“木”的方案。當區域“水”填涂的顏色為[A]時，區域“木”填涂的顏色可為[B]、[C]、[D]；當區域“水”填涂的顏色為[B]時，區域“木”填涂的顏色可為[C]、[D]；當區域“水”填涂的顏色為[C]時，區域“木”填涂的顏色可為[B]、[D]；當區域“水”填涂的顏色為[D]時，區域“木”填涂的顏色可為[B]、[C]。因此，當區域“火”填涂顏色為[A]時，填涂方案種數為[6×3+7×2×3=60]。因此，不同的涂色方法的種數是[4×60=240]。故選D。

點評：對于幾何圖形中的點和線段的涂色問題一般可轉化為平面區域的涂色問題進行處理。對于簡單問題，可直接應用兩個計數原理計數。當平面區域較多時，通常有兩種解題思路：一是恰當分類，選擇正確的涂色順序，按步驟逐一涂色，再用分類加法計數原理和分步乘法計數原理加以計數；二是根據涂色時所用顏色數的多少，進行分類處理，再用分類加法計數原理加以計數。

變式： 如圖7所示，平面上有5個區域，現在給它們涂色，要求如下：若區域相鄰，則不能用同一種顏色來涂。假如現在可供選擇的顏色有四種，那么共有多少種不同的涂法？

解法1：第一步涂①，有4種方法；第二步涂②，有3種方法；第三步涂③，有2種方法；第四步涂④時分兩類：第一類用余下的顏色，有1種方法；第二類與區域②同色，有1種方法；第五步涂⑤，有2種方法，所以共有[4×3×2×（1×1+1×2）=72]種。

解法2：（1）取4種顏色：將②④或③⑤視為一個位置，共計四個位置時，涂色方法有[2A44=48]種；（2）取3種顏色：將②④和③⑤看成兩個元素，涂色方法有[A34=24]種，所以共有涂色方法[48+24=72]種。

三、行走路徑問題

這類問題一般給出幾何圖形，要統計從圖中某一點出發到達某一點的路徑的總數，或統計最短線路。

［例3］（1）如圖8所示，小華從圖中[A]處出發，先到達[B]處，再前往[C]處，則小華從[A]處到[C]處可以選擇的最短路徑有（ ）。

A. 25條 B. 48條 C. 150條 D. 512條

（2）（多選題）商場某區域的行走路線圖可以抽象為一個[2×2]的正方體道路網（如圖9所示，圖中線段均為可行走的通道），甲在[A]點、乙在[B]點，他們隨機選擇一條最短的路徑，同時同速出發，直到他們分別到達[B]、[A]兩點為止，下列四種說法中正確的是（ ）。

A.甲從點[A]出發，過[C1]且到達[B]點的走法一共有9種

B.甲從點[A]出發，到達點[B]的走法一共有[180]種

C.甲、乙于點[C2]相遇的概率是[425]

D.甲、乙相遇的概率是[1150]

解析：（1）利用組合、分步乘法計數原理可得答案。 從點[A]到點[B]的最短路徑有[C46=15]條，從點[B]到點[C]的最短路徑有[C25=10]條，則小華從點[A]到點[C]可以選擇的最短路徑有[15×10=150]條。

（2）對于A項，從點[A]處到點[C1]，需要向上走2步，向前走1步，從點[C1]到點[B]，需要向右走2步，向前走1步，所以甲從[A]必須經過[C1]到達[B]的走法為[C23C23=9]種，A正確。

對于B項，從點[A]到點[B]，一共要走6步，其中向上走2步，向前走2步，向右走2步，所以甲從[A]到[B]的走法為[C26C24C22=90]種，B錯誤。

對于C項，甲從點[A]運動到點[C2]，需要向上、向前、向右各走1步，再從點[C2]運動到點[B]，也需要向上、向前、向右各走1步，所以甲從點[A]運動到點[B]，且經過點[C2]，不同的走法為[A33A33=36]種；乙從點[B]運動到點[A]，且經過點[C2]，不同的走法也為36種，所以甲、乙兩人在點[C2]相遇的概率為[36×3690×90=425]，C正確。

對于D項，若甲、乙兩人相遇，則甲、乙兩人只能在點[C1]、[C2]、[C3]、[E]、[F]、[G]、[H]處相遇，甲從點[A]運動到點[C1]，需要向上走2步，向前走1步，再從點[C1]運動到點[B]，需要向前走1步，向右走2步，所以甲從點[A]運動到點[B]且經過點[C1]的走法為[（C23）4]種，所以甲、乙兩人在點[C1]相遇的走法為[（C23）4]種。同理，甲、乙兩人在點[C3]、[E]、[F]、[G]、[H]相遇的走法都[（C23）2]種。因此，甲、乙兩人相遇的概率為[6×（C23）4+36290×90=1150]，D正確。故本題答案為ACD。

點評：解答這類問題的關鍵在于利用組合數去計算對應的走法種數，如本例第（2）問將從[A]到[B]的路線轉變為6步，其中每一條路線向上的步數確定后，則對應向右的步數也能確定，因此可以考慮從6步中選取向上或向右的步數，由此得到的組合數可表示對應路線的走法種數。

變式：如圖10所示，在某個鄉鎮中，[M]、[N]兩地之間構建了整齊劃一的方格形道路之網，其中[A1]、[A2]、[A3]、[A4]分別為位于同一條對角線上的[4]個交匯處?，F在道路網[M]、[N]兩處有甲、乙兩人，他們分別要到[N]、[M]兩個地方，他們分別隨機選擇一條沿街的捷徑，即最短路徑，同時同速出發，直到到達[N]、[M]兩處為止。那么下列四種說法中正確的是（ ）。

A.甲從[M]處到達[N]處共有[120]種走法

B.甲從[M]處出發，且過[A2]處后到達[N]處的走法有[64]種

C.甲、乙在[A2]處相遇的概率是[81400]

D.甲、乙兩人相遇的概率為[12]

解析：甲從[M]到達[N]處，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，則甲從[M]處到達[N]處的方法有[C36=20]種，A選項錯誤。

甲經過[A2]到達[N]處，可分為兩步：第一步，甲從[M]經過[A2]需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，走法為[C13]種；第二步，甲從[A2]到[N]處需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，走法為[C13]種，所以甲經過[A2]到達[N]處的走法為[C13·C13=9]種，B選項錯誤。

甲經過[A2]的走法為[C13·C13=9]種，乙經過[A2]的走法也為[C13·C13=9]種，所以甲、乙兩人在[A2]處相遇的走法為[C13·C13·C13·C13=81]種，甲、乙兩人在[A2]處相遇的概率為[81C36C36=81400]，C選項正確。

甲、乙兩人沿最短路徑行走，只可能在[A1]、[A2]、[A3]、[A4]處相遇，若甲、乙兩人在[A1]處相遇，甲經過[A1]處，則甲的前三步必須向上走，乙經過[A1]處，則乙的前三步必須向左走，兩人在[A1]處相遇的走法為1種；若甲、乙兩人在[A2]處相遇，由C選項可知，走法為81種；若甲、乙兩人在[A3]處相遇，甲到[A3]處，前三步有2步向右走，后三步只有1步向右走，乙到[A3]處，前三步有2步向下走，后三步只有1步向下走，所以兩人在[A3]處相遇的走法為[C23C13C23C13=81]種；若甲、乙兩人在[A4]處相遇，甲經過[A4]處，則甲的前三步必須向右走，乙經過[A4]處，則乙的前三步必須向下走，兩人在[A4]處相遇的走法為1種，故甲、乙兩人相遇的概率[1+81+81+1400=41100]，D選項錯誤。故本題選C。

從以上三類問題的分析中不難發現，要破解這類問題，我們需要熟練運用計數問題的解題策略，即審清題意，分清排列組合；合理優化分類，用好兩個原理；思考嚴謹周密，謹防重復遺漏；直接間接兼顧，基本思路可循；力求一題多解，檢驗去偽存真。

（責任編輯 黃桂堅）